(共27张PPT)
第七章 图形的变化
第37课时 图形的平移与旋转
人教：七下P28～P33，九上P58～P77；
华师：七下P112～P132；北师：八下P64～P90.
考点1
图形的平移
概念 在平面内，把一个图形整体沿某一直线方向移动一定距离，得到一个新的图形的运动
要素 平移的方向和距离
性质 (1)平移前、后的两个图形① ，如△ABC② △DEF；
(2)对应线段平行(或在同一条直线上)且③ ，如AB∥DE，AB④ DE；
(3)对应角⑤ ，如∠BAC⑥ ∠EDF；
(4)对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等
全等
≌
相等
＝
相等
＝
例1 (2025宁德5月质检)甲骨文是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉.下列甲骨文中，能由其中一部分平移得到的是( )
A B C D
A
变式1-1 (2025厦门模拟)如图，⊙O的半径OC＝5，直线l与⊙O相切于点C，将其沿CO方向平移至直线l′，交⊙O于点A，B，交线段OC于点H，若AB＝8，则平移的距离是___.
2
变式1-2 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，将△ABD沿BC的方向平移，点D移至点C的位置，得到△EFC，求证：∠E＝∠ACE.
证明：∵△EFC是由△ABD平移得到的，
∴AD∥CE，∠E＝∠BAD.
∴∠ACE＝∠CAD.
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∴∠ACE＝∠BAD＝∠E，
即∠E＝∠ACE.
考点2
旋转的概念与性质
概念 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度的几何变换
要素 旋转中心，旋转方向和旋转角
性质 (1)旋转前后图形全等；
(2)对应点到旋转中心的距离⑦ .
相等
例2 (2025南平一检)如图，△ADE是由△ABC绕点A顺时针旋转50°得到的，下列各角中，度数一定等于50°的是( )
A.∠BAD
B.∠BAE
C.∠CAD
D.∠DAE
A
变式2 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－4，0)，点C的坐标为(0，2).以OA，OC为边作矩形OABC.若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为( )
A.(－4，－2)
B.(－4，2)
C.(2，4)
D.(4，2)
C
例3 (2025三明二检)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝74°，D为BC的中点，将线段DA绕点D逆时针旋转74°得到线段DE，连接AE.
(1)求∠BAE的度数；
解：∵AB＝AC，D为BC中点，∠BAC＝74°，
∴∠BAD＝∠BAC＝37°.
∵线段DA绕点D逆时针旋转74°得到线段DE，
∴∠ADE＝74°，DA＝DE.
∴∠DAE＝∠E＝＝53°.
∴∠BAE＝∠DAE－∠BAD＝16°.
(2)若△ABC的面积为25，求△ADE的面积.(精确到1，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
解：由(1)，得∠ADE＝∠BAC＝74°.
∵AB＝AC，DA＝DE，
∴△ABC∽△DAE.
∵cos∠BAD＝cos 37°≈0.80，
∴＝2＝.
∴S△ADE＝×S△ABC＝×25＝16.
∴＝.
∴
.
变式3 (2025莆田二检)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，将矩形ABCD绕点B旋转得到矩形EBGF，若EF恰好经过点C，则CF的长为___.
1
考点3
中心对称与中心对称图形
中心对 称图形 在平面内，把一个图形绕着某一点旋转⑧ ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点叫作它的对称中心
中心 对称 在平面内，把一个图形绕着某一点旋转⑨ ，如果它能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心，旋转前后对应的点叫作对称点
180°
180°
中心对称 的性质 (1)中心对称的两个图形是⑩ 图形；
(2)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 .
，且被对称中心所 .
全等
对称中
心
平分
例4 (2025宁德4月质检)窗棂是我国传统房屋建筑的重要组成部分，具有较高的艺术与观赏价值，下列窗棂纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A B C D
A
例5 如图，△ABC和△DEF关于点O成中心对称.
(1)找出它们的对称中心O；
解：如图，连接AD，CF，相交于点O，点O即为所求.
