(共31张PPT)
第八章 统计与概率
第40课时 概率
人教：九上P126～P153；华师：九上P125～P162；
北师：七下P135～P159，九上P59～P74.
考点1
事件的分类
事件类型 概念
必然事件 在一定条件下，一定会发生的事件
不可能事件 在一定条件下，一定不会发生的事件
随机事件 在一定条件下，有可能发生，也有可能不发生的事件
例1 (2025南平一检)下列事件是必然事件的是( )
A.三角形内角和是180°
B.明天的太阳从西边升起
C.抛掷一枚硬币，正面向上
D.汽车累计行驶10 000 km，从未出现故障
A
变式1 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是__________事件.(填“必然”“不可能”或“随机”)
随机
考点2
概率的概念及计算
常见方法 具体内容
公式法 如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)＝① ；常用于一步概率的计算
列表法 当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法；常用于两步概率的计算
常见方法 具体内容
画树状 图法 当一次试验涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法；常用于两步或多步概率的计算
几何概型 若一个试验涉及的面积(或体积、长度、角度、时间)是S，事件A发生时涉及的面积(或体积、长度、角度、时间)是S1，则事件A发生的概率P(A)＝______________
②
例2 (2025宁德4月质检)有4个外观完全相同的密封试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、氢氧化钠四种溶液.小星从这4个试剂瓶中任意抽取1个，则抽到的是酸性溶液的概率是( )
A.
C.
C
变式2 (2025苏州)一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为
，则红球的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
B
例3 一个可以自由转动的转盘如图所示，转盘被等分成四个相同的扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在白色区域的概率为______.
例4 为丰富初中生假期生活，某学校组织学生参加“社会实践”“环境调查”“职业体验”三种活动.小丽和小莹从中随机选择一个活动参加，两人恰好选择同一活动的概率是( )
A.
C.
B
变式4－1 (2025浙江)现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有数字1，4，5的卡片在甲手中，标有数字2，3，6的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是_______.
变式4－2 (2025漳州二检改编)国家卫健委发布的《体重管理指导原则(2024年版)》明确用体质指数(BMI)来衡量人体的胖瘦程度.若一个人的体重为w kg，身高为h m，则BMI＝.我国健康成年人的BMI(单位：kg/m2)正常范围为18.5≤BMI＜24.0，BMI＜18.5为体重过低，24.0≤BMI＜28.0为超重，BMI≥28.0为肥胖.某校为了了解学生的身体健康情况，从学生体检的数据中随机抽取了部分学生的身高体重数据，计算他们的BMI值，并填写在如下的表格中.请根据表中提供的信息，回答下列问题.
数值 BMI＜18.5 18.5≤BMI＜24.0 24.0≤BMI＜28.0 BMI≥28.0
频数 12 55 9 d
频率 a b c 5％
(1)求a＋b＋c的值及抽查的学生人数；
数值 BMI＜18.5 18.5≤BMI＜24.0 24.0≤BMI＜28.0 BMI≥28.0
频数 12 55 9 d
频率 a b c 5％
解：由表格可知a＋b＋c＝1－5％＝95％.
抽查的学生人数为＝80.
(2)在抽查的学生中，身体肥胖的学生依次用A1，A2，…表示，学校决定从这些身体肥胖的学生中，随机抽查两名学生了解他们的减肥计划，请用画树状图法或列表法求恰好抽到学生A1和A2的概率.
数值 BMI＜18.5 18.5≤BMI＜24.0 24.0≤BMI＜28.0 BMI≥28.0
频数 12 55 9 d
频率 a b c 5％
解：依题意，身体肥胖的学生人数d＝80×5％＝4.
∴从4名身体肥胖的学生中随机抽查两名学生，画树状图如下.
共有12种等可能结果，其中抽到A1和A2的结果有2种.
∴P(恰好抽到学生A1和A2)＝＝.
例5 (2025龙岩二检)不透明的袋子中装有8个球，除颜色外无其他差别.每次把球充分搅匀后，随机摸出一个球记下颜色再放回袋子.通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定于0.25，则袋子中白球的个数约是_______.
考点3
用频率估计概率
2
变式5 二维码已深入人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分.一个边长为5 cm的正方形二维码如图所示，若在该二维码内随机抛掷100个点，有60个点落入黑色区域，则估计黑色区域的面积是________cm2.
15
例6 (2025福州二检)某班开展抽奖游戏，每位同学只能参加一次，抽奖的方式是从一个不透明的盒子中摸球，具体摸球方案与获奖规则如下.
