第二章 二次函数调研卷（含答案） 北师大版2025—2026学年九年级数学下册

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第二章二次函数调研卷北师大版2025—2026学年九年级数学下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列函数中，当时，y随x的增大而增大的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如下表：则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
x … 0 1 3 …
y … 3 4 0 …
A．图象的开口向上 B．当时，y的值随x值的增大而增大
C．图象不经过第四象限 D．图象的对称轴是直线
3．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．已知是不为0的常数，函数和函数在同一平面直角坐标系内的图象可以是（ ）
A．B．C．D．
5．把抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式是（ ）
A． B．
C． D．
6．抛物线与轴交点的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．以上都不对
7．若抛物线与x轴的一个交点坐标为，则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．二次函数的图象经过．则当时，y的值为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．抛物线与轴的两个交点分别为、，与轴的交点为，若，则点A坐标为___________．
10．已知二次函数的图象经过两点，且对称轴为直线，则该二次函数的表达式为___________．
11．在平面直角坐标系中，已知一次函数与二次函数有两个交点，若，则的值为_____．
12．已知点是抛物线上一动点．
（1）当点M到y轴的距离不大于2时，b的取值范围是________；
（2）当点M到直线的距离不大于时，b的取值范围是，则的值为________．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，且对称轴为直线，与轴交于两点．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)将抛物线向下平移个单位长度后，通过计算说明线段的长度是变大还是变小了，差值为多少？
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，请直接写出的取值范围．
14．已知二次函数的图象经过点，，对称轴为直线．
(1)求二次函数的解析式和的值；
(2)当时，求的最大值和最小值；
(3)当时，二次函数的最小值为，请直接写出的值______．
15．在平面直角坐标系中，，两点均在抛物线上．
(1)若为抛物线的顶点．
（ⅰ）求的最大值；
（ⅱ）若直线经过，两点，且．求的值；
(2)已知抛物线经过点，若，，且，试比较，的大小，并说明理由．
16．如图，抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B左侧），当时，y的取值范围是．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求k的值．
(3)将抛物线在之间的函数图象记作，将在直线下方的部分向上翻折，其余部分不变，得到的新图象记作．设的最高点和最低点的纵坐标分别为和，若，求t的取值范围．
17．某商场销售某种电子产品，该产品的进价为30元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）（x为正整数）之间满足一次函数的关系，下表记录的是某三周的有关数据．
x（元/件） 40 55 70
y（件） 1100 950 800
(1)求y与x的函数表达式．（不求自变量的取值范围）
(2)若某周该产品的销售量不少于800件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润．
18．在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数：图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为A点的横、纵坐标之和，就会得到一个新的点．他们把这个点定义为点A的“和点”．他们发现：二次函数所有和点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“和抛物线”．例如，二次函数的“和抛物线”就是，请按照定义完成：
(1)点的“和”点是______；
(2)如果抛物线经过点，求该抛物线的“和抛物线”；
(3)已知抛物线图象上的点的“和点”是，若该抛物线的顶点坐标为，该抛物线的“和抛物线”的顶点坐标为．当时，求n的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．A
2．D
3．D
4．D
5．A
6．C
7．C
8．C
二、填空题
9．
10．
11．4
12． 或2
三、解答题
13．【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，且对称轴为直线，
∴，解得，
∴二次函数的关系式为；
（2）解： ∵二次函数与轴交于两点，
∴当时，即，
解得：，，
∴假设，
∴，
∵抛物线向下平移个单位长度，
∴平移后的函数解析式为：，
当时，即，
解得：，，
∴假设新的交点，
此时的，
∴，
∴线段的长度是变小了，差值为3；
（3）解：∵，
∵，
∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
当时，，且根据对称性，与对应的函数值相等，
当时，取得最大值，
分三种情况：
当时，
当时，随的增大而增大，
∴，
∴，
解得，与矛盾，舍去；
当时，此时时取得最大值，时取得最小值，最大值为9，最小值为5，
此时最大值与最小值的差为4，符合题意；
当时，此时时取得最大值，时取得最小值，
∴，
∴，
解得或，与矛盾，舍去；
综上，得到的取值范围为：．
14．【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，，
，
解得，
二次函数为，
对称轴为直线，
；
（2）解：抛物线开口向上，对称轴为直线
在内，随增大而减小，
当时有最大值，
当时有最小值；
（3）解：抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，时有最小值，即，
解得或（舍去）；
当时，时有最小值，即．
解得或（舍去）；
当时，时有最小值，即，
解得（舍去）；
综上所述，的值为或．
15．【详解】（1）解：（ⅰ），
，
的最大值为；
（ⅱ）由（ⅰ）可得：二次函数图象的顶点为，
∵直线经过，两点，且其表达式过原点，
∴点，，三点共线，
∵，
，关于点对称，
也在抛物线上，
，
解得，
点的坐标为或，
，且直线经过，两点，
；
（2）解：，理由如下：
∵抛物线经过点，
，
，
，
，
∵抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，且、的中点，又，
∴离对称轴的距离更远
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
．
16．【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为，当时，y的取值范围是，
∴是函数的最小值，即抛物线的顶点为，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：由（1）可知抛物线对称轴为，
∵，
∴当时，取最大值，
∴，
∴k的值为8．
（3）解：如图，设图象折叠后顶点M的对应点为，点H是图象上的点，图象为区域，
由（1）可知，由（2）可知，即点H在直线上，
∵点与点关于直线对称，
∴，
当点在直线上或上方时，的最高点为， 的最低点为，
∴，，
解得；
当点在直线下方时，的最高点为H， 的最低点为，
∴，，
解得；
综上所述，．
17．【详解】（1）解：设y与x的函数表达式为，
把，代入得，
，
解得，
∴y与x的函数表达式为．
（2）解：设这周该商场销售这种产品获得的利润为，
∵销售量不少于800件，
∴，
∴，
由题意得，，
∵，
∴在对称轴直线左侧，函数值随自变量x的增大而增大，
∴时，有最大值，最大值为（元），
∴这周该商场销售这种产品获得的最大利润为32000元．
18．【详解】（1）解：根据题意可知，点的“和”点是，
∴点的“和”点的纵坐标为，即．
故答案为：．
（2）将点代入抛物线得：，
解得：，
即抛物线的解析式为，
∴抛物线的“和抛物线”为，
即．
（3）根据题意可知，点是点的“和”点，
∴，解得：，即，
将点代入抛物线得：，则，
∴抛物线为，
∴抛物线的“和抛物线”为：，
即
∵其顶点坐标为，
∴，
将n看作c的函数，
∵，
时，n有最大值，且最大值为1，
当时，，n有最小值，且最小值为，
∴n的取值范围是.
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