(2)若AB＝6，AC＝5，BC＝4，求△DEF的周长；
解：∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△DEF.
∴DF＝AC＝5，DE＝AB＝6，EF＝BC＝4.
∴△DEF的周长为EF＋DF＋DE＝4＋5＋6＝15.
(3)连接AF，CD，试判断四边形ACDF的形状，并说明理由.
解：四边形ACDF是平行四边形，理由如下：
连接AF，CD，如图所示.
∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称，
∴OA＝OD，OC＝OF.
∴四边形ACDF是平行四边形.
专题“几何图形的运动变化”见本册P139～P140
1.(2025福建，T2)中国古算诗词歌赋较多.古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式.下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是( )
A B C D
命题点1
7年3考
中心对称与中心对称图形
D
2.(2019福建，T3)下列图形中，一定既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.平行四边形 D.正方形
D
3.(2022福建，T10)如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，点A对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC移动到△A′B′C′，点A′对应直尺的刻度为0，则四边形ACC′A′的面积是( )
A.96
B.96
C.192
D.160
命题点2
7年2考
图形的平移及计算
B
4.(2021福建，T21)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上.
(1)求证：∠ADE＝∠DFC.
证明：∵在等腰直角三角形EFD中，∠EDF＝90°，
∴∠ADE＋∠ADF＝90°.
∵∠ACB＝90°，
∴∠DFC＋∠ADF＝90°.
∴∠ADE＝∠DFC.
(2)求证：CD＝BF.
证明：如图，连接AE.
由平移的性质，得AE∥BF，AE＝BF.
∴∠EAD＝∠ACB＝90°.
∵∠DCF＝180°－∠ACB＝90°，
∴∠EAD＝∠DCF.
∵△EFD是等腰直角三角形，∴DE＝FD.
又∠ADE＝∠CFD，∴△AED≌△CDF(AAS).
∴AE＝CD.∴CD＝BF.
命题点3
7年2考
图形的旋转及计算
5.(2019福建，T21)在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一个角度α得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E.
(1)当点E恰好落在边AC上时，如图1，求∠ADE的大小；
解：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝60°.
由旋转的性质，得DC＝AC，∠DCE＝∠ACB＝30°.
∴∠DAC＝∠ADC＝(180°－∠DCE)＝75°.
又∠EDC＝∠BAC＝60°，
∴∠ADE＝∠ADC－∠EDC＝15°.
(2)若α＝60°，F是AC的中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四
边形.
解：证明：在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，
∴AB＝AC.
∵F是AC的中点，∴BF＝FC＝AC.
∴∠FBC＝∠ACB＝30°，AB＝BF.
由旋转的性质，得AB＝DE，∠DEC＝∠ABC＝90°，∠BCE＝∠ACD＝60°.
∴DE＝BF.
如图2，延长BF交EC于点G.
∵∠BGE＝∠GBC＋∠GCB＝90°，
∴∠BGE＝∠DEC.∴DE∥BF.
∴四边形BEDF是平行四边形.(共18张PPT)
第七章 图形的变化
第36课时 图形的轴对称
人教：八上P58～P74；华师：七下P98～P110；
北师：七下P114～P134.
考点1
轴对称与轴对称图形
轴对称 图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴
轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点叫作对称点
轴对称 的性质 (1)关于某直线对称的两个图形是全等图形，
如△ABC① △DEF；
(2)对称轴② 对应点所连的线段，
如直线MN③ AD
≌
垂直平分
垂直平分
例1 (2025漳州二检)下列图形中，是轴对称图形的是( )
A B C D
A
变式1 (2025龙岩模拟)篆体是我国古代汉字书体之一，下列篆体字“美”“丽”“龙”“岩”中，可看成是轴对称图形的是( )
A B C D
A
例2 如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠B＝35°，∠C′＝50°，则∠A＝( )
A.90°
B.85°
C.95°
D.105°
C
变式2 如图1，这是中国古代的一种打击乐器编钟.小颖绘制编钟的正面示意图如图2所示，她发现绘制的编钟的正面示意图是个轴对称图形.下列说法不一定正确的是( )
A.AD＝EF
B.BC垂直平分DF
C.∠D＋∠F＝180°
D.∠ABC＝∠EBC
C
考点2
图形的折叠
例3 (2025宁德一检)如图，将△ABC沿边AB翻折得到△ABD，点E是AD边上一点，且∠CBE＋∠CAE＝180°.
