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第一章 数与式
第04讲 二次根式
目 录
01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 二次根式有意义的条件（★） 题型02 利用二次根式有意义的条件求参数（★★） 题型03 利用二次根式的性质化简（★） 题型04 最简二次根式/同类二次根式的识别（★） 题型05 二次根式的乘除运算（★） 题型06 二次根式的加减运算（★）题型07 二次根式的化简求值问题（★★） 题型08 分母有理化（★★） 能力通关
1．（2025·广东广州·一模）描点法是探究函数图象变化规律的重要方法．请用该方法探究函数的图象变化规律．
… …
… …
(1)求函数自变量的取值范围；
(2)请按照描点法的步骤（列表、描点、连线），在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)已知点是函数图象上的点，若，求的取值范围．
考查知识点：函数自变量取值范围（二次根式有意义条件）、描点法画函数图象、函数增减性、函数图象与不等式。
能力要求：确定函数定义域的能力、描点作图的实操能力、通过图象分析函数性质并解不等式的逻辑能力。
考法特点：以新函数探究为载体，串联 “定义域 - 作图 - 性质应用”，考查函数概念与图象法的综合运用。
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)若时，的取值范围是．
【分析】本题考查函数的图象及性质；利用所学函数知识探索新的函数性质，综合运用描点法，观察图象得出函数增减项是解题的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件即可求解；
（2）根据列表、描点、连线，作出图形即可；
（3）根据函数的性质结合图形即可求解．
【详解】（1）解：求函数自变量的取值范围为；
（2）解：列表：
0 1 2
3 2 1 0
描点，连线，图象如下，
（3）解：由函数图象可知，在自变量的取值范围内，函数值随着的增大而减小．
当时，，即当时，．
答：若时，的取值范围是．
2．（2025山西模拟预测）【阅读下列材料】：
若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．）
【例】：若，，，求的最小值．
解：∵，，
∴，
∴．
∴时，的最小值为8
【解决问题】
(1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少；
(2)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值．
考查知识点：基本不等式、长方形周长与面积的实际建模、四边形面积的比例推导、完全平方公式。
能力要求：基本不等式的应用能力、实际问题的数学建模能力、代数变形与最值求解的结合能力。
考法特点：以 “阅读材料 + 实际场景” 为形式，先铺垫基本不等式推导，再设几何面积问题，考查知识迁移与实际应用。
【答案】(1)这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米
(2)
【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用．
（1）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可；
（2）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是2和3，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可．
【详解】（1）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，
则，
∴，
∴所用篱笆的长为米，
，
∵当且仅当时，的值最小，最小值为，
∴或（舍去），
∴这个长方形的两边分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米；
（2）解：设的面积为a，
∵，
∴，
∴，
∴四边形的面积：，
∵，
∴当，即时，四边形的面积的最小值为：．
3．（2025·海南儋州·模拟预测）综合与实践
代数推理指设定一定的条件下，依据代数的定义、公式、运算法则、等式与不等式的性质等证明已知结论．
【感知问题】小明计算的时候，发现对于任意两个连续的正奇数m和n，它们的乘积较小数的平方+较小数的2倍．
【举例验证】为验证猜想的正确与否，小明又例举了几组数据：
当时，；
当时，；
当时，；
……
【推理证明】小明做了如下证明：
设两个连续的正奇数分别为（，k为整数）和，则，两个连续的正奇数m和n的乘积较小数的平方+较小数的2倍．
(1)【类比猜想】小红提出：任意两个连续的正奇数m和n，它们的乘积较大数的平方较大数的2倍．请举例验证并推理证明．
(2)【深入思考】若（m，n为连续的正奇数，q为它们的乘积），求证p能被4整除．
考查知识点：连续正奇数的代数式表示、多项式乘法（平方差公式）、因式分解、二次根式化简。
能力要求：代数推理与猜想验证的能力、整式运算与根式化简的运算能力、分析代数式整除性的数论思维能力。
考法特点：以 “类比猜想 + 推理证明” 为脉络，从范例迁移到新问题，考查代数逻辑与知识迁移。
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了多项式乘以多项式运算，因式分解，二次根式的应用等知识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）举例按照小红猜想验证即可，设两个连续的正奇数为（为整数）和，则，则，再仿照小明的证明思路求证即可；
（2）先表示出，，再代入，根据二次根式的性质化简证明即可．
【详解】（1）解：举例验证：当时，．（答案不唯一，合理即可）
推理证明：设两个连续的正奇数为（为整数）和，则，
，
两个连续的正奇数和的乘积较大数的平方较大数的2倍．
（2）证明：，
．
又为整数，
能被4整除．
4．（2025·银川·一模）阅读下列材料，并完成相应的任务
