第七章随机变量及其分布 单元测试（含答案）2025-2026学年人教A版数学选择性必修第三册

第七章随机变量及其分布
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知某一随机变量X的分布列如下表所示,且E(X)=6.3,则a的值为(　　)
X 4 a 9
P 0.5 0.1 b
A.5 B.6 C.7 D.8
2.一个不透明的袋子中,放有除颜色外其他均相同的5个小球,其中3个黑球,2个白球,如果不放回地依次取出2个球.在第一次取出的是黑球的条件下,第二次取出的是白球的概率是(　　)
A. B. C. D.
3.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为(　　)
A.0.648 B.0.432
C.0.36 D.0.312
4.广西壮族自治区桂林市荔浦市,被称为“中国衣架之都”,是全国最大的木衣架生产和出口基地,已知荔浦市某厂甲、乙两车间生产同一批衣架,且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的60%,40%,甲、乙车间的优品率分别为95%,90%.现从该厂这批产品中任取一件,则取到优品的概率为(　　)
A.93% B.93.5%
C.94% D.94.5%
5.设随机变量X服从正态分布N(3,4),则P(X<1-3a)=P(X>a2+7)成立的一个必要不充分条件是(　　)
A.a=1或2 B.a=±1或2
C.a=2 D.a=
6.若X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1>x2,已知E(X)=,D(X)=,则x1+x2的值为(　　)
A. B.
C.3 D.
7.已知随机变量X,Y满足:X~B(2,p),Y=2X+1,且P(X≥1)=,则D(Y)=(　　)
A. B.
C. D.
8.某种酸奶进货价是每瓶2.5元,销售价是每瓶5元;当天卖不出去的酸奶以每瓶1.6元价格当天全部处理掉.根据以往销售情况预测,这种酸奶的需求量X服从分布列如表所示.
X 200 300 400 500
P 0.20 0.35 0.30 0.15
若进这种酸奶500瓶,则利润的均值为(　　)
A.706 B.690 C.754 D.720
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.甲、乙两名学生历次数学测试成绩(百分制)分别服从正态分布N(μ1,),N(μ2,),其正态密度曲线如图所示,则下列说法中正确的是(　　)
附:随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7
A.甲同学的平均成绩为75分
B.乙同学的平均成绩优于甲同学的平均成绩
C.甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差更大
D.若σ1=5,则甲同学成绩高于80分的概率约为0.158 7
10.甲罐和乙罐中分别装有除颜色外其他均相同的小球,其中甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件.则下列结论中正确的是(　　)
A.P(B)=
B.P(B|A1)=
C.事件B与事件A1相互独立
D.A1,A2,A3是两两互斥的事件
11.骰子通常作为桌上游戏的小道具,最常见的骰子是六面骰.现有一款闯关游戏,共有4关,规则如下:在第n关要抛掷六面骰n次,每次观察向上面的点数并做记录,如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n+n,则算闯过第n关,n=1,2,3,4.假定每次闯关互不影响,则(　　)
A.直接挑战第2关并过关的概率为
B.连续挑战前两关并过关的概率为
C.若直接挑战第3关,设A=“三个点数之和等于15”,B=“至少出现一个5点”,则P(A|B)=
D.若直接挑战第4关,则过关的概率是
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.请把正确答案填在题中的横线上.
12.一台机器生产某种产品,生产一件甲等品可获利50元,生产一件乙等品可获利30元,生产一件次品,要赔20元.已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1,则这台机器每生产一件产品平均预期获利　　　　　元.
13.某校高二年级学生数学诊断考试的成绩(单位:分)X服从正态分布N(110,102),从中任取一个学生的数学成绩,记该学生的成绩在[90,110]内为事件A,记该学生的成绩在[80,100]内为事件B,则在事件A发生的条件下,事件B发生的概率P(B|A)=　　　　　.(用分数表示)
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
14.一批玉米种子的发芽率是0.8,每穴只要有一粒发芽,就不需补种,否则需要补种.则每穴至少种　　　　　粒,才能保证每穴不需补种的概率大于98%.(lg 2≈0.301 0)
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)为了解本学期学生参加公益劳动的情况,某校从初高中学生中抽取100名学生,收集了他们参加公益劳动时间(单位:小时)的数据,绘制图表的一部分如表:
公益劳动时间 [0,5) [5,10) [10,15) [15,20) [20,25) [25,30)
性别 男 6 9 10 10 9 4
女 5 12 13 8 6 8
学段 初中 x 8 11 11 10 7
高中
(1)从男生中随机抽取一人,抽到的男生参加公益劳动时间在区间[10,20)的概率;
(2)设参加公益劳动时间在区间[25,30)的学生中抽取3人进行面谈.记X为抽到高中的人数,求随机变量X的分布列及均值;
(3)当x=5时,高中生和初中生相比,哪个学段学生平均参加公益劳动时间较长 (直接写出结果)
16.(15分)某跳高运动员一次试跳2.1米高度成功的概率是失败概率的4倍,且每次试跳成功与否相互之间没有影响.