摸球方案：①在一个不透明的盒子中装入9个除颜色外完全一样的小球，其中1个黄球，8个白球；
②从袋中随机摸出一个小球，记录颜色后放回.
获奖规则：①若摸出的是黄球，则获得奖品A；
②若摸出的是白球，则获得奖品B.
考点4
概率的应用
(1)求该班某位同学参加该游戏“获得奖品A”与“获得奖品B”的概率分别是多少；
解：由题意知，共有9种等可能的结果，其中取出的是黄球的结果有1种，取出的是白球的结果有8种.
∴该班某位同学参加该游戏“获得奖品A”的概率为，“获得奖品B”的概率为.
(2)若从原方案的盒子中取走6个白球，请利用剩下的3个小球，设计一个新的摸球方案与获奖规则，使得“获得奖品A”和“获得奖品B”的概率与原摸球方案的概率分别相等.
解：新的摸球方案：从袋中剩余的1个黄球、2个白球中先随机摸出一个小球，记录颜色后放回，再随机摸出一个小球.
获奖规则：若摸出的两个球都是黄球，则获得奖品A，否则获得奖品B.
此时列表如下：
第一次 第二次
黄 白 白
黄 (黄，黄) (黄，白) (黄，白)
白 (白，黄) (白，白) (白，白)
白 (白，黄) (白，白) (白，白)
共有9种等可能的结果，其中摸出的两个球都是黄球的结果有1种.
∴“获得奖品A”的概率为，“获得奖品B”的概率为.
专题“统计与概率”见本册P124～P125
1.(2025福建，T6)在分别写有－1，1，2的三张卡片中，不放回地随机抽取两张，这两张卡片上的数恰好互为相反数的概率是( )
A.
C.
命题点
概率的计算
7年7考
B
2.(2024 福建，T6)哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是( )
A.
C.
B
3.(2022福建，T13)一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别.现随机从袋中摸出一个球，这个球是红球的概率是________.
4.(2023福建，T22)为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动.活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会.抽奖方案如下：从装有大小、质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品；若摸得黄球，则不中奖.同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球(它们的大小、质地与袋中的4个球完全相同)，然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份.现已知某顾客获得抽奖机会.
(1)求该顾客首次摸球中奖的概率.
解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果.
记“首次摸得红球”为事件A，则事件A发生的结果只有1种.
∴P(A)＝，即顾客首次摸球中奖的概率为.
(2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由.
解：他应往袋中加入黄球.理由如下：
记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下：
第1球 第2球
红 黄① 黄② 黄③ 新
红 — 红，黄① 红，黄② 红，黄③ 红，新
黄① 黄①，红 — 黄①，黄② 黄①，黄③ 黄①，新
黄② 黄②，红 黄②，黄① — 黄②，黄③ 黄②，新
黄③ 黄③，红 黄③，黄① 黄③，黄② — 黄③，新
新 新，红 新，黄① 新，黄② 新，黄③ —
共有20种等可能的结果.
①若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有8种，
此时该顾客获得精美礼品的概率P1＝＝；
②若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有12种，
此时该顾客获得精美礼品的概率P2＝＝.
∵＜，∴P1＜P2.
∴他应往袋中加入黄球.(共37张PPT)
第八章 统计与概率
第39课时 统计
人教：七下P134～P161，八下P110～P137；
华师：八上P129～P153，八下P129～P160，九下P77～P107；
北师：七上P154～P188，八上P135～P160.
考点1
全面调查与抽样调查
全面调查 考察全体对象的调查，也称普查
抽样 调查 概念 抽取部分对象调查，推断全体对象情况
总体 考察的全体对象
个体 总体中的每一个考察对象
样本 从总体中抽取的① 个体
样本容量 一个样本中包含的个体的数目
一部分
例1 (2025湖南省卷)下列调查中，适合采用全面调查的是( )
A.了解某班同学的跳远成绩
B.了解夏季冷饮市场上冰激凌的质量情况
C.了解全国中学生的身高状况
D.了解某批次汽车的抗撞击能力
A
(1)当调查对象范围小、调查不具有破坏性、意义重大、数据要求准确全面时，宜采用全面调查；
(2)当调查对象涉及面广、范围大、受条件限制或具有破坏性时，宜采用抽样调查.
例2 (2025福州二检)要了解全校学生每周课余用于体育锻炼的时间，下列选取调查对象的方式中最合适的是( )
A.随机选取一个班的学生
B.随机选取一个体育队的学生
C.在全校女生中随机选取100人
D.在全校学生中随机选取100人
D
变式2 某中学共有2 500名学生，为了解全校学生的每周课外阅读情况，从中抽取了200名学生进行统计分析，本次调查的样本容量是________.