数形结合解决二次根式求和问题 求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？ 下面我们讨论一种新的方法——数形结合法 【例题】求的最小值 【分析】，将x和3分别作为的两条直角边，如图1所示，，，， ，将和4分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则， 将与如图3所示放置，使点B与点F重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长．（依据）
任务：
(1)直接写出材料中的依据为：_________；
(2)写出求解长的解题过程；
(3)按照材料中例题的方法，直接写出的最小值为_________．
考查知识点：两点之间线段最短、勾股定理、矩形性质、二次根式的几何意义。
能力要求：代数问题几何化的数形结合能力、用勾股定理与矩形性质计算线段的能力、迁移方法解同类题的能力。
考法特点：以 “阅读材料 + 任务递进” 为结构，通过例题讲数形结合法，再设同类最值题，考查新方法的理解与应用。
【答案】(1)两点之间线段最短
(2)
(3)
【分析】本题考查了两点之间线段最短、矩形的判定与性质、勾股定理，二次根式的运算；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据两点之间线段最短即可得解；
（2）作交的延长线于，则四边形为矩形，得出，，求出，，再由勾股定理计算即可得解；
（3）仿照材料给出的方法计算即可得解．
【详解】（1）解：材料中的依据为：两点之间线段最短；
（2）解：如图：作交的延长线于，
则，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，，
∴，，
∴；
（3）解：，将x和分别作为的两条直角边，如图1所示，，，，
，将和分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则，
将与如图3所示放置，使点B与点F重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长，
作交的延长线于，
则，
∴四边形为矩形，
∴，E
∵，，，
∴，，
∴；
∴的最小值为．
5．（2025·河北邯郸·二模）已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索．
实验操作：
第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平；
第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处；
第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形．
问题解决：
（1）求证：矩形是黄金矩形；
（2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）；
拓展延伸：
淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明．
考查知识点：黄金矩形的定义、折叠的线段相等性质、勾股定理、尺规作图、矩形的判定与性质。
能力要求：利用折叠与勾股定理计算验证黄金矩形的能力、尺规作图的实操能力。
考法特点：以 “折纸 + 尺规作图” 为情境，从验证黄金矩形到拓展作图，考查几何性质与作图技能的结合。
【答案】问题解决：（1）见解析；（2）见解析；拓展延伸：矩形也是黄金矩形，见解析
【分析】本题考查几何变换综合题，黄金矩形的定义，正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，翻折变换，二次根式的运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）由操作过程可知，．设，则，表示，结合，计算，可得矩形是黄金矩形．
（2）在线段的延长线上截取，过作的垂线交于，结合（1）的结论可得矩形是黄金矩形．
（3）根据问题解决（1）可得，，求解，再进一步求解即可.
【详解】（1）证明：由操作过程可知，．
设，则，
，
由折叠的性质，得，
，
，
矩形是黄金矩形．
（2）解：作图如图．
拓展延伸 解：矩形也是黄金矩形．
证明：由问题解决（1）可得，，
，
，
矩形也是黄金矩形．
题型01 二次根式有意义的条件（★）
1．（2025·北京·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
故答案为：．
2．（2025·黑龙江·一模）若式子在实数范围内有意义，则的值可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，根据分式和二次根式有意义的条件列出不等式解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
解得，
∴的值可以是 ．（答案不唯一）
3．（2025·四川资阳·二模）函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．且，
【答案】C
【分析】本题主要考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，零指数幂有意义的条件是底数不为0，据此求解即可．
【详解】解：∵式子有意义，
∴，
∴且，
故选：C．
4．（2025·广东·模拟预测）如果，那么的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．
根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解： ，
，，
，，
．
故答案为：．
题型02 利用二次根式有意义的条件求参数（★★）
1．（2025·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，根据非负数的性质确定出，，则，然后根据各象限内点的坐标特征解答，熟记各象限内点的坐标的符号是解题的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴点在第四象限，
故选：．
2．（2025威远县模拟预测）已知实数满足，则的值是 ．
【答案】2015
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，得到，进而得到，化简，移项后，利用平方法进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2015．
题型03 利用二次根式的性质化简（★）
