(共15张PPT)
第三章 函数
第19课时 二次函数的实际应用
1.某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1 500个，9月份销售y个，设7月份到9月份销售量的月平均增长率为x，那么y与x的关系式为( )
A.y＝1 500(1＋x)2 B.y＝1 500(1－x)2
C.y＝(1＋x)2＋1 500 D.y＝x2＋1 500
A
2.如图，根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间的函数关系式为h＝－5t2＋20t，当小球达到最高点时，飞行时间t为( )
A.2 s B.1 s
C.20 s D.5 s
A
3.在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y(m)与飞行时间x(s)的关系式为y＝－x2＋10x，当炮弹落到地面时，经过的时间为( )
A.40 s B.45 s
C.50 s D.55 s
C
4.飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数关系式是s＝－t2＋60t，则飞机着陆后滑行_________m才能停下来.
600
5.某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于45元.经调查发现，每天的销售量y(个)与每个商品的售价x(元)满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：
每个商品的售价x/元 … 25 30 35 …
每天的销售量y/个 … 110 100 90 …
(1)求y与x之间的函数关系式.
解：由题意可设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.
∵当x＝25时，y＝110，当x＝30时，y＝100，
∴
解得
∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋160.
(2)设商场每天获得的总利润为w(元)，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大？最大利润是多少？
解：由题意，得w＝(x－20)(－2x＋160)＝－2x2＋200x－3 200
＝－2(x－50)2＋1 800，20≤x≤45.
∵－2＜0，
∴当x＝45时，w取得最大值，最大值为1 750.
答：当商品的售价为45元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1 750元.
6.有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系.正常水位时，桥下水面宽度为20 m，拱顶距离水面4 m，桥下水深6 m.为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18 m，则水深不得超过( )
A.6.24 m B.6.76 m
C.7 m D.7.24 m
B
7.如图，在足够大的空地上，某人利用墙和一段长29 m的篱笆围成矩形菜园ABCD，墙长12 m，其中AD的长不超过墙长，在BC边上留一个1 m宽的小门EF.设AB为x m，当x取何值时，矩形菜园的面积最大？最大面积为多少平方米？
解：设矩形菜园的面积为S m2.
依题意，得BC为(29＋1－2x)m.
∴S＝x(29＋1－2x)＝－2x2＋30x.
∴S是x的二次函数.
∵a＝－2＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－＝.
∵AD的长不超过墙长，
∴0＜30－2x≤12.
∴9≤x＜15.
∴当x＝9时，S取最大值，最大值为108.
答：当x＝9时，矩形菜园的面积最大，最大面积为108 m2.
8.(2025福州一检)如图1，一位小朋友在一个半径(内径)为1 m的圆柱形水泥管道内踢球.某次操作时，球沿管壁上升一定高度后脱离管壁到再次触壁前，在管道内的运动轨迹(球心轨迹)是一条抛物线，且在该管道的某一横截面上.如图2，在该横截面上，以水泥管道内壁(圆)的最低点为原点O，以过O点的直径所在的直线为y轴，过点O且垂直于y轴的直线为x轴建立平面直角坐标系.已知小球从管壁脱离时球心A的坐标为，小球球心经过的最高点坐标为.
(1)求小球球心轨迹对应抛物线的表达式.
解：∵小球脱离管壁到再次触壁前的运动轨迹是一条抛物线，且小球球心经过的最高点坐标是，
∴设该抛物线的表达式为y＝a2＋(a≠0).
∵小球从管壁脱离时球心A的坐标为，
∴a 2＋＝.
解得a＝－.
∴小球球心轨迹对应抛物线的表达式为y＝－2＋＝－x2－x＋.
(2)当小球的球心落在书包开口中心时，小球恰好落入书包中.若小球在此次运动中恰好落入小朋友的书包内，且此时书包开口的中心到x轴所在的水平线距离为 m，求书包开口中心处的坐标.
解：将y＝代入y＝－2＋，得
－2＋＝.
解得x1＝0，x2＝－.
∵－＜－，
∴此时小球的球心在点A左侧，与实际不符，故舍去.
