2.2 二次函数的图象与性质 课后培优提升训练（含答案）北师大版2025—2026学年九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 2.2 二次函数的图象与性质 课后培优提升训练（含答案）北师大版2025—2026学年九年级数学下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 750.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-22 00:00:00 | ||
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文档简介
2.2二次函数的图象与性质课后培优提升训练北师大版2025—2026学年九年级数学下册
一、选择题
1．在同一坐标系中画出直线与抛物线，有可能是（ ）
A．B．C．D．
2．若函数，当自变量取1，2，3，…，100个自然数时，函数值的和是（ ）
A．374 B．390 C．765 D．578
3．已知抛物线，点，点是抛物线上两点，且．当时，始终满足，则的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．已知抛物线（为常数），当时，，当时，的值随值的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若，是二次函数（b为常数）的图象上的两点，且，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数（）的图像上有四个点、、、，下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．已知二次函数的图象如图所示，下列5个结论：①；②；③；④，⑤（m为实数且）．其中正确的结论有（ ）
A．②④⑤ B．①③④ C．③④⑤ D．②③⑤
8．如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知抛物线关于直线对称，其部分图象如图所示，则________．
10．已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接．求边上的高的最大值为___________．
11．已知二次函数，当时，函数值为，当时，函数值为，且，则的取值范围是________．
12．如图为二次函数（）的图象．有下列四个结论：①若，分别是抛物线上的两个点，则；②；③；④．其中正确的个数是_______．
三、解答题
13．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，它的顶点为点．
(1)点的坐标为_________，点的坐标为_________（用表示）；
(2)已知射线，若抛物线与该射线恰有一个公共点，求的取值范围．
14．在平面直角坐标系中，已知抛物线：．
(1)抛物线的对称轴为直线_______；
(2)当时，y的最大值与最小值的差为10，求该二次函数的表达式；
(3)对于二次函数图像上的两个动点，，当，时，均满足，请结合函数图像，直接写出参数t的取值范围．
15．如图，在平面直角坐标系中，记函数的图象为，直线：经过点，与图象交于，两点．
(1)求的值，并在图中画出直线；
(2)当点与点重合时，点在第一象限内且在直线上，过点作轴于点．
①求点的坐标；
②连接，若，求的取值范围．
16．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)当时，的最大值为12；
①请求出的值；
②若，是抛物线上两点，其中，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若图象上最高点与最低点的纵坐标之差为4，直接写出的取值范围．
17．已知抛物线．
(1)求证：不论为何值，抛物线与轴都有两个交点；
(2)若该抛物线的对称轴为，当时，求的取值范围．
18．二次函数的图象经过点，点．
(1)若，求抛物线的顶点坐标；
(2)若存在实数，使得，且，求的取值范围；
(3)当时，随着增大，先减小再增大，的最大值与的最小值的和为，求的值．
参考答案
一、选择题
1．A
2．C
3．A
4．C
5．B
6．A
7．A
8．D
二、填空题
9．
10．4
11．
12．4个
三、解答题
13．【详解】（1）解：将代入，得，
∴点的坐标为，
的对称轴为直线，
将代入，得，
∴点的坐标为；
（2）解：将代入，得，
，
化简，得，
∵抛物线与该射线恰有一个公共点，
∴方程只有一个非负实数根，
∴，且，
当时，解得，
原方程变为：，
解得，
此时方程有两个相等的负根，不满足题意，
当时，，解得或，
①当时，
由韦达定理可得，
∴，异号，
∴方程有一个正根和一个负根，符合题意；
②当时，
由韦达定理可得，，
∴方程有两个不相等的负根，不符合题意；
综上所述，的取值范围为．
14．【详解】（1）解：∵
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：∵
∴抛物线开口向上
∵抛物线的对称轴为直线
∴当时，抛物线取得最小值
∵，，，
∴当时，当时，抛物线取得最大值
∵当时，y的最大值与最小值的差为10，
∴
∴
∴；
（3）解：如图所示，
∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线
∴距离对称轴越远函数值越大，
∵和到对称轴距离相等，故函数值相等
∵当，时，均满足，
∴
∴．
15．【详解】（1）解：∵直线：经过点，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴直线过点，
画出直线如下：
（2）解：①根据题意得：点，
把点代入得：，
∴图象的解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴点的坐标为；
②如图，
∵点在第一象限内且在直线上，
∴，
∵轴，
∴，，
∵，
∴，即，
解得：．
16．【详解】（1）解：∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：①若，当时，的最大值为顶点纵坐标，不符合题意；
若，此时抛物线开口向上，且距离对称轴越远的点的纵坐标越大，对称轴为直线，
∵，，且，
∴当时，，
即，
解得；
②由①可得抛物线解析式为，
顶点坐标为，
∴，，
当图象不包含顶点，时，，
∴，
∴，
∵，
∴；
当图象不包含顶点，时，，
∴，
∴，
∵，
∴；
当图象包含顶点，，，时，，
∴，
∴，
∴或（舍去），即，
∵，
∴，，
∴，
∴；
当图象包含顶点，，，时，，
∴，
∴（舍去）或，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
综上，．
17．【详解】（1）证明：当时，得：，
∵
，
∴方程总有两个不相等的实数根，
即不论取何值，该抛物线与轴总有两个公共点；
（2）解：抛物线的对称轴为，解得，
，
时，取得最大值，最大值为；
，
时，取得最小值，最小值为；
综上，．
18．【详解】（1）解：若，则，
