高二数学
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 本卷命题范围: 人教 B 版选择性必修第一册, 选择性必修第二册, 选择性必修第三册第五章第 1 节一第 2 节。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
1. 已知数列 的前 4 项为1,2,5,12,则 的通项公式可以是
A. B.
C.
2. 已知直线 ，则过原点且与 平行的直线的方程为
A. B.
C. D.
3. 设随机变量 ,若 ,则
A. -1 B. C. 0 D. 1
4. 已知双曲线 的实轴长为 10,则该双曲线的离心率
A. B.
C. D.
5. 在 的展开式中, 的系数为
A. 7 B. 15
C. 30 D. 65
6. 在圆锥 中, 是底面圆 的直径, 为线段 的一点,且 是 的中点, ,则直线 与直线 所成角的余弦值为
A. B. C. D.
7. 某社区组织文化活动, 现有书法艺术展示、传统戏曲表演、民间手工艺制作、古典诗词朗诵、现代音乐赏析这 5 个文化活动项目. 社区安排 6 名志愿者负责这 5 个项目的活动组织, 若每个项目的活动都至少有 1 名志愿者负责，每名志愿者均需要负责且只负责其中 1 个项目的活动组织，则不同的分配方法种数为
A. 1500 B. 1800 C. 2100 D. 2400
8. 已知抛物线 的焦点为 ,准线为 ,过 的直线交 于 ( 在 的上方)两点， 过 两点分别作 的垂线,垂足分别为 ,若 ,则
A. B. C. D. 6
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 已知变量 和 满足经验回归方程 ,且变量 和 之间的一组相关数据如下表所示,则下列说法正确的是
5 6 9 12
8 7 2.4
A. B. 当 时,
C. 变量 和 呈负相关 D. 该经验回归直线必过点
10. 在平行六面体 中, ,点 是 上靠近 的三等分点,设 ,则
A. B.
C. D.
11. 已知点 ,动点 满足 ,记点 的轨迹为曲线 . 点 ,直线 ,则
A. 曲线 的方程为
B. 当 最小时,
C. 当 最大时,
D. 若曲线 上仅有一点到直线 的距离为 2,则 的值为
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知点 ，则 的余弦值是_____.
13. 进入冬季，流感在很多地区爆发. 某市医疗部门统计该市的 ， 两个区分别有 5%,6% 的人患了流感，已知 ， 两区的人口数的比为4:6，则从这两个区中任意选取一个人，若这个人患流感，则此人来自 区的概率为_____.
14. 已知点 是椭圆 的右顶点,定点 在 轴上,点 为椭圆 上一个动点,当 取得最小值时点 恰与点 重合,则实数 的取值范围为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13 分)
已知数列 是等差数列,且 .
(1)求 的通项公式；
(2)记 的前 项和为 ，求 的最小值.
16. (本小题满分 15 分)
某学校每天中午都将学校的阅览室提供给中午不出校园的学生自习,并且安排有关的老师在阅览室值班. 学校的食堂每天中午为不出校园的学生提供午餐,午餐分为 两种套餐,每个学生可以选择其中一种套餐, 套餐素菜多, 套餐荤菜多.
(1)本学期食堂对 套餐的菜品种类与品质等方面进行了进一步的改善，学校为了解就餐的学生对于改善前后的 套餐的满意度,对就餐的学生进行了调查,并从中随机抽取了 50 名就餐学生对于 套餐的满意度的数据，如下表 (单位:人):
套餐改善后 套餐改善前 合计
满意 13 10 23
不满意 7 20 27
合计 20 30 50
根据表中数据判断是否有 95%的把握认为学生对于 套餐的满意度与套餐的改善有关联
(2)若 套餐拟提供 3 种品类的素菜， ( 是不小于 3 的正整数)种品类的荤菜，供就餐的学生自由选择其中的 4 种菜品,记学生小李选择两个荤菜两个素菜的事件为 ,求 的最大值,并求此时 的值.
参考数据: ,其中 .
0.05 0.01 0.005
3.841 6.635 7.879
17. (本小题满分 15 分)
如图，在菱形 中， ， 是线段 的中点，将 沿 折起到 的位置.
(1)若 ，证明:平面 平面 ；
(2)若二面角 是 ，求点 到平面 的距离.