∴书包开口中心处的坐标为.(共14张PPT)
第三章 函数
第14课时 一次函数的实际应用
1. (2025山西)氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得.实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y(g)与分解的水的质量x(g)满足我们学过的某种函数关系.下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为( )
A.y＝ B.y＝9x C.y＝x D.y＝
水的质量x/g 4.5 9 18 36 45
氢气的质量y/g 0.5 1 2 4 5
C
2. (2025内蒙古)在闭合电路中，通过定值电阻的电流I(单位：A)是它两端的电压U(单位：V)的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为15 V时，通过它的电流为( )
A.12 A B.8 A
C.6 A D.4 A
A
3.张老师复印资料时，剩余张数和时间的函数关系图象如图所示，根据图中提供的信息可以知道，张老师这次刚好复印完资料所需的时间为________min.
20
4. (2025陕西)研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积y(L)与气体温度x(℃)成一次函数关系.某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表：
气体温度x/℃ … 25 30 35 …
气体体积y/L … 596 606 616 …
(1)求y与x的函数关系式.
解：设y与x的函数关系式为y＝kx＋b.
由表中数据，得
解得
∴y与x的函数关系式为y＝2x＋546.
(2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到700 L时停止加热.求停止加热时的气体温度.
解：令y＝700，
得2x＋546＝700.
解得x＝77.
答：停止加热时的气体温度为77 ℃.
5.(2025长春)随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活.某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变.已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后，停工保养，保养结束后又和乙机器人一起继续工作.甲、乙两台机器人分拣快递的总数量y(件)与乙机器人工作时间x(min)之间的函数关系如图所示.
(1)甲机器人停工保养的时间为________min，m＝___________；
解析：由题图，得甲机器人停工保养的时间为60－40＝20(min).
∵2 200÷40＝55，
∴m＝2 700＋(80－60)×55＝3 800(件).
20
3 800
(2)求AB所在直线对应的表达式；
解：∵甲、乙机器人的效率为每分钟分拣快递55件，
∴AB所在直线对应的表达式为y＝2 700＋55(x－60)＝55x－600.
(3)若该快递公司当天分拣快递的总数量为5 450件，则乙机器人工作时间为_________min.
解析：当y＝5 450时，
55x－600＝5 450.
解得x＝110.
∴乙机器人工作时间为110 min.
110
6.(2025烟台)2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元.
(1)求甲、乙两种路灯的单价；
解：设甲、乙两种路灯的单价分别为x元、y元.
根据题意，得
解得
答：甲、乙两种路灯的单价分别为60元、80元.
(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少.
解：设购买甲种路灯m盏，则购买乙种路灯(40－m)盏.
根据题意，得m≤(40－m).
解得m≤10.
设购买费用为n元.
根据题意，得n＝60m＋80(40－m)＝－20m＋3 200.
∵－20＜0，
∴当m取得最大值10时，n取得最小值.
此时40－m＝40－10＝30.
答：购买甲种路灯10盏、乙种路灯30盏，所需费用最少.(共17张PPT)
第三章 函数
第16课时 反比例函数与几何图形综合
1.如图，过反比例函数y＝(x＜0)图象上的一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO.若S△AOB＝4，则k的值是( )
A.4 B.－4
C.8 D.－8
D
2.(2025山东省卷)如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形.若函数y＝(x＞0)的图象经过点B，则满足y≥2的x的取值范围为( )
A.0＜x≤2
B.x≥2
C.0＜x≤4
D.x≥4
A
3.如图，满足函数y＝kx－k和y＝(k≠0)的大致图象是( )
B
4.如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l∥y轴，且直线l分别与反比例函数y＝(x＞0)和y＝(x＞0)的图象交于P，Q两点.若S△POQ＝10，则k的值为_______.
8
5.(2025东营)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx＋b的图象与反比例函数y2＝的图象相交于点A和B(－4，－3)，点A的横坐标为2.
(1)求反比例函数和一次函数的关系式；
解：将B(－4，－3)代入y2＝，得
m＝(－3)×(－4)＝12.
∴反比例函数的关系式为y2＝.
∴将xA＝2代入y2＝，得yA＝＝6.
∴A(2，6).
将A(2，6)，B(－4，－3)代入y1＝kx＋b，得
解得
∴一次函数的关系式为y1＝x＋3.
(2)观察图象，直接写出当y1≤y2时x的取值范围；
解：x≤－4或0＜x≤2.
(3)点C为x轴上一动点，连接AC，BC，若△ABC的面积为18，求点C的坐标.
解：如图，设y1＝x＋3与x轴交于点D.
令y1＝0，解得x＝－2.
∴D(－2，0).
设C(t，0).
∴CD＝｜t＋2｜.