顶点坐标；
（2）解：把代入得，，
把代入得，，
，
，
，
，
；
（3）解：对称轴为，
当时，随着的值增大，的值先减小再增大，
点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，
当时，的最小值是，
若，即的最大值是，
．
解得，（舍去），
若，即的最大值是，
，
解得，（舍去），
综上，的值是或．
一、选择题
1．在同一坐标系中画出直线与抛物线，有可能是（ ）
A．B．C．D．
2．若函数，当自变量取1，2，3，…，100个自然数时，函数值的和是（ ）
A．374 B．390 C．765 D．578
3．已知抛物线，点，点是抛物线上两点，且．当时，始终满足，则的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．已知抛物线（为常数），当时，，当时，的值随值的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．若，是二次函数（b为常数）的图象上的两点，且，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数（）的图像上有四个点、、、，下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．已知二次函数的图象如图所示，下列5个结论：①；②；③；④，⑤（m为实数且）．其中正确的结论有（ ）
A．②④⑤ B．①③④ C．③④⑤ D．②③⑤
8．如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知抛物线关于直线对称，其部分图象如图所示，则________．
10．已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接．求边上的高的最大值为___________．
11．已知二次函数，当时，函数值为，当时，函数值为，且，则的取值范围是________．
12．如图为二次函数（）的图象．有下列四个结论：①若，分别是抛物线上的两个点，则；②；③；④．其中正确的个数是_______．
三、解答题
13．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，它的顶点为点．
(1)点的坐标为_________，点的坐标为_________（用表示）；
(2)已知射线，若抛物线与该射线恰有一个公共点，求的取值范围．
14．在平面直角坐标系中，已知抛物线：．
(1)抛物线的对称轴为直线_______；
(2)当时，y的最大值与最小值的差为10，求该二次函数的表达式；
(3)对于二次函数图像上的两个动点，，当，时，均满足，请结合函数图像，直接写出参数t的取值范围．
15．如图，在平面直角坐标系中，记函数的图象为，直线：经过点，与图象交于，两点．
(1)求的值，并在图中画出直线；
(2)当点与点重合时，点在第一象限内且在直线上，过点作轴于点．
①求点的坐标；
②连接，若，求的取值范围．
16．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)当时，的最大值为12；
①请求出的值；
②若，是抛物线上两点，其中，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若图象上最高点与最低点的纵坐标之差为4，直接写出的取值范围．
17．已知抛物线．
(1)求证：不论为何值，抛物线与轴都有两个交点；
(2)若该抛物线的对称轴为，当时，求的取值范围．
18．二次函数的图象经过点，点．
(1)若，求抛物线的顶点坐标；
(2)若存在实数，使得，且，求的取值范围；
(3)当时，随着增大，先减小再增大，的最大值与的最小值的和为，求的值．
参考答案
一、选择题
1．A
2．C
3．A
4．C
5．B
6．A
7．A
8．D
二、填空题
9．
10．4
11．
12．4个
三、解答题
13．【详解】（1）解：将代入，得，
∴点的坐标为，
的对称轴为直线，
将代入，得，
∴点的坐标为；
（2）解：将代入，得，
，
化简，得，
∵抛物线与该射线恰有一个公共点，
∴方程只有一个非负实数根，
∴，且，
当时，解得，
原方程变为：，
解得，
此时方程有两个相等的负根，不满足题意，
当时，，解得或，
①当时，
由韦达定理可得，
∴，异号，
∴方程有一个正根和一个负根，符合题意；
②当时，
由韦达定理可得，，
∴方程有两个不相等的负根，不符合题意；
综上所述，的取值范围为．
14．【详解】（1）解：∵
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：∵
∴抛物线开口向上
∵抛物线的对称轴为直线
∴当时，抛物线取得最小值
∵，，，
∴当时，当时，抛物线取得最大值
∵当时，y的最大值与最小值的差为10，
∴
∴
∴；
（3）解：如图所示，
∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线
∴距离对称轴越远函数值越大，
∵和到对称轴距离相等，故函数值相等
∵当，时，均满足，
∴
∴．
15．【详解】（1）解：∵直线：经过点，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴直线过点，
画出直线如下：
（2）解：①根据题意得：点，
把点代入得：，
∴图象的解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴点的坐标为；
②如图，
∵点在第一象限内且在直线上，
∴，
∵轴，
∴，，
∵，
∴，即，
解得：．
16．【详解】（1）解：∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：①若，当时，的最大值为顶点纵坐标，不符合题意；
若，此时抛物线开口向上，且距离对称轴越远的点的纵坐标越大，对称轴为直线，
∵，，且，
∴当时，，
即，
解得；
②由①可得抛物线解析式为，
顶点坐标为，
∴，，
当图象不包含顶点，时，，
∴，
∴，
∵，
∴；
当图象不包含顶点，时，，
∴，
∴，
∵，
∴；
当图象包含顶点，，，时，，
∴，
∴，
∴或（舍去），即，
∵，
∴，，
∴，
∴；
当图象包含顶点，，，时，，
∴，
∴（舍去）或，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
综上，．
17．【详解】（1）证明：当时，得：，
∵
，
∴方程总有两个不相等的实数根，
即不论取何值，该抛物线与轴总有两个公共点；
（2）解：抛物线的对称轴为，解得，
，
时，取得最大值，最大值为；
，
时，取得最小值，最小值为；
综上，．
18．【详解】（1）解：若，则，
顶点坐标；
（2）解：把代入得，，
把代入得，，
，
，
，
，
；
（3）解：对称轴为，
当时，随着的值增大，的值先减小再增大，
点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，
当时，的最小值是，
若，即的最大值是，
．
解得，（舍去），
若，即的最大值是，
，
解得，（舍去），
综上，的值是或．