(1)求证：BE＝BD；
证明：∵△ABC沿边AB翻折得到△ABD，
∴∠C＝∠D.
∵∠C＋∠CAE＋∠AEB＋∠CBE＝360°，∠CBE＋∠CAE＝180°，
∴∠C＋∠AEB＝180°.
∵∠BED＋∠AEB＝180°，
∴∠C＝∠BED.
∴∠D＝∠BED.
∴BE＝BD.
(2)若AC＝AB＝4，BC＝2，求DE的长.
解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC.
由(1)知∠C＝∠D，BE＝BD，∠D＝∠BED.
∴∠ABC＝∠BED.
∴△ABC∽△BED.∴＝.
由翻折，得BC＝BD＝BE＝2.
∴＝.
∴DE＝1.
变式3-1 (2025河南)如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为( )
A.2
B.6－3
C.2
D.6－6
D
变式3-2 (2025莆田模拟)如图，将平行四边形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点C′处，∠1＝58°，∠2＝42°，则∠C的度数为( )
A.100°
B.109°
C.126.5°
D.130°
B
(1)几何图形折叠的本质是轴对称，折叠前后两部分图形关于折痕所在直线对称，即折痕所在直线垂直平分对应点所连线段；
(2)折叠前后两部分图形全等.
将军饮马模型
例4 如图，等边三角形ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB边上一点，若AE＝2，求EM＋BM的最小值.
解：如图，连接CE，与AD交于点M′，连接BM′.
∵在等边三角形ABC中，AD是BC边上的中线，
∴AD是BC的垂直平分线.
∴CE＝CM′＋M′E＝BM′＋M′E，此时EM＋BM的值最小.
如图，过点C作CF⊥AB.
∵等边三角形ABC的边长为6，AE＝2，
∴BE＝AB－AE＝6－2＝4，AF＝BF＝3，EF＝3－2＝1，CF＝＝3.
∴CE＝＝2.
∴EM＋BM的最小值为2.
1.(2024福建，T9)小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案，如图.其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF.下列推断错误的是( )
A.OB⊥OD
B.∠BOC＝∠AOB
C.OE＝OF
D.∠BOC＋∠AOD＝180°
命题点
轴对称与轴对称图形
7年5考
B
2.(2022福建，T4)美术老师布置同学们设计窗花，下列作品为轴对称图形的是( )
A B C D
A(共21张PPT)
第七章 图形的变化
第35课时 尺规作图
人教：七上P126～P128，八上P35～P42，P48～P49，
P62～P63；华师：八上P85～P92；
北师：七上P111～P113，七下P55～P57，P105～P107，
P124～P127，八下P25～P27.