∵△ABC的面积为18，
∴CD (6＋3)＝18.
∴CD＝4，即｜t＋2｜＝4.
解得t＝2或t＝－6.
∴点C的坐标为(－6，0)或(2，0).
6.(2025陕西)如图，过原点的直线与反比例函数y＝(k＞0)的图象交于A(m，n)，B(m－6，n－6)两点，则k的值为_______.
9
7.在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y＝(x＞0)图象上的一点，如图，将线段OA向左平移，平移后的对应线段为O′A′，点A′落在反比例函数y＝的图象上，已知线段OA扫过的面积为8，则k＝_________.
－5
8.如图，点A在y轴的正半轴上，以OA为边在OA左侧作菱形OABC，且∠AOC＝60°，反比例函数y＝(k≠0，x＜0)的图象经过点C，若菱形OABC的面积是12，则k的值为_________.
－6
9.(2025苏州)如图，一次函数y＝2x＋4的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象交于点D，连接CD.
(1)求A，B两点的坐标；
解：令y＝0，得2x＋4＝0.
解得x＝－2.
∴点A的坐标为(－2，0).
令x＝0，得y＝4.
∴点B的坐标为(0，4).
(2)若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值.
解：如图，过点C作CE⊥BD，垂足为E.
∵△BCD是以BD为底边的等腰三角形，
∴CB＝CD.
∵CE⊥BD，
∴BE＝DE.
∵BD∥x轴，
∴令y＝4，得4＝.
解得x＝.
∴点D的坐标为.
∴点C的坐标为.
∵点C在一次函数y＝2x＋4的图象上，
∴k＋4＝8.
解得k＝16.
10.(2025北京)如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形OACB是矩形，函数y＝(x＞0)的图象与边AC交于点M，与边BC交于点N(M，N不重合).给出下面四个结论：
①△COM与△CON的面积一定相等；②△MON与△MCN的面积可能相等；③△MON一定是锐角三角形；④△MON可能是等边三角形.
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
B(共21张PPT)
第三章 函数
第11课时 平面直角坐标系
1.(2025贵州)如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，在第四象限的是( )
A.点A B.点B
C.点C D.点D
D
2.若点P(3，a－2)和点Q(3，－2)关于x轴对称，则a的值为( )
A.－4 B.－2
C.2 D.4
D
3.大雁在南飞时保持严格整齐的队形即排成“人”或“一”.如图，这是大雁南飞时的平面网格图，如果最后两只大雁F，G的坐标分别为F(－1，4)，G(－1，－2)，那么头雁A的坐标是( )
A.(3，1)
B.(4，1)
C.(4，2)
D.(5，1)
D
4.若点A(x，y)的坐标满足xy＝0，则点A在( )
A.纵轴上 B.横轴上
C.纵轴上或横轴上 D.第一、三象限的角平分线上
C
5.如图，在平面直角坐标系中，直线l⊥x轴于点A(－6，0)，直线m⊥y轴于点B(0，－3)，则点P的坐标可能是( )
A.(－6.5，－3.5)
B.(－6.5，－2.5)
C.(－5.5，－3.5)
D.(－5.5，－2.5)
B
6.(2025广安)在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(a，b)，且a，b满足(a－2)2＋｜b＋3｜＝0，则点A在第________象限.
四
7.(2025泸州)若点(1，a－2)在第一象限，则a的取值范围是__________.
a＞2
8.如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现.按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为(1，90°)，(2，240°)，则点C的位置可表示为_______________.
(3，30°) .
9.在平面直角坐标系中，已知点M(m＋2，m－5).
(1)若点M在x轴上，求m的值；
解：∵点M(m＋2，m－5)在x轴上，
∴m－5＝0.
解得m＝5.
(2)若点M在第二、四象限的角平分线上，求点M的坐标；
解：∵点M(m＋2，m－5)在第二、四象限的角平分线上，
∴点M的横、纵坐标互为相反数.
∴m＋2＋m－5＝0.
解得m＝.
∴点M的坐标为.
(3)在同一平面直角坐标系中，点A(4，6)，且AM∥y轴，求点M的坐标.
解：∵点A(4，6)，且AM∥y轴，M(m＋2，m－5)，
∴点A，M的横坐标相等，即m＋2＝4.
解得m＝2.
∴点M的坐标为(4，－3).
