辽宁省铁岭市2025-2026学年高一下学期3月质量检测数学试题（含答案）

高一数学
考生注意:
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围:必修第一册，必修第二册，必修第三册第七章第 1 节一第 2 节。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。
1. 已知角 ,则角 为
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
2. 已知集合 ,则
A. B.
C. D.
3. 如图，已知 为平行四边形 内一点， ，则 等于
A. B. C. D.
4. 已知实数 满足 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知幂函数 在 上单调递减,则
A. 4 B. C. D.
某机器上有相互啮合的大小两个齿轮 (如图所示), 大轮有 25 个齿, 小轮有 15 个齿，大轮每分钟转 6 圈，若小轮的半径为 ，则小轮每秒转过的弧长是
A. B.
C. D.
7. 下列选项正确的是
A.
B.
C.
D.
8. 已知函数 的定义域为 ,对任意的 ,都有 ,则不等式 的解集是
A. B.
C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部 选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9. 某城市连续 7 天的最低温度(单位:℃)为，0，2，5，5，6，7，3，则这组数据的
A. 极差为 7 B. 40%分位数为 4
C. 平均数为 4 D. 方差为
10. 已知 ,且 ,则
A.
B.
C.
D.
11. 已知函数 ,则下列结论正确的是
A. 的图象关于点 对称
B. 在 上单调递减
C. 在 上没有零点
D. 若 恒成立，则实数 的取值范围是
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 已知向量 ，若 ，则 _____.
13. 从分别写有1,2,3,4,5的 5 张卡片中不放回地随机抽取 3 张，则抽到的 3 张卡片上的数字之和大于 9 的概率为_____.
14. 已知关于 的不等式 的解集为 ,则关于 的不等式 的解集为_____， 的最大值为_____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分 13 分)
(1)计算: ；
(2)已知 ，求 的值.
16. (本小题满分 15 分)
甲、乙两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏, 规则如下: 若掷出的点数之和为 3 的倍数, 则由原投掷人继续投掷; 若掷出的点数之和不是 3 的倍数, 则由对方接着投掷. 规定第 1 次由甲投掷.
(1)求第 2 次由甲投掷的概率；
(2)求前 4 次投掷中，乙恰好投掷 2 次的概率.
17. (本小题满分 15 分)
某 AI 公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入 100 万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入 10 万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润 ，乙产品的利润 与研发投入 (单位: 万元) 分别满足 ,设甲产品的投入为 (单位:万元)，两种产品的总利润为 (单位:万元).
(1)求 的表达式；
(2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大利润是多少万元？
18. (本小题满分 17 分)
某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了 100 名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩(满分:100 分)分成 ， ， ， 六组，得到如图所示频率分布直方图.
(1)求图中 的值，并估计样本数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前 20% 的学生颁发 “环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数;
(3)若落在 中的样本数据的平均数是 54，方差是 6，落在 中的样本数据的平均数是 66，方差是 3，求这两组数据的总平均数 和方差 .
19. (本小题满分 17 分)
已知函数 满足 满足 ，且当 时， .
(1)求函数 的解析式；
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的最小值；
(3)若关于 的方程 在 上有两个不同实数根,求实数 的取值范围.
高一数学参考答案、提示及评分细则
1. 已知 ,故角 为第二象限角. 故选 .
2. 由题意知 ,所以 . 故选 .
3. A 因为 ,所以 . 故选 A.
4. A 因为 ,若 ,则 ,故 ,所以 “ ” 是 “ ” 的充分条件; 若 ,满足 ,但是 ,故 “ ” 不是 “ ” 的必要条件. 综上,“ ” 是 “ ” 的充分不必要条件. 故选 A.
5.D 因为函数 是幂函数，所以 ，解得 或 -1 . 又 在 上单调递减,所以 ,所以 . 故选 D.
6. 由大轮有 25 个齿,小轮有 15 个齿,大轮每分钟转 6 圈,得小轮每分钟转的圈数为 ,因此小轮每秒钟转的弧度数为 ,所以小轮每秒转过的弧长是 . 故选 B.
7. ,即 ,即 ,所以 . 故选 D.
