第二十六章二次函数培优卷（含答案）华东师大版2025—2026学年九年级数学下册

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第二十六章二次函数培优卷华东师大版2025—2026学年九年级数学下册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．二次函数的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
3．函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知点，均在抛物线上，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：；；；；其中正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6．已知抛物线的顶点在轴上，则的值为（ ）
A．或1 B．或4 C．或6 D．或2
7．如图，二次函数的图象与轴正半轴交于点，对称轴为直线，以下结论：①；②；③；④若点均在函数图象上，则；⑤对于任意实数，都有．其中结论正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．在平面直角坐标系中，若点满足，则称点P为“三倍点”，像点、、…，均为“三倍点”，若抛物线上有且只有一个“三倍点”，则该抛物线的顶点坐标为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是___________．
10．一球以的初速度从地面竖直向上弹起，球离地面的高度关于时间的函数表达式是，则球离地面的最大高度为_____．
11．抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则的面积为______
12．新定义：我们把二次函数 (其中)与称为“相关函数”．例如：二次函数的“相关函数”为．已知二次函数的“相关函数”为．
（1）二次函数的对称轴为直线____；
（2）已知二次函数的图象与x轴交于点M，N，二次函数的图象与x轴交于点P，Q，若，则二次函数与对称轴之间的距离为____．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数，）．
(1)若抛物线与轴只有一个交点，求抛物线的解析式；
(2)若抛物线与轴有两个交点，设抛物线与轴的两个交点分别为A，B，与轴的交点为，已知的面积为3，求的值；
(3)若当时，始终成立，直接写出的取值范围．
14．已知抛物线．
(1)用配方法求此抛物线顶点坐标：
(2)如果将该抛物线沿轴方向平移，得到新的抛物线经过点，求平移后的抛物线的表达式．
15．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，过点作轴的平行线与抛物线交于点B．
(1)直接写出抛物线的对称轴；
(2)若，求抛物线所对应的函数解析式；
(3)已知点，，如果抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
16．综合与实践
如图1，抛物线与轴相交于，两点，且，与轴相交于点．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)点是抛物线上任意一点，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为______；
(3)如图2，点为直线下方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求面积；
(4)如图3，点与动点在直线上，点与动点在抛物线的对称轴上，则的最小值为______．
17．加强劳动教育，落实五育并举．某中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．年计划将其中的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本（单位：元）与其种植面积（单位：）的函数关系如图所示，其中，乙种蔬菜的种植成本为元．
(1)求甲种蔬菜种植成本与其种植面积之间的函数解析式；
(2)设年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？
18．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)若是抛物线上的点且在直线的上方，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及该面积的最大值．
(3)若是直线上方的抛物线上的点，连接，且，直接写出点的坐标．
参考答案
一、选择题
1．B
2．A
3．C
4．A
5．C
6．C
7．C
8．A
二、填空题
9．或
10．5
11．6
12． 6
三、解答题
13．【详解】（1）解：∵抛物线（为常数，）与轴只有一个交点,
∴对于方程只有一个实数根，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：当时，，
即，
∴，
当时，，
∵抛物线与轴的两个交点分别为A，B，与轴的交点为，
∴，，
∴，
∴或．
（3）解：当时，；
当时，，
即，
∴，
∴该函数过，，，
当时，该函数开口向上，，
∴当时，在处取得最小值，
∴当，时，始终成立；
当时，该函数开口向下，，
∵当时，始终成立，
∴，
∴；
综上，或．
14．【详解】（1）解：，
此抛物线的顶点坐标为；
（2）解：设平移后的抛物线表达式为(为常数)，
平移后的抛物线经过点，
，解得，
平移后的抛物线表达式为．
15．【详解】（1）解：在抛物线中，
对称轴为直线．
（2）解：令，则，
．
过点作轴的平行线，与抛物线交于点，则点的纵坐标为1，
，解得或，
．
，解得或．
当时，抛物线解析式为；
当时，抛物线解析式为．
综上，抛物线所对应的函数解析式为或．
（3）解：分两种情况讨论：
∵，，，
∴点、、在一条直线上，
点在轴上，分两种情况讨论：
①当时，，点在点右侧，，点在点上方，
∵抛物线与线段恰有一个公共点，
∴结合函数图象可知，当点在点右侧或与点重合时满足条件，
即，
解得；
②当时，，点在点左侧，，点在点下方，
∵抛物线与线段恰有一个公共点，
∴结合函数图象可知，当点在点右侧或与点重合时满足条件，
即，解得；
综上所述，的取值范围为或.
16．【详解】（1）解：∵，，
∴，
将，代入得，
解得
∴，
∵，
∴顶点坐标；
（2）解：①如图所示，此时，，交轴于点，
由得，，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
假设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
解得
∴，
联立，
解得或，
∴；
②如图所示，此时，，
∴，
假设的解析式为，
将代入得，
，
∴
联立，
解得或，
∴；
综上，点的坐标为或；
（3）解：如图所示，过点作，交于点，
∴，
∴，
∴，
当的值最大时，的值最大，
假设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
，
解得，
∴，
假设，则，
∴，
当时，的值最大，最大值为，
∴；
（4）解：如图所示，令抛物线对称轴与直线交于点，过点作，过点作，在射线上截取，连接，交抛物线对称轴于点，交于点，连接，过点作于点，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，为等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴，且存在，
∴的最小值为线段的长度，
∵，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴由勾股定理得，
∴，
由勾股定理得，
即的最小值为．
17．【详解】（1）解：设甲种蔬菜种植成本与其种植面积之间的函数解析式：，
由图象经过点和可得：，
解得，
∴；
（2）解：∵甲种蔬菜种植成本（单位：元）与其种植面积（单位：）的函数关系为；
∴
∴当时，取最小值元，，
即：甲种蔬菜种植，乙种蔬菜种植，W最小为元．
18．【详解】（1）解：抛物线经过，，
，
解得，
抛物线的函数解析式为；
（2）解：如图，过点作轴，交于点，
直线与抛物线交于两点，
，解得，，
当时，，
当时，，
，，
，
设点，的面积为，则点，
，
则，
即，
，
当时，S取得最大值为，
则，
当点时，的面积最大为；
（3）解：当时，，解得，，
，则，
如图，过点作的垂线并取点（在直线的上方），使得，过点作轴于点，过点作轴于点，连接交抛物线于点，
，
，，则，
，轴，轴，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
则，
，
设直线的解析式为，代入，，
，解得，
，
，
点是满足条件的点，
，解得（舍去），，
当时，，
．
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