10.已知点P(2a，1－3a)在第二象限，且点P到x轴的距离与到y轴的距离之和是11，则a的值为( )
A.－1 B.1
C.－2 D.3
C
11.在平面直角坐标系中，有A(0，3)，B(2，3)，C(4，－1)三点，P为直线AB上的动点，当PC的长度最小时，点P的坐标为( )
A.(－1，3) B.(4，3)
C.(3，3) D.(2，2)
B
12.如图，已知A，B两点的坐标分别为A(－3，1)，B(－1，3)，将线段AB平移得到线段CD.若点A的对应点是C(1，2)，则点B的对应点D的坐标是____________.
(3，4)
13.(2025山西)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6，0)，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，则点A对应点的坐标为_______________.
(3，3)
14.(2025德阳)△ABC在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(3，0)，如果△ABC的面积为1，那么点C的坐标可以是_________________________
_______________.(只需写出一个即可)
(2，1)(答案不唯一，纵坐标绝
对值为1即可)
15. 已知当m，n都是实数，且满足2m＝8＋n时，称P(2m－2，n＋2)为“好点”.例如，点A(5，1)为“好点”.因为当A的坐标为(5，1)时，2m－2＝5，n＋2＝1，解得m＝，n＝－1.所以2m＝2×＝7，8＋n＝8＋(－1)＝7.所以2m＝8＋n.所以A(5，1)是“好点”.
(1)判断B(3，－1)，C(6，10)是否为“好点”，并说明理由；
解：B(3，－1)是“好点”，C(6，10)不是“好点”.
理由：当B的坐标为(3，－1)时，
2m1－2＝3，n1＋2＝－1.
解得m1＝，n1＝－3.
∴2m1＝2×＝5，
8＋n1＝8＋(－3)＝5.
∴2m1＝8＋n1.
∴B(3，－1)是“好点”.
当C的坐标是(6，10)时，
2m2－2＝6，n2＋2＝10.
解得m2＝4，n2＝8.
∴2m2＝2×4＝8，
8＋n2＝8＋8＝16.
∴2m2≠8＋n2.
∴C(6，10)不是“好点”.
(2)若点M(a，2a－1)是“好点”，请判断点M在第几象限，并说明理由.
解：点M在第三象限.理由：
∵点M(a，2a－1)是“好点”，
∴2m－2＝a，n＋2＝2a－1.
整理，得m＝，n＝2a－3.
∵2m＝8＋n，
∴2 ＝8＋(2a－3).
解得a＝－3.
∴M(－3，－7).
∴点M在第三象限.(共20张PPT)
第三章 函数
第18课时 二次函数的图象与性质(2)
1.若二次函数y＝ax2的图象经过点A(1，2)，则a的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
B
2.(2025漳州一检)已知a＞0，b2－4ac＞0，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
A
3.已知抛物线与二次函数y＝－3x2的图象形状相同、开口方向相同，且顶点坐标为(－1，3)，它对应的函数关系式为( )
A.y＝－3(x－1)2＋3 B.y＝3(x－1)2＋3
C.y＝3(x＋1)2＋3 D.y＝－3(x＋1)2＋3
D
4.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为x＝1，则下列结论中错误的是( )
A.abc＜0
B.a－b＋c＜0
C.2a＋b＝0
D.3a＋c＞0
D
5.(2025上海)将函数y＝3x2的图象向下平移2个单位长度后，得到的新函数的关系式为_______________.
y＝3x2－2
6.如图，已知抛物线 y＝ax2＋bx，则直线y＝ax＋b不经过的象限是______________.
第二象限
7.(2025广东省卷)已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的关系式可以是_________________________
________________________.(写出一个即可)
y＝－x2＋x＋2(答案不唯
一，c－b＝1且c≠0即可)
8.如图，在平面直角坐标系中，y＝ax2＋2x＋c与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C，则OC的长为_______.
3
9.在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2＋bx＋2的图象经过点A(－2，2).
(1)求该二次函数图象的顶点坐标；
解：∵二次函数y＝x2＋bx＋2的图象经过点A(－2，2)，
∴(－2)2＋b×(－2)＋2＝2.∴b＝2.
∴二次函数的关系式为y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1.
∴该二次函数图象的顶点坐标为(－1，1).
(2)已知平面内一点P(0，k)，将点P向左平移2个单位长度，平移后的对应点在这个二次函数图象上，试求k的值.
解：将P(0，k)向左平移2个单位长度后的坐标为(－2，k).
