2.5 二次函数与一元二次方程 课后培优提升训练（含答案）北师大版2025—2026学年九年级数学下册

2.5二次函数与一元二次方程课后培优提升训练北师大版2025—2026学年九年级数学下册
一、选择题
1．若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．
2．根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（ ）
3.23 3.24 3.25 3.26
-0.06 -0.02 0.03 0.09
A．3 B．3 C．3 D．3
3．函数与轴的交点个数情况为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．抛物线（a、b、c为常数，且）经过点，顶点为，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．当时，的最大值为m
5．如图，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，直线经过，两点．点为直线上一点，且横坐标为，将线段沿轴上下平移，当线段与抛物线有唯一交点时，设平移后点对应点的纵坐标为，则的取值范围为（ ）．
A．或 B．或
C．或 D．或
6．若是抛物线与轴交点的横坐标，则代数式的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知二次函数的图象经过点．如果，那么的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
8．如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：
①；
②方程没有实数根；
③；
④．
其中错误的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．已知关于的二次函数的图像与轴两交点间的距离为，则的值为___________．
10．若二次函数的图象与轴交于点，则图象与轴的另一个交点为___________．
11．若是关于的二次函数，且为整数，不等式在实数范围内恒成立，则二次函数的解析式为_______．
12．已知二次函数的图象与其向下平移个单位长度所得的图象都与轴有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则的值为_____．
三、解答题
13．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点M为抛物线上任意一点，其横坐标为m，过点M作轴，点P的横坐标为．
(1)求b的值；
(2)当线段与抛物线有两个公共点时，求出m的取值范围；
(3)过点P作轴交抛物线于点Q，点M在抛物线上运动的过程中，若线段的长随m的增大而增大，直接写出m的取值范围．
14．已知抛物线（a，b为常数，其中）．
(1)求证：抛物线与轴必有交点．
(2)点在抛物线上，点在抛物线上．当时，是一个与无关的定值．
（i）求的值．
（ii）若点是经由点向右平移个单位，向上平移个单位得到，且满足，求的最小值．
15．在平面直角坐标系中，已知点是抛物线图象上的一点，抛物线对称轴为直线．
(1)求抛物线解析式；
(2)将抛物线向上平移k个单位，当时，直接写出该二次函数y的取值范围；
(3)若抛物线与直线有两个交点，求k的取值范围．
16．已知：二次函数（b是常数）．
(1)求证：二次函数的图象与x轴的交点必有2个；
(2)若直线与二次函数的图象相交于A、B两点，且，求t的取值范围．
17．已知二次函数（其中、为常数）．
(1)若，判断二次函数的图象与轴公共点的个数，并说明理由；
(2)若点，都在二次函数的图象上，试比较、的大小．
(3)若该函数图象经过点和，若点在轴上，过作轴的垂线，交直线于点，以为斜边作等腰直角．当点落在抛物线上时，求此时的横坐标．
18．已知如图1，二次函数（a、b是常数，）的图像与x轴相交于点、．
(1)二次函数的对称轴是直线______；（用含m的代数式表示）
(2)求证：；
(3)若直线与二次函数的图像交于点A、C．
①求二次函数的表达式；
②若直线上方的抛物线上存在一点P，使得，求点P的坐标；
③如图2，将原抛物线沿直线方向平移得到新的抛物线，新抛物线与直线交于M、N两点（点M在点N的左侧）．在抛物线平移过程中，线段的长度是否发生变化？如果变化，请说明理由．如果不变，请你写出此定值并说明理由．