1．（2025·全国·一模）若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的非负性可得，解不等式即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
2．（2025·浙江·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了化简绝对值、二次根式的性质、完全平方公式等知识，根据题意可得，，将整理为，根据绝对值的性质和二次根式的性质，化简求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
故选：C．
3．（2025·河南安阳·模拟预测）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简 ．
【答案】0
【分析】本题考查实数与数轴，化简二次根式，根据点在数轴上的位置，判断数的符号，式子的符号，再根据二次根式的性质，进行化简即可．
【详解】解：由图可知：，
∴，
∴原式；
故答案为：0．
题型04 最简二次根式/同类二次根式的识别（★）
1．（2025·云南丽江·模拟预测）下列二次根式：，是最简二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
根据最简二次根式的定义分别判断解答即可．
【详解】解：下列二次根式：中，
是最简二次根式的有，，
其中都不是最简二次根式，可以化为最简二次根式，
，
，
，
故选：B．
2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知、、、，与是同类二次根式的是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义；
先利用二次根式的性质化简，再根据同类二次根式的定义进行判断．
【详解】解：，，
与是同类二次根式的是，
故答案为：．
3．（2025安顺市一模）已知最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值为（ ）．
A．5 B．3 C．4 D．7
【答案】C
【分析】本题考查合并同类二次根式，根据题意，得到与为同类二次根式，根据同类二次根式的定义，进行求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式与二次根式能够合并，
∴，
∴；
故选C．
题型05 二次根式的乘除运算（★）
1．（2025·广东深圳·模拟预测）下列各式的计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的乘除；根据二次根式的乘除法运算法则进行求解逐一判断即可．
【详解】A． ，故本选项错误；
B． ，故本选项错误；
C． ，正确；
D． ，故本选项错误．
故选： C．
2．（2025·吉林·三模）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的乘除运算法则计算即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
3．（2025山西模拟）下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（ ）
填空（每小题分，共分） ①的倒数是；②的绝对值是；③； ④；⑤体积为的立方体的棱长为
A．分 B．分 C．分 D．分
【答案】C
【分析】本题考查了倒数，绝对值，立方根，二次根式的乘除运算，根据倒数、绝对值、立方根的定义及二次根式的运算法则计算逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：①的倒数是，该题做错了；
②的绝对值是，该题做对了；
③，该题做错了；
④，该题做对了；
⑤体积为的立方体的棱长为，该题做对了；
∴得分应是分，
故选：．
题型06 二次根式的加减运算（★）1．（2025·河北·一模）若，则表示实数的点会落在数轴的（ ）
A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次根式的化简，减法运算及估算，先化简二次根式，计算出a的值，再估算出a的范围，再结合数轴即可得出结果．
【详解】解：∵，
∴，
，，
，
即，
故实数a的点会落在数轴的段②上，
故选：B．
2．（2025·全国·一模）下列运算结果与相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、合并同类同类二次根式、二次根式的乘除运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键．
先根据二次根式的性质、合并同类二次根式化简，然后再根据二次根式的乘除法计算C、D选项，然后再判断即可．
【详解】解：；
A． ，符合题意；
B． ，不符合题意；
C． ，不符合题意；
D． ，不符合题意．
故选A．
3．（2025·广东深圳·模拟预测）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的加减运算、二次根式的分母有理化、零指数幂，熟练掌握运算法则是解题关键．先分母有理化、化简绝对值、计算零指数幂，再计算加减法即可得．
【详解】解：原式
．
4．（2025·湖南长沙·一模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，先根据负整数指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值计算，再根据实数的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
题型07 二次根式的化简求值问题（★★）
1．（2025·北京顺义·一模）已知，求代数式的值．
【答案】3
【分析】本题主要考查了代数式求值，先把代数式按乘法公式展开，然后合并同类项，再分组后根据完全平方式变形出，再整体代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
2．（2025·黑龙江大庆·三模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查分式的运算 ，二次根式的化简求值；先根据分式的运算法则再结合完全平方公式和平方差公式进行化简，再把代入计算即可．
【详解】解：
，
，