(1)求甲试跳三次,第三次才成功的概率;
(2)求甲在三次试跳中恰有两次试跳成功的概率.
17.(15分)某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动,有甲、乙两个抽奖方案供员工选择.
方案甲:员工最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率均为.第一次抽奖,若未中奖,则抽奖结束.若中奖,则通过抛掷一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖.规定:若抛出硬币,反面朝上,员工则获得500元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,则员工须进行第二次抽奖且在第二次抽奖中,若中奖,则获得奖金1 000元;若未中奖,则所获得的奖金为0元.
方案乙:员工连续三次抽奖,每次中奖率均为,每次中奖均可获得奖金400元.
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(单位:元)的分布列;
(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖,哪个方案更划算
18.(17分)“世界那么大,我想去看看.”每年高考结束后,处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈,旅游可支配收入日益增多,可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出(单位:百元)的情况,相关部门随机抽取了某市的1 000名毕业生进行问卷调查,并把所得数据列成如下表所示的频数分布表.
组别 [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100)
频数 2 250 450 290 8
(1)求所得样本的中位数(精确到百元);
(2)根据样本数据,可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布N(51,152),若该市共有高中毕业生35 000人,试估计有多少名学生旅游费用支出在8 100元以上;
(3)已知样本数据中旅游费用支出在[80,100)范围内的8名学生中有5名女生,3名男生,现想选其中3名学生回访,记选出的男生人数为Y,求Y的分布列与均值.
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
19.(17分)某花店每天以每枝5元的价格购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,那么剩下的玫瑰花当作垃圾处理.
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
①若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、均值及方差;
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝 请说明理由.
第七章随机变量及其分布
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.C解析:由题意和分布列的性质得0.5+0.1+b=1,且E(X)=4×0.5+0.1a+9b=6.3,解得b=0.4,a=7.
2.A解析:方法一:记事件A为“第一次取到黑球”,事件B为“第二次取到白球”,
则事件AB为“第一次取到黑球,第二次取到白球”,
依题意知P(A)=,P(AB)=,
因此在第一次取出的是黑球的条件下,第二次取出的是白球的概率是P(B|A)=.
方法二:第一次取出的是黑球后,还有2个黑球,2个白球,
则第二次取出的是白球的概率为.
故选A.
3.A解析:根据独立重复试验公式得,该同学通过测试的概率为×0.62×0.4+×0.63=0.648.
4.A
解析:记事件A=“任取一件,取得优品”,事件B1=“取到甲车间的产品”,事件B2=“取到乙车间的产品”,则P(B1)=60%,P(B2)=40%,P(A|B1)=95%,P(A|B2)=90%,所以取到优品的概率P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)=95%×60%+90%×40%=93%.故选A.
5.B
解析:∵X~N(3,4),P(X<1-3a)=P(X>a2+7),
∴(1-3a)+(a2+7)=2×3,解得a=1或2.
∴所求的一个必要不充分条件是a=±1或2.
故选B.
6.B
解析:由题设可得
解得(舍去)或
故x1+x2=.
故选B.
7.C
解析:随机变量X满足:X~B(2,p),且P(X≥1)=,
∴P(X=0)=1-P(X≥1)=(1-p)2=,
解得p=,∴X~B,
∴D(X)=2×.
∵Y=2X+1,∴D(Y)=22D(X)=.故选C.
8.A
解析:因为E(X)=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340,所以利润的均值为340×(5-2.5)-(500-340)×(2.5-1.6)=706,故选A.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.ABD
解析:由题中图象可知,甲的图象关于直线x=75对称,乙的图象关于直线x=85对称,所以甲同学的平均成绩为75分,乙同学的平均成绩为85分,故选项A,B正确;
因为甲的图象比乙的图象更“瘦高”,所以甲的成绩比乙的成绩更集中于平均值左右,则甲同学成绩的方差比乙同学成绩的方差小,故选项C错误;若σ1=5,则甲同学成绩高于80分的概率约为≈0.158 7,故选项D正确.故选ABD.
10.BD
解析:由题意A1,A2,A3是两两互斥的事件,P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=,
则P(B|A1)=,B正确;
P(B|A2)=,P(B|A3)=,
而P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)
=,AC不正确;
A1,A2,A3是两两互斥的事件,D正确.
故答案为BD.
