2025-2026 学年度高中开学考试卷 高二数学
注意事项:
1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2. 请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1. 过点 且与直线 垂直的直线方程是( )
A. B.
C. D.
2. 已知直线 与圆 相交于 两点，若劣弧 与弦 围成的图形面积为 ,则 ( )
A. B. C. 2 D.
3. 若 ,则 ( )
A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4
4. 已知点 是圆 上的动点, ,线段 的垂直平分线与线段 交于点 ,当点 在圆 上运动时,点 的轨迹方程是 ( )
A.
B.
C.
D.
5. 如图,在正方体 中,平面 与平面 的夹角的正切值为 ( )
A. B. 1
C. D.
6. 直三棱柱 中, ,则异面直线 与 所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7. 已知点 都在同一个球面上, 为正方形,若直线 经过球心,且 平面 . 则异面直线 所成的角的最小值为 ( )
A. B. C. D.
8. 过双曲线 左焦点 的直线 交 的左支于 两点,直线 (O是坐标原点) 交 的右支于点 ,若 ,且 ,则 的离心率是 ( )
A. B. 2 C. D.
二、多选题
9. 一个笼子里关着 10 只猫, 其中有 4 只黑猫、6 只白猫. 把笼子打开一个小口, 使得每次只能钻出 1 只猫. 猫争先恐后地往外钻，如果 10 只猫都钻出了笼子，事件 A 表示“第 只出笼的猫是黑猫”， ，则()
A. B.
C. D.
10. 如图, 中, ,点 在线段 上, 与 交于点 , 则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
11. 如图,四边形 中, ,将四边形沿对角线 折起,使点 不在平面 内,则在翻折过程中,以下结论正确的是 ( )
A. 两条异面直线 与 所成角的范围是
B. 为线段 上一点 (包括端点),当 时，
C. 三棱锥 的体积最大值为
D. 当二面角 的大小为 时,三棱锥 的外接球表面积为
三、填空题
12. 某校从 5 名同学中选择 3 人分别参加数学、物理、化学竞赛, 则不同的选法共有_____种.
13. 已知直线 的方向向量为 ，点 在直线 上，若点 到直线 的距离为 ，则 _____.
14. 如图,已知椭圆 和双曲线 具有相同的焦点 是它们的公共点,且都在圆 上,直线 与 轴交于点 ,直线 与双曲线 交于点 ,记直线 的斜率分别为 ,若椭圆 的离心率为 ,则 的值为_____.
四、解答题
15. 以 为原点, 所在的直线为 轴,建立直角坐标系. 设 ,点 的坐标为 ,点 的坐标为 .
(1)求 关于 的函数 的表达式，判断函数 的单调性 (不需要证明);
(2)设 的面积 ，若以 为中心， 为焦点的椭圆经过点 ，求当 取得最小值时椭圆的方程；
(3)在(2)的条件下，若点 的坐标为 是椭圆上的两点，且 ,求实数 的取值范围.
16. 已知
(1)当 时，若 的展开式中第 3 项与第 8 项的系数相等，求展开式中 的系数；
(2) 设 ，当 时，求 的值.
17. 甲、乙两所学校进行同一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计成绩后,得到如下 列联表:
班级与成绩列联表
优秀 不优秀 总计
甲队 80 40 120
乙队 240 200 240
合计 320 240 560
附
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(参考公式: )
(1)能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为成绩与学校有关系；
(2)采用分层抽样的方法在两所学校成绩优秀的 320 名学生中抽取 16 名同学. 现从这
16 名同学中随机抽取 3 名运同学作为成绩优秀学生代表介绍学习经验, 记这 3 名同学来自甲学校的人数为 ,求 的分布列与数学期望.
18. 如图,在直四棱柱 中,底面 是边长为 2 的菱形, 分别是线段 上的动点,且 .
(1)若二面角 为 ，求 的长；
(2)当三棱锥 的体积为 时，求 与平面 所成角的正弦值的取值范围.
19. 如图,椭圆 的焦距为 ,抛物线 与 轴的交于点 ,过坐标原点 的直线 与 相交于点 ,直线 分别与 相交于点 D, E.
(1)证明: 、 的斜率之积为定值.
(2)记 、 的面积分别为 、 ，求 的最小值，并求取最小值时直线 MA的方程.
高二数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B B A A A D BCD ACD
题号 11
答案 BCD
1. A
2. D
3. B
4. B
5. A
6. A
7. A
8. D
9. BCD
10. ACD
11. BCD
12. 60
13. 0 或 2
14.
15. (1)函数 在区间 上单调递增;
(2)
(3) .
16. (1)84
(2)166650
17. (1)能在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为成绩与所在学校有关系
(2)分布列见解析，
18. (1)1 ;
(2) .
19. (1)证明过程见详解.
(2) 或 .