；
当时，原式．
3．（2025福田区二模）已知：，，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握二次根式的混合运算及分母有理化是解题的关键，
（1）根据，，，代入求值即可；
（2）先由，，求得，，再将化为后代入求值即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴
．
4．（2025锡林郭勒三县一模）（1）已知，化简求值
（2）先化简，再求值：，其中，
【答案】（1），；（2），
【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式的性质，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先判断，再把所给代数式化简，然后把代入计算；
（2）先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把所给数值代入计算．
【详解】解：（1）∵，
∴
∴，
∴
，
当时，
原式；
（2）
当， 时，
原式．
题型08 分母有理化（★★）
1．（2025·甘肃定西·一模）观察下列计算：
，
，
，
……
从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
先分母有理化，然后合并后利用平方差公式计算．
【详解】解：
，
故答案为：．
2．（2025·天津西青·二模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．先分母有理化，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
3．（2025深圳市一模）在解决问题“已知．求的值”时．聪聪是这样分析与解答的：
解：．
．
请你根据聪聪的分析过程，解决如下问题：
(1)化简；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分母有理化、代数式的求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）分子、分母都乘，再进一步计算即可化简；
（2）仿照题意的方法，由得到，再利用整体代入法即可求值．
【详解】（1）解：．
（2）解：，
，
，即，
，
．
1．（2025·四川达州·二模）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查特殊角的三角函数，分母有理化，二次根式的化简，掌握知识点是解题的关键．
根据特殊角的三角函数，分母有理化计算，再进行二次根式的化简，即可解答．
【详解】解：．
故答案为：．
2．（2025年浙江省强基计划数学优质模拟卷（一））已知，则x的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式，先结合二次根式的性质得，再整理原式为，根据完全平方公式进行变形化简得，再求出x的值，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
把整理得，
则，
∴，
∴，
解得，
即，
∴，
故答案为：
3．（2025年湖北省武汉市第三中学九年级数学中考模拟训练试卷）平面直角坐标系内，若点和点关于直线对称，则的计算结果是 ．
【答案】
【分析】先根据点和点关于直线对称，得到方程组，求出，再代入求值即可．
【详解】解：∵点和点关于直线对称，
∴，
解得
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，解二元一次方程组，轴对称的性质，利用二次根式的性质化简等知识点，正确求出是解题的关键．
4．（2025·全国·一模）实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查非负性和勾股定理，非负性求出的值，分为直角边和为斜边两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴当为直角边时，第三边的长为；
当为斜边时，第三边的长为；
故答案为：或．
5．（2025·山东济宁·三模）将一组数，2，，，，，…，按如图方式进行排列，则第六行左起第1个数是 ．
第一行
第二行 2
第三行
……
【答案】
【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出前五行共有个数，第个数为，从而可得第六行左起第1个数是第个数，据此求解即可得．
【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，
归纳类推得：前五行共有个数，第个数为，
则第六行左起第1个数是，
故答案为：．
6．（2025·浙江·模拟预测）已知等腰三角形的底边长为12，一个内角的正切值为，此三角形的面积为 ．
【答案】48或72
【分析】本题考查等腰三角形的性质，锐角三角函数，勾股定理，根据题意画出草图，利用一个内角的正切值为，分以下两种情况讨论，①当这个内角为底角时，②当这个内角为顶角时，利用三角函数结合等腰三角形性质，以及勾股定理建立等量关系，求出三角形的底和高，即可解题．
【详解】解：设这个内角为，
①当这个内角为底角时，则，如图所示：过点作于点，
∵，
∴，
∵，
设，，
∵
，
解得，
，
三角形的面积为：；
②当这个内角为顶角时，则，如图所示：过点作于点
，
设，，
，
，
，
，
，
，
解得，
，，
三角形的面积为：；
综上所述，三角形的面积为48或72．
故答案为：48或72．
1．（2025·河北·中考真题）计算：（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解．
【详解】解：
故选：B．
2．（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查幂的运算、积的乘方、二次根式的加减法则．需逐一分析各选项的正确性．
【详解】解：A． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故，但选项结果为，错误．
B． 积的乘方需将每个因式分别乘方，且负数的奇数次方为负数，故，但选项结果为，错误．
C． 二次根式相减不能直接合并为被开方数相减．例如，时，，而，错误．
D． 同类二次根式相加，系数相加，根式部分不变，故，正确．
综上，正确答案为D．
故选：D．