11.ACD
解析:对于A,直接挑战第2关,则2n+n=22+2=6,所以投掷两次点数之和应大于6,故直接挑战第2关并过关的概率为P1=,故选项A正确;
对于B,闯第1关时,2n+n=2+1=3,则挑战第1关通过的概率为P2=,则连续挑战前两关并过关的概率为P=P1P2=,故选项B错误;
对于C,由题意可知,抛掷3次,共有63=216个可能结果,抛掷3次至少出现一个5点共有63-53=216-125=91个可能结果,故P(B)=.
而事件AB包括:含5,5,5的1个,含4,5,6的有6个,一共有7个,故P(AB)=,
所以P(A|B)=,故选项C正确;
对于D,当n=4时,2n+n=24+4=20,共有64个可能结果,“4次点数之和大于20”包含以下情况:含5,5,5,6的有4个,含5,5,6,6的有6个,含6,6,6,6的有1个,含4,6,6,6的有4个,含5,6,6,6的有4个,含4,5,6,6的有12个,含3,6,6,6的有4个,所以共有4+6+1+4+4+12+4=35个,所以直接挑战第4关,则过关的概率是P4=,故选项D正确.
故选ACD.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.请把正确答案填在题中的横线上.
12. 37
解析:设生产一件该产品可获利钱数为X,则随机变量X的取值可以是-20,30,50.
依题意,X的分布列为
X -20 30 50
P 0.1 0.3 0.6
故E(X)=-20×0.1+30×0.3+50×0.6=37元.
13.
解析:由题意知,P(A)=P(90≤X≤110)≈×0.954 5=0.477 25,P(AB)=P(90≤X≤100)≈×(0.954 5-0.682 7)=0.135 9.
∴P(B|A)=.
14. 3
解析:记事件A为“种一粒种子,发芽”,
则P(A)=0.8,P()=1-0.8=0.2.
因为每穴种n粒相当于做了n次独立重复试验,记事件B为“每穴至少有一粒种子发芽”,
则P()=×0.80×(1-0.8)n=0.2n,
所以P(B)=1-P()=1-0.2n.
根据题意,得P(B)>98%,
即0.2n<0.02.
两边同时取以10为底的对数,得nlg 0.2即n(lg 2-1)所以n>≈2.43.
因为n∈N*,所以n的最小正整数值为3.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15．
解(1)100名学生中共有男生48名,其中参加公益劳动时间在区间[10,20)的共有20人,
设男生中随机抽取1人,抽到的男生参加公益劳动时间在区间[10,20)的事件为A,则P(A)=.
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,
(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=,
因此随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×.
(3)由题中表可知,初中生平均参加公益劳动时间较长.
16.
解:设该跳高运动员在一次试跳中成功的概率为p,则失败的概率为1-p.
依题意有p=4(1-p),解得p=.
(1)由于每次试跳成功与否相互之间没有影响,
所以试跳三次中第三次才成功的概率P1=(1-p)2p=.
(2)甲的三次试跳可看成三次独立重复试验,
设甲在三次试跳中恰有两次成功的概率为P2,则P2=.
17.
解(1)由题意得,X的所有可能取值为0,500,1 000,则P(X=0)=,
P(X=500)=,
P(X=1 000)=,
因此某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(单位:元)的分布列为
X 0 500 1 000
P
(2)由(1)可知,选择方案甲进行抽奖所获奖金X的均值
E(X)=500×+1 000×=520.
记按方案乙进行抽奖,中奖次数为Z,中奖奖金为Y,若选择方案乙进行抽奖,
则中奖次数Z~B,
则E(Z)=3×,抽奖所获奖金Y的均值E(Y)=E(400Z)=400E(Z)=480,
而480<520,故选择方案甲较划算.
18.
解:(1)设样本的中位数为x,
则=0.5,
解得x≈51,所得样本中位数为51.
(2)由已知,得μ=51,σ=15,μ+2σ=81,所以旅游费用支出在8 100元以上的概率为P(X>μ+2σ)==0.022 75,0.022 75×35 000≈796(人),所以估计有796名学生旅游费用支出在8 100元以上.
(3)Y的所有可能取值为0,1,2,3,
P(Y=0)=,P(Y=1)=,
P(Y=2)=,P(Y=3)=.
所以Y的分布列为
Y 0 1 2 3
P
E(Y)=0×+1×+2×+3×.
19.
解(1)当日需求量n≥16时,利润y=80.
当日需求量n<16时,利润y=10n-80.
因此当天的利润y关于当天需求量n的函数解析式为y=(n∈N).
(2)①X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.
故X的分布列为
X 60 70 80
P 0.1 0.2 0.7
E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76,
D(X)=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.
②花店一天应购进17枝玫瑰花.
理由如下:
若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),则Y的分布列为
Y 55 65 75 85
P 0.1 0.2 0.16 0.54
E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.
由以上的计算结果可以看出,E(X)即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.
故花店一天应购进17枝玫瑰花.
(答案不唯一,理由合理即可)