把(－2，k)代入y＝x2＋2x＋2，得
k＝(－2)2＋2×(－2)＋2＝2.
10.将二次函数y＝x2－4x＋3的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，关系式为( )
A.y＝(x－6)2－2 B.y＝(x－2)2＋1
C.y＝(x＋2)2－1 D.y＝(x－4)2
D
11.(2025凉山州)二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，其对称轴为x＝2，且图象经过点(6，0)，则下列结论错误的是( )
A.bc＞0
B.4a＋b＝0
C.若a＋bx1＝a＋bx2且x1≠x2，则x1＋x2＝4
D.若(－1，y1)，(3，y2)两点都在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上，
则y2＜y1
D
12.已知二次函数的关系式为y＝x2－2x＋c.
(1)若点(h，c)在该二次函数的图象上，求h的值；
解：∵点(h，c)在该二次函数的图象上，
∴h2－2h＋c＝c.
∴h2－2h＝0.
解得h＝0或h＝2.
(2)当－1≤x≤2时，函数有最大值m和最小值n，求证：mn≥－4.
证明：∵y＝x2－2x＋c＝(x－1)2＋c－1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1.
∴在－1≤x≤2范围内，当x＝－1时，y取最大值为m＝3＋c，
当x＝1时，y取最小值为n＝c－1.
∴mn＝(c＋3)(c－1)＝c2＋2c－3＝(c＋1)2－4.
∵(c＋1)2≥0，
∴mn≥－4.
13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴相交于点C（0，－3)，且抛物线的顶点坐标为(1，－4).
(1)求抛物线的表达式.
解：∵抛物线与y轴相交于点C(0，－3)，且抛物线的顶点坐标为(1，－4)，
∴设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2－4.
把C(0，－3)代入，得a(0－1)2－4＝－3.
解得a＝1.
∴y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.
(2)P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(0，－1)，连接BC，DP相交于点E，连接PB.若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标.
解：当y＝x2－2x－3＝0时，
解得x1＝3，x2＝－1.
∴B(3，0).
∵C(0，－3)，
∴设直线BC的表达式为y＝kx－3.
把B(3，0)代入，得k＝1.
∴y＝x－3.
如图，过点P作PF⊥x轴，垂足为F.
设P(m，m2－2m－3)，则OF＝m，PF＝－m2＋2m＋3.
∴BF＝3－m.
∵△CDE与△PBE的面积相等，
∴S△CDE＋S四边形ODEB＝S△PBE＋S四边形ODEB，即S△BOC＝S四边形ODPB＝S△PFB＋S梯形ODPF.
∵D(0，－1)，
∴OD＝1.
∴×3×3＝×(－m2＋2m＋3) (3－m)＋×(－m2＋2m＋3＋1)m.
解得m＝或m＝0(舍去).
∴P.(共19张PPT)
第三章 函数
第15课时 反比例函数的图象与性质(含实际应用)
1.(2025重庆)反比例函数y＝－的图象一定经过的点是( )
A.(2，6) B.(－4，－3)
C.(－3，－4) D.(6，－2)
D
2.(2025浙江)已知反比例函数y＝－.下列选项正确的是( )
A.函数图象在第一、三象限 B.y随x的增大而减小
C.函数图象在第二、四象限 D.y随x的增大而增大
C
3.(2025河北)在反比例函数y＝中，若2＜y＜4，则( )
A.＜x＜1 B.1＜x＜2
C.2＜x＜4 D.4＜x＜8
B
4.(2025宁德模拟)最近，我国发布多款最新机器狗，使机器狗的性能又上一个新的台阶.已知某款机器狗最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数，其图象如图所示，当其载重后总质量m为80 kg时，其最快移动速度v等于( )
A.2.5 m/s B.5 m/s
C.10 m/s D.40 m/s
A
5.(2025厦门二检)点A(2，－3)在双曲线y＝上，点B也在该双曲线上(不与点A重合)，写出一个符合条件的点B的坐标：___________________________________________________.
(－2，3)(答案不唯一，横、纵坐标乘积为－6即可)
6.(2025泉州二检)如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，OA＝OB＝2，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过线段AB的中点P，则k＝_______.
1
7.(2025甘肃)已知点A(2，y1)，B(6，y2)在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，如果y1＞y2，那么k＝___________________(请写出一个符合条件的k值).