3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）若式子有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零．分式有意义的条件：分母不为零． 根据二次根式以及分式有意义，得出关于x的不等式，解出即可得出x的取值范围．
【详解】解：要使式子有意义，
即，
∴．
故答案为：．
4．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键．
【详解】解：
将，，代入上式：
故答案为：．
5．（2025·江苏宿迁·中考真题）计算：．
【答案】．
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据二次根式的性质，特殊三角函数值，化简绝对值进行运算，然后合并即可，掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：
．
6．（2025·云南·中考真题）计算：．
【答案】8
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，涉及负整数和零指数幂，二次根式的乘法运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键．
分别计算零指数幂、负整数指数幂，二次根式的乘法，计算绝对值，特殊角的三角函数值，再进行加减计算即可．
【详解】解：
．
7．（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中．
【答案】
【分析】此题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，先把分式化成最简，然后把代入，通过二次根式的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，
原式
．
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第一章 数与式
第04讲 二次根式
目 录
01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 二次根式有意义的条件（★） 题型02 利用二次根式有意义的条件求参数（★★） 题型03 利用二次根式的性质化简（★） 题型04 最简二次根式/同类二次根式的识别（★） 题型05 二次根式的乘除运算（★） 题型06 二次根式的加减运算（★）题型07 二次根式的化简求值问题（★★） 题型08 分母有理化（★★） 能力通关
1．（2025·广东广州·一模）描点法是探究函数图象变化规律的重要方法．请用该方法探究函数的图象变化规律．
… …
… …
(1)求函数自变量的取值范围；
(2)请按照描点法的步骤（列表、描点、连线），在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)已知点是函数图象上的点，若，求的取值范围．
考查知识点：函数自变量取值范围（二次根式有意义条件）、描点法画函数图象、函数增减性、函数图象与不等式。
能力要求：确定函数定义域的能力、描点作图的实操能力、通过图象分析函数性质并解不等式的逻辑能力。
考法特点：以新函数探究为载体，串联 “定义域 - 作图 - 性质应用”，考查函数概念与图象法的综合运用。
2．（2025山西模拟预测）【阅读下列材料】：
若，，则，，∴．（注：）∵，，∴．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大；当时，取等号．）
【例】：若，，，求的最小值．
解：∵，，
∴，
∴．
∴时，的最小值为8
【解决问题】(1)用篱笆围成一个面积为的长方形菜园（一面靠墙，墙足够长），当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少；
(2)如图，四边形的对角线相交于点O，、的面积分别为2和3，求四边形面积的最小值．
考查知识点：基本不等式、长方形周长与面积的实际建模、四边形面积的比例推导、完全平方公式。
能力要求：基本不等式的应用能力、实际问题的数学建模能力、代数变形与最值求解的结合能力。
考法特点：以 “阅读材料 + 实际场景” 为形式，先铺垫基本不等式推导，再设几何面积问题，考查知识迁移与实际应用。
3．（2025·海南儋州·模拟预测）综合与实践
代数推理指设定一定的条件下，依据代数的定义、公式、运算法则、等式与不等式的性质等证明已知结论．
【感知问题】小明计算的时候，发现对于任意两个连续的正奇数m和n，它们的乘积较小数的平方+较小数的2倍．
【举例验证】为验证猜想的正确与否，小明又例举了几组数据：
当时，；
当时，；
当时，；
……
【推理证明】小明做了如下证明：
设两个连续的正奇数分别为（，k为整数）和，则，两个连续的正奇数m和n的乘积较小数的平方+较小数的2倍．
(1)【类比猜想】小红提出：任意两个连续的正奇数m和n，它们的乘积较大数的平方较大数的2倍．请举例验证并推理证明．
(2)【深入思考】若（m，n为连续的正奇数，q为它们的乘积），求证p能被4整除．
考查知识点：连续正奇数的代数式表示、多项式乘法（平方差公式）、因式分解、二次根式化简。
能力要求：代数推理与猜想验证的能力、整式运算与根式化简的运算能力、分析代数式整除性的数论思维能力。
考法特点：以 “类比猜想 + 推理证明” 为脉络，从范例迁移到新问题，考查代数逻辑与知识迁移。
4．（2025·银川·一模）阅读下列材料，并完成相应的任务
数形结合解决二次根式求和问题 求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？ 下面我们讨论一种新的方法——数形结合法 【例题】求的最小值 【分析】，将x和3分别作为的两条直角边，如图1所示，，，， ，将和4分别作为的两条直角边，如图2所示，，，则， 将与如图3所示放置，使点B与点F重合，与在一条直线上，则的最小值为线段的长．（依据）
任务：
(1)直接写出材料中的依据为：_________；
(2)写出求解长的解题过程；
(3)按照材料中例题的方法，直接写出的最小值为_________．
考查知识点：两点之间线段最短、勾股定理、矩形性质、二次根式的几何意义。
能力要求：代数问题几何化的数形结合能力、用勾股定理与矩形性质计算线段的能力、迁移方法解同类题的能力。
考法特点：以 “阅读材料 + 任务递进” 为结构，通过例题讲数形结合法，再设同类最值题，考查新方法的理解与应用。
