第二章 二次函数 单元复习卷（含答案）北师大版2025—2026学年九年级数学下册

第二章二次函数单元复习卷北师大版2025—2026学年九年级数学下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数的图象如图所示，其对称轴为有下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位后，得到的抛物线表达式为，则原抛物线的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知抛物线经过点则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点和在二次函数（，是常数，）的图象上．若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，线段的端点为，抛物线与线段有交点时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
8．如图，二次函数的图象交轴于点，对称轴为，下列四个结论中：①；②；③；④图象上有两点和，若，且，则．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．若二次函数图象与轴有一个交点为，则与轴另一个交点坐标为_____．
10．如图，二次函数的图象经过正方形的三个顶点，则的值为_______．
11．已知，是抛物线上的两个点，则b的值为______．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C点．动点P从点B出发，沿x轴负方向以每秒2个单位的速度运动．过点P作直线，垂足为Q，再将绕点P旋转，设点P的运动时间为t秒．若旋转后的点Q落在该抛物线上，则t的值为______．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．如图，二次函数的图象与轴分别交于，两点，与轴交于点，点在二次函数的图象上，为二次函数的图象的顶点．
(1)求的面积；
(2)点是轴上一动点，当和相似时，求点坐标．
14．在二次函数中，x与y的几组对应值如表所示．
x … 0 1 …
y … 0 …
(1)求二次函数的表达式，并求二次函数图象的顶点坐标；
(2)将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为4，求n的值．
15．已知二次函数（）．
(1)若，直接写出该函数的表达式，并求出该函数图象的顶点坐标；
(2)当时，设是该二次函数图象与轴交点的横坐标，记，求的值．
16．如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C，连接，顶点为M．
(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；
(2)已知点P是抛物线上的一点，连接，若，求点P的坐标．
(3)如图2，若D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点E，有最大值吗 如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由．
17．抛物线经过，两点．
(1)当时，求抛物线的表达式；
(2)求一元二次方程的根；
(3)若点，在抛物线上，且，求的取值范围．
18．已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点C．点C向右平移2个单位长度，得到点D，点E为抛物线的顶点．
(1)①求抛物线的表达式及顶点E的坐标；
②判断点D是否在抛物线上；
(2)连接，点M是线段上一动点，连接，作射线，点N是射线上一动点，且满足．求的最小值；
(3)点P在抛物线对称轴上，若，则点P的坐标为 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案
一、选择题
1．C
2．D
3．B
4．D
5．A
6．A
7．C
8．B
二、填空题
9．
10．2
11．
12．或5
三、解答题
13．【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上，
将代入 ，
得，解得，
函数表达式为，
∴点、、，
令直线表达式为，
由、，
得，解得，
∴直线表达式为，
过点作垂直于轴，交于点，如下图所示：
当时，，
∴，
∴，
∴，
故的面积为．
（2）解：，
，
，
设点坐标为，根据题意，可判断出有可能的相似情况有如下三种：
当时，
有，即，
由，解得，
由，解得或，
故该情况下；
当时，
有，即，
由，解得，该方程无解，
则不存在该情况；
当时，
有，即，
由，解得，
由，解得或，
故该情况下；
综上，点的坐标为或．
14．【详解】（1）解：由题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线，
可设二次函数为．
又图象过，，
，解得，
二次函数为．
顶点坐标为．
（2）解：二次函数的图象向右平移n个单位长度后，得到新函数为．
此时对称轴是直线，函数图象开口向上．
①当时，即，
当时，y取最大值为；当时，y取最小值为．
又最大值与最小值的差为4，
．
，不合题意．
②当时，即，
当时，y取最大值为；当时，y取最小值为．
又最大值与最小值的差为4，
．
（不合题意，舍去）或，
③当时，即，
当时，y取最大值为；当时，y取最小值为．
又最大值与最小值的差为4，
．
或（不合题意，舍去）．
④当时，即，
当时，y取最小值为；当时，y取最大值为．
又最大值与最小值的差为4，
．
，不合题意．
综上，或．
15．【详解】（1）∵将代入中，
∴，
∵设顶点为，
∴，，
∴顶点坐标为．
（2）∵将代入中，
∴，
∵是该二次函数图象与轴交点的横坐标，
∴，解得：，
∵整理得：，
∴
，
∴，
当，，
当，，
∴综上，或．
16．【详解】（1）解：设，把代入得，
∴．
∴抛物线的解析式为，
∴顶点M的坐标为；
（2）解：①当点P在上方时，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
解得：（舍去）或，
∴点；
②当点P在下方时，交x轴于H，
∵，
∴，
设，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
设直线解析式为：，
把点H代入得：，
解得：，
所以直线解析式为．
联立上式和抛物线的表达式得：，
解得：（舍去）或，
∴综上所述，点P的坐标为或；
（3）解：过D点作轴，交于点H，如图所示：
设，直线的解析式为，
由点，知直线的解析式为：，
∴
∴
∵轴，
∴，
∴
∵，
∴当时，的值最大，．
17．【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点，
∴可设抛物线的交点式为，
当时，，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：∵抛物线经过，两点，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，，
对于一元二次方程，化为，
∵，
∴或，解得，，
即方程的根为，．
（3）解：抛物线对称轴为直线，
∵点、在抛物线上，且，
点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，
∴当时，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，
则，解得或，
∴；
当时，抛物线开口向下，离对称轴越近函数值越大，
则，解得，
∴；
综上，的取值范围是或．
18．【详解】（1）解：①∵抛物线交x轴于点，点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴抛物线的顶点E的坐标为；
②对于抛物线，令，则，
∴，
∵点C向右平移2个单位长度，得到点D，
∴，
当时，，
∴点D是在抛物线上；
（2）解：如图，在射线上取一点G，使．连接，，，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，，，
∴，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴轴，即，
∴，
∴．
∵，，
∴在中，，
∴，
即的最小值为．
（3）解：①当点P在x轴上方时，
取点，连接，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
∵，
∴．
过点A作于点K，设对称轴与x轴的交点为Q，
∴，
∴，
∴．
∵，，，
∴，，，
∵，
即，
∴，
∴在中，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
②当点P在x轴下方时，由对称性可得．
综上所述，点P的坐标为或．
故答案为：或．