18. (本小题满分 17 分)
已知双曲线 的一条渐近线方程为 ,点 在 上,直线 与 交于 两点.
(1)求 的方程；
(2)若线段 的中点坐标为 ，求直线 的方程；
(3)若 为 的左顶点，直线 过 的右焦点 ， ， 都在 的右支上， 的面积为 ， 为坐标原点,求 .
19. (本小题满分 17 分)
2025 年 12 月 10 日和 11 日，中央经济工作会议在北京召开. 会议提出“坚持内需主导，建设强大国内市场”. 为响应国家促进国内消费的政策，某大型商场在“双 12”举办了“让利于民”的优惠活动，顾客消费每满 500 元可抽奖一次, 抽奖方案有以下两种(顾客只能选择其中的一种).
方案 1:从装有 4 个红球，3 个蓝球(形状、大小完全相同)的抽奖盒中，有放回地依次摸出 3 个球. 每摸出 1 次红球, 优惠 100 元, 若 3 次都摸到红球, 则额外再优惠 100 元 (即总共优惠 400 元);
方案 2:从装有 4 个红球，3 个蓝球 (形状、大小完全相同) 的抽奖盒中，不放回地依次摸出 3 个球. 中奖规则为:若摸出 3 个红球，享受免单优惠；若摸出 2 个红球，则享受打 5 折优惠；其余情况无优惠.
(1)已知顾客 选择抽奖方案 2，若他第一次摸出的球为红球，求他能够享受优惠的概率；
(2)已知顾客 恰好消费了 500 元，
(1)若他选择抽奖方案 1，求顾客 所获得的优惠金额的分布列和期望(结果精确到整数位)；
(‖)试从顾客 B 所获得的优惠金额的期望值分析顾客 B 选择何种抽奖方案更合理.
高二数学参考答案、提示及评分细则
1. D 已知数列 的前 4 项为1,2,5,12,即 ,验证选项中的通项公式,只有 符合题意,所以 的通项公式可以是 . 故选 D.
2. A 与 平行的直线的方程可以设为 ,又直线 过原点,所以 ,所以过原点且与 平行的直线的方程为 . 故选 A.
3. 由正态分布关于均值对称,知 ,解得 . 故选 B.
4. 由 可得 ,故 ,所以双曲线的焦点在 轴上,故实轴为 ,所以 ,因此双曲线为 ,所以 ,又该双曲线的半实轴长为 ,故双曲线的离心率 . 故选 C.
5. A 在 的展开式中, 的系数为 的系数为 ,所以 的展开式中, 的系数为 . 故选 A.
6. C 因为 为 的中点,所以 . 以 为原点, 分别为 轴建立空间直角坐标系,则 , ,因为 为线段 的一点,且 ,所以 . 所以 , . 设直线 与直线 所成的角为 ,则 . 故选 C.
7. B 先将 6 名志愿者分成 5 组，从 6 人中选 2 人一组，其余 4 人各一组，共有 种分法，再将这 5 组全排列，对应 5 个项目,有 种排法,所以不同的分配方法种数为 种. 故选 B.
8. 法一: 设直线 的倾斜角为 ,则 ,过 作 的垂线,垂足为 ,由抛物线的定义,得 ,所以 ,在 中, ,所以 ,解得 . 同理可得 ,所以 ,过 作 的垂线,垂足为 ,在 中, ,易知 ,所以 ,即 ,所以 . 故选 A.
法二: 设 的方程为 ,代入 的方程并化简,得 ,设 ,则 ,所以 ,因为 ,所以 ,所以 ,则 ,即 8,所以 . 故选 A.
9. ABC 对于 ,因为变量 和 满足经验回归方程 ,又 ,所以 ,解得 ,故 正确; 对于 ,因为变量 和 满足经验回归方程 ,当 时, ,故 B 正确; 对于 ,因为变量 和 满足经验回归方程 ,所以变量 和 呈负相关,故 正确; 对于 ,由选项 知, ,该经验回归直线必过点 ,不一定过样本点,故 错误. 故选 ABC.
10. 在平行六面体 中, ,故 正确; 因为点 是 上靠近 的三等分点,所以 ,又 ,所以 ,故 B 正确; 因为 ,所以 ,所以 ,故 错误; ,所以 ,故 D 正确. 故选 ABD.
