第二十六章 二次函数 拔尖卷华（含答案）东师大版2025—2026学年九年级数学下册

第二十六章二次函数拔尖卷华东师大版2025—2026学年九年级数学下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．二次函数的图象的对称轴为（　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
2．开口向下的抛物线经过点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C．当时， D．
3．金华佛手是金华的名产，某特产店销售一批优质佛手，若每斤盈利15元，每天可售出30斤，经市场调查发现，若每斤售价降低1元，每天可多售出5斤，设每斤降价元，每天盈利为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知抛物线经过和两点，则的值为（ ）
A．0 B．4 C．8 D．
5．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当拱顶离水面时，水面的宽度为（ ）
A． B． C． D．
6．已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．二次函数的图像过点，，，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．抛物线的部分图象如图所示，则关于x的方程的解是_________．
10．已知一个直角三角形的两直角边之和为，则这个直角三角形面积最大为_____．
11．已知二次函数与x轴没有交点，则a的取值范围是___________．
12．在平面直角坐标系中，若二次函数与x轴只有一个交点，则m的值为________．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点，点为抛物线上的一个动点，
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在第一象限时，连接和，求面积的最大值是多少？
(3)若点在轴上，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．
14．因环保节能，新能源汽车越来越受到消费者的青睐；某经销商分两次购进甲、乙两种型号的新能源汽车（两次购进同一种型号汽车每辆的进价相同）．第一次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆；第二次用万元购进甲型号汽车辆和乙型号汽车辆．
(1)求甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价；
(2)经销商发现，乙型号汽车以每辆万元的价格销售时较好，每月能售台，市场调查发现，乙型号汽车每辆售价，每降低万元，销售量会增加台，问乙种型号新能源汽车定价为多少万元时，月销售乙种型号新能源汽车获取的利润最大？
15．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)用含的式子表示b；
(2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围．
16．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作于点E，与交于点F，设点D的横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式和C点坐标；
(2)当线段的长度最大时，求D点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
17．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，销售这种文具每天获利w（元），部分数据如下表所示：
销售单价x/元 … 12 13 14 …
每天销售数量y/件 … 36 34 32 …
(1)直接写出y与x，w与x之间的函数关系式；
(2)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？
(3)当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
18．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点是该抛物线上一动点，求面积的最大值；
(3)若函数的最大值与最小值的差为，求出的值；
(4)若点是坐标平面内一动点，请直接写出的最小值及此时点的坐标．
参考答案
一、选择题
1．A
2．C
3．B
4．C
5．B
6．C
7．D
8．B
二、填空题
9．
10．
11．
12．
三、解答题
13．【详解】（1）解：将点、的坐标代入抛物线表达式得，
解得，
故抛物线的表达式为；
（2）解：过作轴交于点．
设直线的解析式为：，
，解得，
直线的解析式为，
设，，
，
的面积，
∵，
当时，的面积最大，最大面积为；
（3）解：，
顶点的坐标为．
①当四边形为平行四边形时，
四边形为平行四边形，
，．
，
即．
．
令，则．
，
点的坐标为或．
②当四边形为平行四边形时，
四边形为平行四边形，
，．
，即．
，
令，则．
,
点的坐标为或．
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或．
14．【详解】（1）解：假设甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价分别为、万元，
根据题意，可得方程，
解得，
故甲、乙两种型号新能源汽车每辆的进价分别为、万元．
（2）解：假设乙种型号新能源汽车定价为万元，
则利润为，
当万元时，月销售乙种型号获取的利润最大．
15．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴，即
∴；
（2）解：由（）得：，
∴抛物线，
∵ 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，
∴，，
∴，
令，即，
解得或，
若，即点在轴右侧，如下图，
当时，有，其图象开口向下，对称轴为直线，
若点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，
∴；
若，即点在轴左侧，如下图，
当时，有，其图象开口向上，对称轴为直线，
若点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，
∴符合条件，
综上，的取值范围是或．
16．【详解】（1）解：由A、B的坐标分别为、，
则抛物线的表达式为：，
解得：，，
故抛物线的表达式为：；
对于，令，则，
故点；
（2）解：由点A、C的坐标得直线的表达式为：，
设点D的横坐标为m，
则点，则点，
则，
∵，故有最大值，
此时，点；
（3）解：存在，理由：
点，则，，
以点O，D，E为顶点的三角形与相似，
则或，即或，
即或，
解得：或（舍去）
解得或（舍去），
综上：或．
17．【详解】（1）解：设，把和代入得，
，
解得，
∴；
∴
（2）解：由题意得，，
整理得，，解得，，
∵该文具的销售单价不低于进价且不高于元，
∴不合，舍去，
∴，
答：销售单价为元；
（3）解：∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，取最大值，，
答：当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元．
18．【详解】（1）解：将点，代入，得，
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点，
设直线的函数表达式为，
将，代入，得，
，
解得，
∴直线的函数表达式为，
∵点是该抛物线上一动点，
∴点的坐标为，
∵轴，
∴，
∴点的坐标为，
∵，
∴点在下方，
∴，
，
，
，
，
，
∵，
∴当时，取得最大值；
（3）解：在抛物线中，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
①当区间在对称轴左侧，即时，
∵，
∴，
在上，随的增大而减小，
∴当时，取得最大值，
当时，取得最小值，
∴，
解得；
②当区间在对称轴右侧，即时，
∴
在上，随的增大而增大，
∴当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
∴，
解得；
③当区间包含对称轴，即时，
∴，
此时二次函数在顶点处取得最小值，即的最小值为，
∵抛物线开口向上，
∴离对称轴越远，函数值越大，
当时，
∵，
∴在处，取得最大值，
∴，
化简，得，
解得，两根均不在的范围内，故舍去；
当时，
同理，在处，取得最大值，
∴，
化简，得，
解得，两根均不在的范围内，故舍去；
综上所述，或．
（4）解：∵，
∴，，
两式相加得，即，
∴点在直线上，
如图，作直线，交轴于点，交轴于点，作点关于直线的对称点，连接、、，
将代入，得，
∴点的坐标为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
将代入，得，
，
解得，，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴，，
∵点与点关于对称，
∴，，，
∴，即，
∴点的坐标为，
∵，
又∵，
∴当、、三点共线时，取得最小值，即，
在直角中，，
∴的最小值为，
设直线的函数表达式为，
将点，代入，得，
，
解得，
∴直线的函数表达式为，
联立直线与直线，得，
，
解得，
∴点的坐标为；
综上所述，的最小值为，此时点的坐标为．