山东省枣庄市滕州市第一中学2025-2026学年高一下学期第二周数学测试（含答案）

高一下学期第二周数学测试
一、单项选择题本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分
1. 已知 是平面内两个不共线的向量， ， ，且 A，C，D 三点共线，则 ( )
A. B. 2 C. 4 D.
2. 在 中，D为BC边上靠近点C的三等分点，E为线段 (含端点)上一动点，若 ，则以下结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
3. 已知向量 满足 ，且 ，则 ( )
A. B. C. D.
4. 已知 与 为互相垂直的单位向量， 且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5. 若非零向量 与 满足 ，且线 ，则 计算法 1
A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形
C. 底边和腰不相等的等腰三角形 D. 等边三角形
6. 已知 在 所在平面内，满足 ， ，且 ，则点 ， ， 依次是 的( )
A. 重心，外心，垂心 B. 重心，外心，内心 C. 外心，重心，垂心
D. 外心，重心，内心
7. 两个粒子 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为 ， ，则 在 上的投影向量的长度为( )
A. 10 B. C. D. 2
8. 如图，已知 D，E 分别是 边 ， 上的点，且满足 ， ，BE 与 CD 交于 O，连接 AO 并延长交 BC 于 F 点.若 ，则实数 的值为( )
A. B. C. D. 2
二、多项选择题，本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.
9. 已知 是不共线的向量，且 ，则下列说法错误的是( )
A. B, C, D 三点共线 B. A, B, D 三点共线 C. A, B, D 三点共线
D. A，C，D 三点共线
10. 点 O 在 所在的平面内，则以下说法正确的有( )
A. 若 ，则点 为 的外心(外接圆圆心)
B. 若 ，则动点 的轨迹一定通过 的重心
C. 若 、 分别表示 、 的面积，则
D. 若 ，则点 是 的内心
11. 若平面向量 ，其中 ，则下列说法正确的是( )
A. 若 ，则
B. 若 ，则与 同向的单位向量的坐标为
C. 若 ，且 与 的夹角为锐角，则实数 的取值范围为
D. 若 ，则 的最小值为 4
三、填空题，本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 如图，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两点 ， ，若 ， ，则 _____.
13. 如下图,正方形 的边长为 是 的中点, 是 边上靠近点 的三等分点, AF 与 DE 交于点 M，求 的余弦值_____.
14. 已知 ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为_____.
四、解答题，本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
15. 已知 .
(1)若( )，( )，求实数 k 的值；
16. 已知平面直角坐标系中，点 为原点， ， .
(1)求 的坐标及 ；
(2)若 ，求 及 的坐标；
(3)求 .
17. 如图，在边长为 1 的正六边形 中，O 为正六边形的中心，M 为边 EF 上一点， 且满足 ,设 .
(1)若 ，试用 ， 表示正 ；
(2)若 ，求 的值.
18. 如图:在 中，已知 ， ， 与 交于点 .
(1)用向量 、 表示向量 ；
(2)过点 作直线 ，分别交线段 、 于点 ， ，设 ， ，若 ，当 取得最小值时，求模长 .
19. 如图,点 分别是矩形 的边 上的两点, .
(1)若 ，求 的范围；
(2)若 ，求 的最小值.
高一下学期第二周数学测试参考答案
1.【答案】D
解: 三点共线， 与 共线，
存在实数 ,使得 .
因为 ,
所以 ,
所以 解得 . 故选 .
2.【答案】B
【解答】解:当 不重合时,
即 ，当 重合时 ，
故 ，只有 B 始终成立.故选B.
3.【答案】D
解:因为 ，所以 ，所以 ， 即 ,所以 ,即 ,
,即
,即
所以 . 故选:D
4.【答案】D
因为 与 的夹角为锐角，所以 且 ，即
，所以 ，又 ，所以 且 。选 D。 考点:向量的夹角；向量的数量积。
点评:此题是易错题。很多同学认为 “ 的夹角为钝角 ” ，这种想法是错误的， 忽略了夹角为平角的情况。实质上， 的夹角为钝角 且 ；同理， 的夹角为锐角 且 。
5.【答案】D
解:因为 ，所以 的平分线与 BC 垂直，
则 ，三角形是等腰三角形，又因为 ，
则 ，所以 ，所以三角形是等边三角形. 故选D.
6. 【答案】C
7. 解:因为 ，所以点 到三角形的三个顶点的距离相等，
所以点 为 的外心；
由 ，得 ，
由中线的性质可知点 在 边的中线上，
同理可得点 在其他边的中线上，所以点 为 的重心；
由 ，
得 ，
则点 在 边的垂线上，同理可得点 在其他边的垂线上，所以点 为 的垂心.
【答案】D
解: 在 上的投影向量的长度为 ，故选 D.
8.【答案】A 解:由 共线,
可得 ,
所以 ,①
由 共线,
可得 ,
所以 ,②
由①②知: ，则 ，
故 ，由 ，
可得 ,
由 共线,有 ,解得 .
故选:
由 共线、 共线分别可得 、
，进而求得 ，最后由
且 共线求参数
本题考查平面向量的线性运算及平面向量基本定理的推论, 属中档题 .
9.【答案】ABD
解: : ,
,
且有公共点 ,
三点共线.
10.【答案】BCD
A 选项, ,即 ,故 ， 同理可得 ，则点 为 的垂心， 错误；
选项，过点 作 于点 ，取 的中点 ，连接 ，
则 ,
则 ，
故点 在中线 上，故向量一定经过 的重心， 正确；
选项，如图， 分别为 的中点，
,
则 ，故 ，
所以 ，
故 ， 正确；
D 选项， ， 分别表示 ， 方向上的单位向量 ， ，
故 ，
，故 .
由三线合一可得， 在 的平分线上，同理可得， 在 的平分线上，
则点 是 的内心，D 正确.
故选:BCD
11.【答案】BD
A选项, ,
则 解得 则 ,所以不存在实数 ,使 ,
即 不共线， 错误；
B 选项，若 ，则 解得
所以 ，
所以与 同向的单位向量为 ，B 正确；
选项，当 时， ，因为 与 的夹角为锐角，所以
解得 ,且 ,
故 的取值范围为 错误;
D 选项，若 ，则 ，即 ，
所以 ，当且仅当 ，即
时，等号成立，故 的最小值为 4 ，D 正确.
12.【答案】2
13.【答案】 解:建立如图平面直角坐标系，
则 ，
,
，故答案为: .
14.【答案】(1,2)
解:因为: 故答案为: .
15. 【答案】解:(1):(袁 ，
.
(2) ,
当 时， 取最小值为 .
16.【答案】解:(1) ,
.
(2) ，
(3) ,
.
17.【答案】解:(1)记正六边形的中心为点O，连结 、 、 、 ，在平行四边形 OFAB
中, ,在平行四边形 AOEF 中 ,
(2) 若 ,
又因为 ,
18.【答案】解:(1)设 ，将 代入，
得 ，因为 三点共线，且 三点共线，
所以 ,得 即 .
(2) ，则 ，
因为 三点共线，则 ，即 ，
当且仅当 ,即 时取得等号.
此时
.
19.【答案】 .
解:(1)由 ，故 ， ，
则
,因为 ,所以 ;
(2)如图所示，以 点为坐标原点， 为 轴，建立直角坐标系，
设 在 边上 ，因为 ，
则 ,
所以
当且仅当 ，即 时，等号成立，