200
考点2
统计图表的分析
名称 特征
扇形统计图 能清楚地表示出部分在总体中所占的百分比，易于显示每组数据相对于总数的大小，一般不表示具体数量
条形统计图 能清楚地显示每组中的具体数据，易于比较数据之间的差别
折线统计图 能清楚地反映事物的变化趋势
频数分布直方图 能清楚地表示收集的数据，能显示各频数的分布情况
频数分布表 能清楚表示出各部分所占频率及数量
例3 (2025泉州模拟)设小明同学的月零花钱为a元，其月支出情况如扇形统计图所示，下列说法不正确的是( )
A.捐赠款所对应扇形的圆心角为240°
B.小明的捐赠款为0.6a元
C.捐赠款是购书款的2倍
D.其他消费占10％
A
例4 某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理绘制成如图所示的统计图(四次参加模拟考试的学生人数不变)，下列结论不正确的是( )
A.共有500名学生参加模拟测试
B.第2个月增长的“优秀”人数最多
C.从第1个月到第4个月，“优秀”的
学生人数在总人数中的占比逐渐增长
D.第4个月“优秀”的学生达到65人
D
考点3
用样本估计总体
基本 思想 a.用样本基本数字特征估计总体基本数字特征；
b.用样本的频率分布估计总体的频率分布
例5 (2025泉州模拟)为了解九年级同学春节期间体育锻炼总时间，老师随机抽查了本校100名九年级同学，将所得数据整理后制作成如图所示的频数分布直方图.估计本校500名九年级同学春节期间体育锻炼总时间不少于30 h的人数是( )
A.30
B.70
C.150
D.200
C
变式5(2025连云港)为了解八年级学生的体重情况，某校随机抽取了八年级部分学生进行测量，收集并整理数据后，绘制了如下尚不完整的统计图表.
组别 体重x/kg 频数(人数)
A类 x＜49.5 10
B类 49.5≤x＜59.5 a
C类 59.5≤x＜69.5 8
D类 x≥69.5 b
体重情况统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)a＝_______，b＝_______；
组别 体重x/kg 频数(人数)
A类 x＜49.5 10
B类 49.5≤x＜59.5 a
C类 59.5≤x＜69.5 8
D类 x≥69.5 b
体重情况统计表
20
2
(2)在扇形统计图中，C类所对应扇形的圆心角度数是________°；
组别 体重x/kg 频数(人数)
A类 x＜49.5 10
B类 49.5≤x＜59.5 a
C类 59.5≤x＜69.5 8
D类 x≥69.5 b
体重情况统计表
72
解：估计体重在59.5kg及以上的学生有1 200×＝300(人).
(3)若该校八年级共有1 200名学生，估计体重在59.5 kg及以上的学生有多少人.
组别 体重x/kg 频数(人数)
A类 x＜49.5 10
B类 49.5≤x＜59.5 a
C类 59.5≤x＜69.5 8
D类 x≥69.5 b
体重情况统计表
考点4
平均数、中位数、众数与方差 重点
平均数 (1)已知n个数据x1，x2，…，xn.
平均数＝② ；
加权平均数 ＝(x1 f1＋x2 f2＋…＋xk fk)，其中f1， f2，…， fk分别表示x1， x2，…，xk出现的次数，n＝f1＋f2＋…＋fk.
(2)反映一组数据的平均水平，与数据的排列位置无关，容易受极端数据的影响
(x1＋x2＋…＋xn)
中位数 (1)将一组数据按大小排列，处于③ 位置的数(奇数个数据)或中间位置的两个数据的④ (偶数个数据)为这组数据的中位数；
(2)反映一组数据的中等水平，不受极端数据影响
众数 (1)一组数据中出现次数⑤ 的数据；
(2)反映一组数据的集中程度，众数可能不唯一，也可能没有
中间
平均数
最多
方差 (1)n个数据x1，x2，…，xn的方差s2＝_________________________
_______________；
(2)方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小；
(3)当几组数据的平均数相同时，用方差来比较几组数据的稳定性
⑥
［(x1－)2＋(x2－)2＋
…＋(xn－)2］
例6 某学校组织了一场体育测试，现抽出60个人的体育考试分数，并对此进行统计，如图所示.关于这60人的分数，下列说法正确的是( )
A.中位数是12
B.中位数是75
C.众数是21
D.众数是85
D
变式6 学校歌咏比赛，共有11位评委分别给出参赛选手的原始评分，评定参赛选手的成绩时，从11个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到9个有效评分，9个有效评分与11个原始评分相比，在中位数、众数、方差、平均数中，一定不变的特征数据是____________.