作法及图示
(1)作射线OP；
(2)以点O为圆心，a为半径作弧，交OP于点A，
OA即为所求作的线段
1.作一条线段等于已知线段
考点
基本的尺规作图 重点
作法及图示
(1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q；
(2)画一条射线O′A，以点O′为圆心，OP的长为半径作弧，交O′A于点M；
(3)以点M为圆心，PQ的长为半径作弧，与前弧相交于点N；
(4)过点N作射线O′B，∠AO′B即为所求作的角
2.作一个角等于已知角
应用
如图，点A，B分别在∠MON的两条边OM，ON上.尺规作图：过点B在∠MON内部作射线BC∥OM，并在BC上截取BD＝OA(不写作法，保留作图痕迹)
(答案不唯一)
作法及图示
(1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点N，交OB于点M；
(2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；
(3)作射线OP，OP即为所求作的角平分线
3.作已知角的平分线
应用
如图，在△ABC中，AB＞AC.尺规作图：作∠A的平分线交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，连接DE(不写作法，保留作图痕迹)
作法及图示 应用
(1)分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于M，N两点； (2)作直线MN，MN即为所求作的垂直平分线 如图，已知△ABC.尺规作图：在BC上作点D，使得DA＝DC，连接AD(不写作法，保留作图痕迹)
4.作线段的垂直平分线
作法及图示
(1)以点P为圆心，任意长为半径在点P两侧作弧，交直线于A，B两点；
(2)分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径在直线同侧作弧，两弧交于点M；
(3)连接MP，直线MP即为所求作的垂线
5.过一点作已知直线的垂线
a.点在直线上(图中点P)
应用
如图，已知线段a和b.尺规作图：作以a和b为直角边的直角三角形(不写作法，保留作图痕迹)
作法及图示
(1)在直线另一侧取点M；
(2)以点P为圆心，PM长为半径作弧，交直线于A，B两点；
(3)分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，
两弧交于点M同侧的点N处；
(4)连接PN，直线PN即为所求作的垂线
b.点在直线外(图中点P)
应用
如图，已知直线l和l外一点A.尺规作图：作一个等腰直角三角形ABC，使得顶点B和顶点C都在直线l上(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可，不写作法，保留作图痕迹)
(答案不唯一)
例1如图，在△ABC中，∠BAC＝120°.
尺规作图：在边BC，AC上分别找一点D，E，使得△ADE为等边三角形.(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，△ADE即为所求.
根据题意先作出草图，再根据含60°的等腰三角形是等边三角形作图.
例2如图，在△ABC中，∠C＝90°.
尺规作图：作⊙O分别与AC，BC相切，且圆心O落在AB上.(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，⊙O即为所求.
例3如图，AB是⊙O的弦，P是AB延长线上一点.过点P作⊙O的切线PC，切点C在直线AB的下方.(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，切线PC即为所求.
PC是⊙O的切线，切点为C，所以∠OCP＝90°，根据直径所对的圆周角为90°，可得点C在以OP为直径的圆上.
专题“推理性尺规作图”见本册P128～P129
命题点
尺规作图
7年7考
1.(2025福建，T22节选)如图，矩形ABCD中，AB＜AD.求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点F，H落在BD上.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，四边形EFGH就是所求作的正方形.
2.(2024福建，T22节选)如图，已知直线l1∥l2.在l1，l2所在的平面内求作直线l，使得l∥l1∥l2，且l与l1间的距离恰好等于l与l2间的距离.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，直线l就是所求作的直线.
3.(2022福建，T23节选)如图，BD是矩形ABCD的对角线.求作⊙A，使得⊙A与BD相切.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：如图，⊙A即为所求作.
4.(2021福建，T22节选)如图，已知线段MN＝a，AR⊥AK，垂足为A.求作四边形ABCD，使得点B，D分别在射线AK，AR上，且AB＝BC＝a，∠ABC＝60°，CD∥AB.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：作图如下.(共30张PPT)
第七章 图形的变化
第38课时 投影与视图
人教：七上P114～P124，P142～P145，九下P86～P111；
华师：七上P120～P133；
北师：七上P1～P21，九上P124～P147.