5．（2025·河北邯郸·二模）已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索．
实验操作：
第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平；
第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处；
第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形．
问题解决：
（1）求证：矩形是黄金矩形；
（2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）；
拓展延伸：
淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明．
考查知识点：黄金矩形的定义、折叠的线段相等性质、勾股定理、尺规作图、矩形的判定与性质。
能力要求：利用折叠与勾股定理计算验证黄金矩形的能力、尺规作图的实操能力。
考法特点：以 “折纸 + 尺规作图” 为情境，从验证黄金矩形到拓展作图，考查几何性质与作图技能的结合。
题型01 二次根式有意义的条件（★）
1．（2025·北京·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
2．（2025·黑龙江·一模）若式子在实数范围内有意义，则的值可以是 ．
3．（2025·四川资阳·二模）函数中自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．且，
4．（2025·广东·模拟预测）如果，那么的值为 ．
题型02 利用二次根式有意义的条件求参数（★★）
1．（2025·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025威远县模拟预测）已知实数满足，则的值是 ．
题型03 利用二次根式的性质化简（★）
1．（2025·全国·一模）若，则实数的取值范围是 ．
2．（2025·浙江·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2025·河南安阳·模拟预测）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简 ．
题型04 最简二次根式/同类二次根式的识别（★）
1．（2025·云南丽江·模拟预测）下列二次根式：，是最简二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知、、、，与是同类二次根式的是 ．
3．（2025安顺市一模）已知最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值为（ ）．
A．5 B．3 C．4 D．7
题型05 二次根式的乘除运算（★）
1．（2025·广东深圳·模拟预测）下列各式的计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·吉林·三模）计算： ．
3．（2025山西模拟）下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（ ）
填空（每小题分，共分） ①的倒数是；②的绝对值是；③； ④；⑤体积为的立方体的棱长为
A．分 B．分 C．分 D．分
题型06 二次根式的加减运算（★）1．（2025·河北·一模）若，则表示实数的点会落在数轴的（ ）
A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上
2．（2025·全国·一模）下列运算结果与相等的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·广东深圳·模拟预测）计算：．
4．（2025·湖南长沙·一模）计算：．
题型07 二次根式的化简求值问题（★★）
1．（2025·北京顺义·一模）已知，求代数式的值．
2．（2025·黑龙江大庆·三模）先化简，再求值：，其中．
3．（2025福田区二模）已知：，，求下列各式的值．
(1)；
(2)．
4．（2025锡林郭勒三县一模）（1）已知，化简求值
（2）先化简，再求值：，其中，
题型08 分母有理化（★★）
1．（2025·甘肃定西·一模）观察下列计算：
，
，
，
……
从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算： ．
2．（2025·天津西青·二模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ．
3．（2025深圳市一模）在解决问题“已知．求的值”时．聪聪是这样分析与解答的：
解：．
．
请你根据聪聪的分析过程，解决如下问题：
(1)化简；
(2)若，求的值．
1．（2025·四川达州·二模）计算： ．
2．（2025年浙江省强基计划数学优质模拟卷（一））已知，则x的值为 ．
3．（2025年湖北省武汉市第三中学九年级数学中考模拟训练试卷）平面直角坐标系内，若点和点关于直线对称，则的计算结果是 ．
4．（2025·全国·一模）实数m，n满足，则以m，n为边长的直角三角形的第三边长为 ．
5．（2025·山东济宁·三模）将一组数，2，，，，，…，按如图方式进行排列，则第六行左起第1个数是 ．
第一行
第二行 2
第三行
……
6．（2025·浙江·模拟预测）已知等腰三角形的底边长为12，一个内角的正切值为，此三角形的面积为 ．
1．（2025·河北·中考真题）计算：（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2025·广东广州·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·黑龙江绥化·中考真题）若式子有意义，则的取值范围是 ．
4．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ．
5．（2025·江苏宿迁·中考真题）计算：．
6．（2025·云南·中考真题）计算：．
7．（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中．
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