2025-2026 学年度高中数学开学考试卷 高二数学
注意事项
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷(选择题)
一、单选题
1. 经过点 ，且与直线 垂直的直线方程为( )
A. B.
C. D.
2. 若直线 与圆 相切，则 的值为( )
A. 21 或 -1 B. -21或 1 C. 5 或 -15 D. -5 或 15
3. 已知一道解答题共有两小问, 第一问 7 分, 第二问 8 分, 高三 (2) 班 50 个人中有 30 个人能够解答出第一问. 在第一问解答不出的情况下, 解答出第二问的概率为 0.1 , 第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为 0.7 ，则解答出第二问的概率为( )
A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04
4. 方程 ,化简的结果是 ( )
A. B.
C. D.
5. 已知 垂直于正方形 所在的平面,若 ，则平面 与平面 夹角的大小是( )
A. B. C. 60° D.
6. 某班一天上午有 4 节课, 下午有 2 节课, 现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6 节课的课表，要求数学课排在上午但不能是第一节，体育课排在下午， 则不同的排法种数有( )
A. 720 B. 288 C. 144 D. 48
7. 如图,在圆锥 中, 是底面圆 的直径, 分别为 的中点，点 是底面圆周上一点(不同于 )且 ，则直线 与直线 所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8. 已知双曲线 的左，右焦点分别为 ,过 作圆 的切线,切点为 ,延长 交双曲线 的左支于点 . 若 ,则双曲线 的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题
9. 甲罐中有 5 个红球, 3 个白球, 乙罐中有 4 个红球, 2 个白球. 整个取球过程分两步, 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别用 表示由甲罐取出的球是红球,白球的事件; 再从乙罐中随机取出两球,分别用 表示第二步由乙罐取出的球是 “两球都为红球”，“两球为一红一白”的事件，则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
10. 已知 两点位于直线1两侧, 是直线1上两点,且 的面积是 的面积的 2 倍,若 ,下列说法正确的是( )
A. 为奇函数
B. 在 单调递减
C. 在 有且仅有两个零点
D. 是周期函数
11. 正四棱锥 中,各棱长均为 过点 ,
的平面交 于点 ，且 ，则()
A.
B. 点 到平面 的距离为
C. 平面 与平面 夹角的余弦值为
D. 两个四棱锥 与 体积之比为
第 II 卷 (非选择题)
三、填空题
12. 已知直线 过点 ，且直线 的一个方向向量为 ，则坐标原点 到直线1的距离为_____.
13. 如图, 现要用 6 种不同的颜色对某市的 4 个区县地图进行着色, 要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有_____种不同的着色方法.
14. 已知点 . 以坐标原点 为对称中心且焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ,过点 且不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 交于 两点, 轴恰平分 , 则椭圆 的标准方程为_____.
四、解答题
15. 已知 为坐标原点,过点 的直线 与抛物线 交于 两点.
(1)证明: ；
( 2 )若 1 与坐标轴不平行，且 关于 轴的对称点为 ，圆 ，证明: 直线 BD 恒与圆 相交.
16. 在 的展开式中.
(1)若 ，求展开式中的常数项；
(2)若第三项的二项式系数比第二项的二项式系数大 35，求 的值.
17. 某中学为了响应国家提倡的素质教育的号召, 积极组织学生参加体育锻炼, 并定期进行成绩测试.在某次测试中, 该校随机抽取了二年级 50 名男生的立定跳远成绩和 50 米短跑成绩如下表:(单位:人)
立定跳远成绩 50 米短跑成绩 合计
小于等于 7.9s 大于 7.9s
大于等于 210cm 18 8 26
小于210cm 10 14 24
合计 28 22 50
(1)依据小概率值 的独立性检验，分析立定跳远成绩是否与 50 米短跑成绩有关；
(2)“立定跳远成绩大于 210cm”且“50 米短跑成绩大于 7.9s”的人数为m，已知这 m 人中有 3 人喜爱运动，若从中任取 2 人进行调研，设 表示取出的喜爱运动的人数，求 的分布列和数学期望.
下面附临界值表及参考公式:
0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
18. 如图所示, 用一个不平行于圆柱底面的平面, 截该圆柱所得的截面为椭圆面, 得到的几何体称之为“斜截圆柱”. 图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”， 是底面圆O的直径， ,椭圆所在平面垂直于平面 ,且与底面所成二面角为 ,图一中, 点 是椭圆上的动点,点 在底面上的投影为点 ,图二中,椭圆上的点 在底面上的投影分别为 ,且 均在直径 的同一侧.
图一
图二
(1)当 时，求 的长度;
(2)(i)当 时，若图二中，点 将半圆均分成 7 等份，求
(ii) 证明: .
19. 已知椭圆 的中心在坐标原点,左焦点为 ,右焦点为 ,其四个顶点的连线围成的四边形面积为 . 过椭圆 的左、右焦点作两条平行直线,与 在 轴上方的部分分别交于点 .
(1)当 为 的上顶点时,求直线 的斜率；
(2)求四边形 的面积的最大值.
《2025-2026 学年度高中数学开学考试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B A C A D BCD ABC
题号 11
答案 BCD
12.
13. 480
14.
15. (1)略
(2)略
16. (1)45;
(2)10.
17. (1)略
(2)数学期望为 .
18. (1) ;
(2) (i) ; (ii) 略
19.
(2)3