11. 设 ,由 ,得 ,化简,得曲线 : ，是圆，且半径为 ，圆心为 ，故 正确；当 最小或最大时，直线 均与曲线 相切,且它们的切线长相等,均为 ,故 正确; 圆心 到直线 的距离 ,由题意得 ,解得 ,或 ,故 错误. 故选 ABC.
12. ,故 .
13. 记事件 为“从这两个区中选 1 人，此人患流感”，事件 为“从这两区中任选 1 人，此人来自 区”，则 ,所以 ,所以 .
14. 设 ,则 ,所以 . 又由 ,若 取得最小值时点 恰好与点 重合,则 ,解得 .
15. 解:(1)设等差数列 的公差为 ，
由 ,得 ,解得 . 3 分所以 . 6 分 (2)因为 是等差数列,
所以 , 10 分
因为 ,所以当 时, 有最小值一169 . 13 分
16. 解: (1) 根据表中数据得到 , 3 分所以有 的把握认为学生对 套餐的满意度与套餐的改善有关联. 6 分
(2) ( 是不小于 3 的正整数)， 8 分令 ,由 得
解得 , 12 分
因为 是不小于 3 的正整数,所以 , 13 分
此时 ,所以 的最大值是 ,此时 . 15 分
17.(1)证明:在 中，由余弦定理，得
, 2 分
所以 ,所以 .
将 沿 折起后,必有 . 3 分
又 与 相交, 平面 ,
平面 ,所以 平面 . 5 分
又 平面 ,所以平面 平面 . 6 分
(2)解:由(1)知 ，所以分别以直线 ， 为 轴， 轴，建立如图所示的空
间直角坐标系 ,则 . 7 分
由(1)知 平面 ，所以 为二面角 的平面角，则 ， 9 分又 平面 ,所以平面 平面 ,
所以 . 11 分
设平面 的一个法向量 ,
则 即 令 ,则 . 13 分
又 ,所以点 到平面 的距离 . 15 分
18. 解:(1)由题知 解得 3 分
所以 的方程为 . 4 分
(2)设 ， ，则
两式相减得 . 6 分
因为线段 的中点坐标为 ,所以 . 7 分
所以 ,所以直线 的斜率为 ,
所以直线 的方程为 ,即 ,经检验,直线 符合题意.
10 分
(3)由题知 的右焦点为 ，设直线 的方程 ， ， ，
联立方程 消去 整理得 ,
则 ,则 , 12 分
故 .
又 ,所以 ,
解得 , 14 分
所以
. 17 分
19. 解: (1) 设事件 表示“第一次摸到红球”,事件 表示“能够享受优惠”,在第一次摸到红球后,抽奖盒中还剩 3 个红球和3个篮球，共6个球，享受优惠包含摸出 2 个红球和摸出 3 个红球这两种情况，从 6 个球中不放回地摸 2 个球，总情况有 种, 2 分
摸出两个红球的情况有 种,摸出 1 红 1 蓝的情况有 种,
所以 . 4 分
(2)(1)设顾客 选择抽奖方案 1 时，顾客 所获得的优惠金额为 元，从装有 4 个红球，3 个蓝球的抽奖盒中摸一个球,摸到红球的概率为 ,摸到蓝球的概率为 , 5 分
当摸出 0 个红球时, , 6 分
当摸出 1 个红球时, , 7 分
当摸出 2 个红球时, , 8 分
当摸出 3 个红球时, . 9 分
所以顾客 所获得的优惠金额的分布列为
0 100 200 400
27 343 108 343 144 64 343
所以选择方案 1 时,顾客 所获得的优惠金额的期望为
. 11 分
(ii)设顾客 选择抽奖方案 2 时所获得的优惠金额为 元，
当摸出 0 个红球或 1 个红球时, , 12 分
当摸出 2 个红球时， ， 13 分
当摸出 3 个红球时, , 14 分
所以顾客 所获得的优惠金额的分布列为
Y 0 250 500
所以 , 16 分
所以 ,所以从获得优惠金额的期望值分析,顾客 选择抽奖方案 1 更合理. 17 分