8. C 因为对任意的 ,都有 ,即对任意的 ,都有 ,令 ,所以对任意的 ,都有 ,所以 为 上的减函数,又 ,即 ,即 ,所以 ,解得 2,即不等式 的解集是 . 故选 C.
9. ACD 将这 7 个数据从小到大排序为0,2,3,5,5,6,7,则极差为 正确； 分位数对应排序后第 3 个数,为 3, B 错误; 平均数为 正确; 方差为 , D 正确. 故选 ACD.
10. AC 因为 ,所以 ,又 ,所以 ,所以 ,故 A 正确; 因为 ,故 B 错误; ,故 C 正确; 因为 ,所以 ,故 错误. 故选 AC.
11. BD 显然 的定义域为 ,因为 ,所以 的图象关于点 对称, A 错误; 因为函数 在 上单调递增,所以 在 上单调递减，又 在 上单调递减，所以 在 上单调递减, 正确; ,由零点存在定理可知 在 上恰有一个零点, 错误; 因为 ,所以 ,又 在 上单调递减,所以 ,即 在区间 上恒成立,所以 解得 正确. 故选 BD.
12. -4 因为 ,所以 ,又 ,所以 ,解得 .
13. 从分别写有1,2,3,4,5的 5 张卡片中不放回地随机抽取 3 张,样本空间包含 , ,共 10 个,抽到的 3 张卡片上的数字之和大于 9 的基本事件为 ,共 4 个,所以抽到的 3 张卡片上的数字之和大于 9 的概率 .
14. 因为关于 的不等式 的解集为 ,所以-1,2为方程 的两个根,且 ,又 所以 所以 ,即 ,即 ,解得 ,即关于 的不等式 的解集为 . 故 ,当且仅当 ,即 时等号成立,所以 的最大值为 -3 .
15. 解: (1) 原式 . 6 分 (2)原式 . 13 分
16. 解: (1) 设甲拿两颗质地均匀的骰子投的点数分别为 和 ,
故基本事件总数为 种; 2 分
事件 “投出的点数之和为 3 的倍数”,
故 ,一共有 12 种, 4 分故第 2 次由甲投掷的概率为 . 6 分
(2)前 4 次投掷中，乙恰好投掷 2 次的情况分以下三种: 7 分
第一种情况，第 1，2 次由甲投掷，第 3，4 次由乙投掷，其概率为 ， 9 分
第二种情况,第 1,3 次由甲投掷,第 2,4 次由乙投掷,其概率为 , 11 分
第三种情况，第 1，4 次由甲投掷，第 2，3 次由乙投掷，其概率为 ， 13 分
故前 4 次投掷中,乙恰好投掷 2 次的概率为 . 15 分
17. 解: (1)因为甲产品的投入为 万元,则乙产品的投入为 万元,
所以当 时, ; 3 分
当 时, , 6 分
所以 7 分
(2)当 时,令 ,则 ,
所以总利润为 ,
所以当 时, 取得最大值 204 万元; 10 分
当 时,
, 13 分
当且仅当 ,即 时,等号成立,
所以该公司在甲产品投入 万元，在乙产品投入 万元时，总利润最大，最大总利润为 万元. 15 分
18. 解: (1) 由频率分布直方图可得 ,解得 . 2 分样本数据平均数为 . 5 分
(2)因为成绩小于 80 分的频率为 ，成绩小于 90 分的频率为 ，
所以竞赛成绩的 80% 分位数在 中, 7 分
则 ,所以 分位数为 86,
所以获得该荣誉证书的最低分数为 86 分. 11 分
(3)根据题意，成绩在 内的人数为 ，
TL
成绩在 内的人数为 ,
所以这两组数据的总平均数 , 14 分
总方差 . 17 分
19. 解: (1) 令 ,则 , 1 分
所以 ,
故 . 2 分
由 得 ,
当 时, , 3 分
当 时, , 4 分
故 5 分
(2)易知 的定义域为 ，且 ，
所以 为奇函数, 6 分
又 ,则 在 上恒成立, 7 分
因为函数 在 上均为单调递增函数,所以 在 上单调递增, 8 分
因此 ,所以 在 上恒成立, 9 分
因为 ,故 ,所以实数 的最小值为 . 10 分
(3)当 时,方程变为 ，所以 . 当 时， ，只有 一解，不符合题意；
当 时,方程 在 上有两个不同实数根等价于方程 在 上有两个不同实数根, 11 分
令 ,则 , 12 分
所以 , 13 分
令 ,则 在 上单调递减,在 上单调递增,
所以 , 15 分
要使方程 在 上有两个不同实数根,则函数 与直线 在 上有两个不同的交点,所以 , 16 分
故实数 的取值范围为 . 17 分