参考答案
一、选择题
1．D
2．C
3．C
4．D
5．B
6．B
7．C
8．A
二、填空题
9．
10．
11．或
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知抛物线的解析式为，
∴该抛物线的图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∵点为抛物线上任意一点，其横坐标为，轴，点的横坐标为，
设，，并设与抛物线的另一个交点为，则，，
∵线段与抛物线有两个公共点，
∴，
∴，当时，如图所示：
∵线段与抛物线有两个公共点，
∴，
∴，
此时；
当时，如图所示：
∵线段与抛物线有两个公共点，
∴，
∴，
此时；
综上所述，当线段与抛物线有两个公共点时，的取值范围为或；
（3）解： 由（2）的解答可知：，，，
∵点在抛物线上，
∴，
∴，
∵轴交抛物线于点，
设，
∴，
∴，
当时，
解得：或，
当或时，，
∴，
∴当时，随m的增大而增大，
∴时，随m的增大而增大；
当时，，
∴，
∴当时，随m的增大而增大，
∴时，随m的增大而增大；
综上所述，点在抛物线上运动的过程中，若线段的长随的增大而增大， 的取值范围为或．
14．【详解】（1）解：∵抛物线，
∴，
∴抛物线与轴必有交点；
（2）解：（i）∵点在抛物线上，点在抛物线上．
∴，
∵
∴，
∴，
则，
∴，
∵，
∴（当无意义），
∵
∴，
∴，
∴，
∵是一个与无关的定值．
∴，
∴，
∴．
（ii）∵点是经由点向右平移个单位，向上平移个单位得到，
∴
∵，
∴，
∴，
∵点在抛物线上，点在抛物线上．
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴的开口方向向上，在时，函数的最小值为．
15．【详解】（1）解：抛物线过点，对称轴为直线，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：抛物线向上平移k个单位后解析式为，
∵，
∴抛物线开口向下．
∵抛物线的对称轴为直线，并且在范围内，
∴在时取最大值，最大值为．
∵抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴距离越远，函数值越小，，
∴在时取最小值，最小值为．
∴当时，直接写出该二次函数y的取值范围为；
（3）解：设，整理得，
∵抛物线与直线有两个交点，
∴由根的判别式得，
即，
∴，
当时，，
当时，．
∴k的取值范围为或．
16．【详解】（1）证明：当时，，
∵，
∴方程有两个不相等的实数解，
∴二次函数的图象与x轴的交点必有2个；
（2）解：设点A、B的横坐标分别为m、n，则，
根据题意得，
即，
∴．
∵，
∴
∴，
即，
∴．
∵，
∴．
17．【详解】（1）解：∵，
∴，
∴二次函数的图象与轴有个公共点；
（2）∵的对称轴为，
∴，，
∵开口向上，越靠近对称轴的函数值越小，
又∵，
∴；
（3）将点和代入，
得，
解得，，
∴，
∵设直线的解析式为：，
将点和代入，得：，
解得，，
∴，
∵设，轴，点在直线上，
∴，
∴的中点为，
∵为斜边，根据等腰直角三角形的性质，点在直线上，点到的距离，
①当时，，点到的距离，
当在的左侧，，当在的右侧，
∴或，
∵点在抛物线上，
∴当时，，
解得(舍)或；
当时，，
当时，
解得或(舍)；
当时，，
②当时，，点到的距离，
当在的左侧，，当在的右侧，
∴或，
∵点在抛物线上，
∴或，
当时，，
解得(舍)或(舍)；
当时，
解得(舍)或(舍)；
综上所述：点横坐标为或．
18．【详解】（1）解：根据二次函数图像轴对称的性质，的对称轴为．
（2）证明：∵二次函数与x轴交于A、B两点，
∴和是一元二次方程的两个根．
由根与系数的关系可得：，，
两式联立可得：，
∴，
∵，
∴，
整理得．
（3）解：①∵点在直线上．
∴，则．
由（2）可得．
故二次函数表达式为：．
②联立直线和二次函数可得：．
解得：或2，
∴，
设点P坐标为．
∴．
整理得：．
解得：或1．
∴点P的坐标或．
③原抛物线沿直线方向平移等同于先沿着x轴向右平移p个单位长度，再沿着y轴向上平移p个单位长度．
对于二次函数：，其顶点式为：．
∴根据平移的性质新的抛物线解析式为，
联立直线可得：，
整理得：．
设，，则，，
由根与系数的关系可得：，．
∴．
∴．
∴
，
∴．
∴在抛物线平移过程中，线段的长度为定值．