2.3 确定二次函数的表达式 课后培优提升训练（含答案）北师大版2025—2026学年九年级数学下册

2.3确定二次函数的表达式课后培优提升训练北师大版2025—2026学年九年级数学下册
一、选择题
1．已知二次函数 的图象经过点，，，则a的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
2．老师在画二次函数（为常数，）的图象时列表如下：
甲、乙、丙、丁四位同学根据表格得到如下结论，甲：；乙：该函数的对称轴为直线；丙：当时，随的增大而减小；丁：该函数的图象开口向下，其中，所得到的结论不正确的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
3．二次函数的部分对应值如下表：
x 0 1 2 3
y m n
有以下结论：①；②当时，y随x的增大而减小；③．正确的是（）
A．① B．② C．③ D．②③
4．设二次函数（是实数），已知函数值和自变量的部分对应取值如表所示：
…… 0 1 2 3 ……
…… 0 2 ……
若这三个实数的积为正数，则的取值范围（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
5．某景点的“喷水巨龙”喷嘴处的水流呈抛物线状流出，该水流喷出的高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系如图所示，为该水流的最高点， ，垂足为．已知，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．已知二次函数的图象经过点，则代数式的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．5
7．如图，抛物线经过边长为2的菱形的三个顶点O，A，C，，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
8．若二次函数的图象过点和，且顶点在第四象限，则的值的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．二次函数（、、为常数，）中的与的部分对应值如表，则关于的一元二次方程的解是___________．
0 2
1
10．如图，已知二次函数的图象经过两点，则该函数的解析式为____．
11．已知二次函数与x轴交于点和，则二次函数的顶点坐标为________．
12．如图，抛物线与都经过轴负半轴上的点和轴上的点．点都在第二象限，且分别在上，轴，则的最大值为___________．
三、解答题
13．已知抛物线的顶点坐标为．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)当时，抛物线的最大值与最小值的差记为；当时，抛物线的最大值与最小值的差记为；
（i）若，比较与的大小关系并说明理由；
（ii）若，且，求的值．
14．已知二次函数（b，c为常数），图象经过点，且．
(1)若，二次函数对称轴为直线，
①求二次函数的表达式；
②若点B为二次函数图象上一点，且点B到x轴，y轴的距离相等，求点B的坐标；
(2)若A为该二次函数图象的顶点，为图象上一动点，且点P到y轴的距离不大于1，n的最大值与最小值的差为6，求k的值．
15．已知二次函数．
(1)当点在二次函数的图象上，求此函数图象的对称轴；
(2)在（1）的基础上，若，当时，求函数的最大值与最小值；
(3)若该函数当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，则的取值范围是_____．
16．已知二次函数（b，c为常数）的图象与y轴交点坐标为，对称轴为直线．
(1)求二次函数的解析式和顶点坐标；
(2)若点向下平移6个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，直接写出n的取值范围．
17．二次函数（c为常数，且）的图象过点．
(1)求此二次函数的表达式．
(2)若过点与x轴平行的直线交此函数的图象于B，C两点，且该直线到x轴的距离等于线段的长，求t的值．
(3)若点，都在此函数的图象上，其中，且满足，求m的取值范围．
18．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当点在这个函数图象上时，
①求抛物线的函数关系式．
②抛物线上有一点到轴的距离为1，求点坐标．
(2)当时，函数图象上只有两个点到轴的距离等于2，求的取值范围．
(3)在平面直角坐标系中，点，点，连接．直接写出抛物线与线段只有一个公共点时的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．A
2．C
3．C
4．B
5．D
6．A
7．B
8．C
二、填空题
9．或
10．
11．
12．
三、解答题
12．【详解】（1）解：由抛物线的顶点坐标为得：，，
解得，，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：（i），
理由：∵对称轴为直线，
∴抛物线在时，随的增大而减小；抛物线在时，随的增大而增大.
∴当时，，，，，
∴当时，抛物线的最大值为当时，即；抛物线的最小值为当时，即，此时最大值与最小值的差；
当时，抛物线的最大值为当时，即；最小值为为当时，即，此时最大值与最小值的差为，
∴；
（ii）若，分三种情况讨论：
①当时，即时，
当时，抛物线的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差；
当时，抛物线的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差，
∵，
∴，解得，不符合条件，舍去；
②当且，即时，
当时，抛物线的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差；
当时，抛物线的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差，
∵，
∴，解得（舍去），；
③当且，即时，
当时，抛物线的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差；
当时，抛物线的最大值为，最小值为，最大值与最小值的差，
∵，
∴，解得（舍去），；
综上所述，或．
14．【详解】（1）解：①∵二次函数过点，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，即，
∴二次函数的表达式为．
②设，
由题意得，点B的横坐标与纵坐标相等或互为相反数，
a．当时，
解得：，，即点B的坐标为或；
b．当时，
则，即方程无解．
综上所述，点B的坐标为或．
（2）解：∵点A为该函数图象的顶点，为图象上一动点，且点P到y轴的距离不大于1，
∴设，，即
当时，
∵，
∴函数在处取到最小值2，在处取到最大值，
∴ ，解得：（舍）；
当时，
∵，
∴函数在处取到最小值，在处取到最大值，
则，
解得：．
综上所述，．
15．【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式为，
∴此函数图象的对称轴为直线；
（2）由（1）的二次函数的解析式为，
∵，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴时，有最小值，，
∵，
∴当时，，当时，，
∵，
∴当时，有最大值，，
综上，，；
（3）∵二次函数的对称轴为直线，
又∵，
∴在直线的左边，随的增大而减小，在直线的右边，随的增大而增大，
∵当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，
∴，
解得：．
16．【详解】（1）解：∵二次函数（b，c为常数）的图象与y轴交点坐标为，对称轴为直线，
∴，，
解得：，，
∴二次函数的表达式为；
∵，
∴顶点坐标为；
（2）解：∵将点向下平移6个单位长度，向右平移个单位长度，
∴点平移后的点的坐标为，
∵点平移后恰好落在的图象上，
∴，
∴或（负值不符合题意，舍去），
∴的值为3；
（3）解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴该二次函数的图象开口向下，当时，函数取得最大值4，
又∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为9，
当时，
最大值与最小值的差为，
解得：（不符合题意，舍去）；
当时，最大值为4，最小值需为，即，
∴，
解得：，
∴；
综上所述，的取值范围为．
17．【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，则：
，
解得（舍去）或，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：在中，令得，
整理得：，
∴，，
∵直线到x轴的距离等于线段的长，
∴，
∴，
∴，
即，
解得或；
（3）解：∵点，都在函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．【详解】（1）解：①代入点到得：，解得，
∴抛物线的函数关系式为；
②当时，，
解得，；
当时，，
解得；
∴点的坐标为或或；
（2）解：抛物线，，
∴抛物线图象开口向上，顶点坐标为，
∵函数图象上只有两个点到轴的距离等于2，
∴，
解得；
（3）解：①当时，
当顶点在直线上，符合条件，
即，解得；
当抛物线过点时，与抛物线有两个交点，
根据函数的对称性，只要时，，即符合条件，
则，
解得；
故抛物线与线段只有一个交点时，或；
②当时，
根据函数的对称性，只要时，，即符合条件，
则，
解得；
综上，的取值范围为或或．