考点1
投影
平行投影 由① 形成的投影
中心投影 由同一个点发出的光线形成的投影
正投影 投影线② 投影面产生的投影
平行光线
垂直于
例1 (2025宁德一检)下列是平行投影的影子是( )
A.皮影戏中的影子
B.太阳光下房屋的影子
C.路灯下行人的影子
D.在手电筒照射下纸片的影子
B
变式1 如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子( )
A.逐渐变短
B.先变短后变长
C.先变长后变短
D.逐渐变长
B
1.三视图的概念及画法
考点2
三视图 重点
概念 (1)主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图；
(2)左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图；
(3)俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图
画法 (1)主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等；
(2)看得见的部分的轮廓线画成实线，看不见的部分的轮廓线画成虚线
2.根据三视图还原几何体
想象 根据主视图、俯视图和左视图，想象从三个方向看到的几何体的形状
定形 综合确定几何体(原实物原型)的形状
定大小、位置 根据三视图“长对正、高平齐、宽相等”的关系，确定轮廓线的位置及各个方向的大小
例2 (2025三明二检)笔、墨、纸、砚是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具.图1是寓意“规矩方圆”的一方砚台，将它按图2方式摆放后的俯视图是( )
A B C D
A
变式2-1 (2025莆田二检)“榫卯结构”是中国家具的灵魂，展现了传统工艺的精湛，其中突出部分叫作榫，凹进部分叫作卯.如图所示的“榫”和“卯”中，“榫”的主视图是( )
A B C D
C
变式2-2 (2025烟台)社团小组运用3D打印技术制作的模型如图所示，它的左视图是( )
A B C D
C
例3 (2025泉州二检)如图是小明制作的建筑物桥墩模型示意图，则该模型的俯视图是( )
A B C D
D
变式3-1 (2025漳州二检)由长方体和圆柱组成的几何体如图所示，其主视图是( )
A B C D
B
变式3-2 下列由四个小正方体搭建的几何体中，左视图与主视图完全一样的是( )
A B C D
D
例4 观察如图所示的某物体的三视图，该物体的名称是( )
A.三棱锥
B.长方体
C.三棱柱
D.不能确定
C
变式4 在下列四个几何体中，三视图都是圆的是( )
A.正方体 B.球
C.圆柱 D.圆锥
B
常见几何体 展开图 图形示例(选其中一种)
两个全等的圆和一个矩形
一个圆和一个扇形
两个全等的三角形和三个矩形
1.常见几何体的展开图
考点3
立体图形的展开与折叠
2.正方体展开图的常见类型及相对面
例5 (2025河南)数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是( )
A B C D
D
变式5 下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是( )
A B C D
B
例6 “非学无以广才”出自诸葛亮的《诫子书》，其大意为：不学习就无从增长知识，提高才干.一个正方体的展开图如图所示，则“非”字相对面上的汉字为( )
A.学
B.广
C.才
D.以
C
变式6 (2025内江)如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是
( )
A.安
B.全
C.校
D.园
B
正方体的展开图
例7【问题情境】小明在学习中发现：棱长为1 cm的正方体的表面展开图面积为6 cm2，但是反过来，在面积为6 cm2的长方形纸片(如图1，图中小正方形的边长为1 cm)上是画不出这个正方体表面展开图的.于是，爱思考的小明就想：要画出这个正方体的表面展开图，最少需要选用多大面积的长方形纸片呢？
【问题解决】(1)小明仔细研究正方体的表面展开图的11种不同情形后发现，至少要用规格为“2×5”或“3×4”的长方形纸片才能剪得一个正方体的表面展开图.请你在图2两个网格中分别画出一种.
解：如图2所示.(答案不唯一)
【拓展延伸】(2)若要在如图3所示的“2×8”和“3×6”两种规格的长方形纸片上分别剪出两个正方体的表面展开图，请在图中画出裁剪方法.
解：如图3所示.(答案不唯一)
【操作应用】(3)现有边长为24 cm的正方形纸片(如图4所示)，能否用它剪得两个棱长相等，且表面积之和最大的正方体表面展开图？若能，请你画出你的设计方案；若不能，请说明理由.
解：能.如图4所示.
1.(2025福建，T4)福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹青铜大铙，如图1.云纹青铜大铙是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和辉煌.图2为其示意图，它的主视图是( )
A B C D
命题点
三视图
7年7考
A
2.(2024 福建，T3)由长方体和圆柱组成的几何体如图所示，其俯视图是
( )
A B C D
C
3.(2022福建，T2)如图所示的圆柱，其俯视图是( )
A B C D
A
4.(2021福建，T2)如图所示的六角螺栓，其俯视图是( )
A B C D
A
