第二章二次函数单元复习拔尖卷（含答案）北师大版2025—2026学年九年级数学下册

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第二章二次函数单元复习拔尖卷北师大版2025—2026学年九年级数学下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．把抛物线向上平移2个单位，再向左平移3个单位，得到的抛物线是（ ）
A． B．
C． D．
2．对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象开口向下 B．对称轴是直线
C．与x轴的交点是和 D．当时，y随x的增大而增大
3．若，，是二次函数图象上的点，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的对称轴为（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
5．在平面直角坐标系中，将抛物线向下平移1个单位长度，则平移后得到的抛物线的顶点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．已知抛物线（为常数）的对称轴为直线，平移该抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标有（ ）
A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值
7．已知二次函数，当时，二次函数的最小值为，则实数a的值为（　　）
A．5或1 B．5或 C．或1 D．或
8．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知抛物线的对称轴为直线，且过点和，则这个二次函数的关系式是________ ．
10．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是___________ ．
11．如图，是二次函数图象的一部分，其对称轴为直线，若与x轴的其中一个交点为，则由图象可知，与x轴的另一个交点坐标是________．
12．已知抛物线上两点，若对于任意，都有，则的取值范围是_____．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．已知二次函数的图象经过点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)当时，求自变量的取值范围．
14．苹果是大家喜爱的水果之一．一果园年的苹果销量为吨，年销量为吨，若每年销量增长率相等．
(1)求销量增长率；
(2)某电商从果园以元/箱进货，再以元/箱卖出，每周可以卖出箱．该电商想提价销售，已知每提价1元，每周销量减少3箱，设每周销售苹果获利元，写出（元）与售价（元/箱）之间的函数关系式，并求出当苹果的每箱售价为多少元时，这周的利润最大，最大利润是多少？
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点在轴上，且，动点在过三点的抛物线上．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)在直线上方的抛物线上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．
16．在平面直角坐标系中，抛物线过点和点
(1)用含的式子表示；
(2)点在抛物线上，且，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点的长随着的增大而增大，求的取值范围．
17．定义：把抛物线（其中）与抛物线称为“孪生抛物线”，例如，抛物线的“孪生抛物线”为．已知抛物线：的“孪生抛物线”为，与轴交于点．
(1)直接写出抛物线的表达式_____；
(2)若点的坐标为，求抛物线的解析式；
(3)记在时的最大值为，最小值为，且，请你求出的值．
18．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，为直线上方抛物线上一点，连接、、，当取得最大值时，过点作轴交轴于点，交于点，过作交轴于点，连接，点是直线上的一动点，点是直线上的一动点且，连接、，求此时点坐标及的最小值；
(3)如图2，在（2）的条件下，将抛物线关于轴对称，再沿轴向右平移4个单位得到新抛物线．点是新抛物线对称轴上的一动点，连接、、、．是否存在点满足？若存在，请直接写出所有可能点的坐标及其中一种情况的求解过程；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．C
2．B
3．C
4．A
5．C
6．A
7．D
8．B
二、填空题
9．
10．
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴；
（2）解：令，则：，
，
解得，
∵二次函数的二次项系数大于，抛物线开口向上，
∴当时，或．
14．【详解】（1）解：由题意，设销量增长率为m，
∴．
∴或（不合题意，舍去）．
∴．
答：销量增长率为．
故答案为：．
（2）解：由题意，每周销售苹果获利W元，
∴，且满足，
∴，
∴当时有W最大，最大为，
∴当每箱售价为元时，这周利润最大为元．
15．【详解】（1）解：∵点的坐标为，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
设抛物线的函数解析式为，
将，，代入，
得 ，解得，
∴抛物线的函数解析式为．
（2）解：存在，
如图，过点作轴，交于点，
由，，易得直线的函数解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为8，此时，
∴点的坐标为，面积的最大值为8．
16．【详解】（1）解：∵抛物线过点和点，
∴点A、B关于对称轴对称，又抛物线的对称轴方程为，
∴，则；
（2）解：由（1）得，
∵点在抛物线上，且，，
∴，则，
由题意，，，
∴，
解方程得，，
∵的长随着的增大而增大，
∴或，
解得：无解或，
故满足条件的a的取值范围为．
17．【详解】（1）解：根据“孪生抛物线”的定义，
可得抛物线表达式为．
（2）解：将点的坐标代入 ，
得，
解得，
故抛物线的解析式为．
（3）解：抛物线表达式为，
对称轴所在直线为，
当时，，
故顶点坐标为，
∵，
∴，，
当时，即，对、到对称轴的距离进行分类讨论：
当，即时，
时，取最大值，时，取最小值，
故，，代入，
化简得，
解得（舍去），；
当，即时，
时，取最大值，时，取最小值，
故，，代入，
化简得，
解得，（舍去）；
当时，此时、都在对称轴所在直线右边，
当时，取最小值，时，取最大值，
即，，
代入，
化简得，
解得（舍去），（舍去），
综上，的值为或．
18．【详解】（1）解：当时，代入，解得，
∵抛物线交轴于点，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线交轴于，且过，
∴，
∴，
∴；
（2）解：设直线的表达式为，代入，
得，
解得，
∴直线的表达式为：，
不妨设点，那么，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，
∴此时，
设直线的表达式为，代入，，
得，解得，
∴直线的表达式为：，
∵，
∴不妨设直线的表达式为，
将代入，得，解得，
∴直线的表达式为，
将代入，得，解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当取得最小值时，最小，
过点作，过点作交于，如图所示：
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴当、、三点共线时，取最小值，最小值为，
如下图所示，、、三点共线：
不妨设点，
∵四边形是平行四边形，，，，
∴点向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到点，
∴点向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度得到点，
∴，
同理，∵四边形是平行四边形，，，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：由（2）可知，，，，
∴，且点为的中点，
∵轴于点，交于点，
∴，垂直平分线段，，
∴，，，
∴，
∴，
∴当点满足时，
则，
∵将抛物线关于轴对称，再沿轴向右平移4个单位得到新抛物线，
∴，
∴新抛物线的对称轴为直线，
如图，设新抛物线的对称轴交x轴于点T，
∴，
在上取，连接，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴点在第一象限，
如图，过点A作，交的延长线于点L，过点A作轴，交新抛物线的对称轴于点，过点作于点W，交x轴于点，
则四边形和为矩形，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，，
不妨设，则，
∵四边形和为矩形，，，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，，
∴点Q的坐标为或．
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