中位数
例7 (2025泉州模拟)现有甲、乙、丙、丁四批赵县雪花梨，从中各随机抽取40个，测得它们直径(单位：mm)的平均数与方差分别如下：甲＝
乙＝55，丙＝丁＝60，＝＝21，＝＝1.7，则雪花梨又
大又整齐的是( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
D
例8 某校举行演讲比赛.小吴同学的“演讲内容”得96分，“语言表达”得85分，“仪表形象”得90分.若依次按5∶4∶1的比例计算，则她的最后得分是________分.
91
1.(2021福建，T13)某校共有1 000名学生.为了了解学生的中长跑成绩分布情况，随机抽取100名学生的中长跑成绩，画出条形统计图，如图.根据所学的统计知识可估计该校中长跑成绩优秀的学生人数是_________.
命题点1
用样本估计总体
7年3考
270
2.(2022福建，T8)2021年福建省的环境空气质量达标天数位居全国前列.下图是福建省10个地区环境空气质量综合指数统计图.
综合指数越小，表示环境空气质量越好.依据综合指数，从图中可知环境空气质量最好的地区是( )
A.F1
B.F6
C.F7
D.F10
命题点2
统计图表的分析
7年9考
D
3.(2023福建，T8)为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼.小亮记录了自己一周内每天校外锻炼的时间(单位：min)，并制作了如图所示的统计图.根据统计图，下列关于小亮该周每天校外锻炼时间的描述，正确的是( )
A.平均数为70 min B.众数为67 min
C.中位数为67 min D.方差为0
命题点3
平均数、中位数、众数与方差
7年7考
B
由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A______B.(填“＞”“＜”或“＝”)
4.(2025福建，T15)某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩(百分制)按4∶3∶2∶1的比例计算最终成绩.参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如下表：
员工 项目
听 说 读 写 最终成绩
甲 A 70 80 90 82
乙 B 90 80 70 82
＞
5.(2024 福建，T13)学校为了解学生的安全防范意识，随机抽取了12名学生进行相关知识测试，将测试成绩整理得到如图所示的条形统计图，则这12名学生测试成绩的中位数是________.(单位：分)
90
解：由题意，得A地考生的数学平均分为×(90×3 000＋80×2 000)＝86(分).
6.(2024福建，T20)已知A，B两地都只有甲、乙两类普通高中学校.在一次普通高中学业水平考试中，A地甲类学校有考生3 000人，数学平均分为90分；乙类学校有考生2 000人，数学平均分为80分.
(1)求A地考生的数学平均分.
解：不能判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高.
(2)若B地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分，据此，能否判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高？若能，请给予证明；若不能，请举例说明.
举例如下：若B地甲类学校有考生1 000人，乙类学校有考生3 000人，则
B地考生的数学平均分为×(94×1 000＋82×3 000)＝85(分).
∵85＜86，
∴不能判断B地考生数学平均分一定比A地考生数学平均分高.
7.(2025福建，T20)甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员.以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息.
信息一：
甲、乙两人集训期间的测试成绩(单位：分)
日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月
20日
甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96
乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85
其中，甲、乙成绩的平均数分别是甲＝85，乙＝85；方差分别是＝58.4，＝a.
日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月
20日
甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96
乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85
信息二：
当地近五年高中数学联赛获奖分数线(单位：分)
年份 2020 2021 2022 2023 2024
获奖分数线 90 89 90 89 90
试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题：
(1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价.
解：＝［(82－85)2＋(83－85)2＋(86－85)2＋(82－85)2＋(92－85)2＋(83－85)2＋(87－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(85－85)2］＝×(9＋4＋1＋9＋49＋4＋4＋1＋1＋0)＝×82＝8.2，即a＝8.2.
日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月
20日
甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96
乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85
∵甲＝85，乙＝85，＝58.4，＝8.2，
日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月
20日
甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96
乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85
∴甲＝乙，＞.
∴甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定.
(2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适.
解：由已知，得获奖分数线的平均数
＝90＋×［0＋(－1)＋0＋(－1)＋0］＝90＋×(－2)＝89.6.
年份 2020 2021 2022 2023 2024
获奖分数线 90 89 90 89 90
由信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适.
(3)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？
解：选甲更合适.理由如下：在集训期间的十次测试中，甲的成绩呈上升趋势，而乙的成绩基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适.