1(答案不唯一)
8.在平面直角坐标系中，若函数y＝(k≠0)的图象经过点(3，y1)和(－3，y2)，则y1＋y2的值是_______.
0
9.已知反比例函数y＝的图象经过第一、三象限.
(1)求k的取值范围；
解：∵反比例函数y＝的图象经过第一、三象限，
∴2k－5＞0.
解得k＞.
(2)若a＞0，此函数的图象经过(a＋6，y1)，(2a＋3，y2)两点，且y1＜y2，求a的取值范围.
解：∵a＞0，
∴a＋6＞0，2a＋3＞0.
∵反比例函数的图象经过(a＋6，y1)，(2a＋3，y2)两点，且y1＜y2，
∴a＋6＞2a＋3.
解得a＜3.
∴a的取值范围是0＜a＜3.
10.(2025天津)若点A(－3，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)都在反比例函数y＝－的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A.y1＜y2＜y3 B.y3＜y2＜y1
C.y1＜y3＜y2 D.y2＜y3＜y1
D
11.在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角尺ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC，BC分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上(如图所示)，然后将三角尺向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数y＝的图象上，则a的值为__________.
2或3
12.(2025厦门一中模拟)如图，某品牌的电水壶启动后需要6 min将 30 ℃的水加热到 100 ℃，然后水温逐渐降回30 ℃，降温过程中的水温 y(℃)与水壶启动后用时x(min)成反比例关系.据研究，当水温降至40 ℃时，比较适宜饮用.
(1)求降温过程中的水温y(℃)与水壶启动后用时x(min)的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
解：设y＝.
由题意，得当x＝6时，y＝100.
∴100＝.
解得k＝600.
∴y＝.
当y＝30时，30＝.
解得x＝20.∴6≤x≤20.
∴降温过程中的水温y(℃)与水壶启动后用时x(min)的函数关系式为y＝(6≤x≤20).
(2)一壶水烧开后，经过多长时间适宜饮用？
解：当y＝40时，40＝.
解得x＝15.
∴15－6＝9(min).
故一壶水烧开后，经过9 min适宜饮用.
13.如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标分别是A(0，6)，B(4，0)，反比例函数y＝(x＞0)的图象上有一点C(m，2).
(1)求m的值；
解：把C(m，2)代入y＝(x＞0)，得2＝.
∴m＝6.
(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点C的三个格点(横、纵坐标都为整数的点)，再画出该函数的图象；
解：格点函数图象如图所示.
(3)将线段AB向右平移n个单位长度后经过点C，则n＝______.
解析：设直线AB的表达式为y＝kx＋b.
将A(0，6)，B(4，0)分别代入y＝kx＋b，得
∴
∴直线AB的表达式为y＝－x＋6.
∴直线AB向右平移n个单位长度后的表达式为y＝－(x－n)＋6.
∵平移后的直线经过点C(6，2)，
∴2＝－(6－n)＋6.
解得n＝.
(共18张PPT)
第三章 函数
第13课时 一次函数的图象与性质
1.(2025上海)下列函数中，为正比例函数的是( )
A.y＝3x＋1 B.y＝3x2
C.y＝ D.y＝
D
2.(2025新疆)在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是( )
C
3.(2025广西)已知一次函数y＝－x＋b的图象经过点P(4，3)，则b＝( )
A.3 B.4
C.6 D.7
D
4.(2025安徽)已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点M(1，2)，且y随x的增大而增大.若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是( )
A.(－2，2) B.(2，1)
C.(－1，3) D.(3，4)
D
5.已知一次函数y＝ax＋b的图象经过点(3，m)，则关于x的一元一次方程ax＋b＝m的解是( )
A.x＝3 B.x＝－3
C.x＝3或x＝－3 D.不能确定
A
6.(2025天津)将直线y＝3x－1向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则m的值可以是___________________(写出一个即可).
2(答案不唯一)
7.如图，直线y＝kx＋6经过点(1，4)，则关于x的不等式kx＋6＜4的解集是__________.
x＞1
8.如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝kx＋b相交于点P(1，m)，则关于x，y的方程组的解为 .
9.已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(－2，－3)与点(0，1).
(1)求这个一次函数的关系式；
解：∵一次函数y＝kx＋b的图象经过点(－2，－3)与点(0，1)，
∴
解得
∴一次函数的关系式为y＝2x＋1.
(2)当1≤x＜5时，求函数值y的取值范围.
解：由(1)可知，一次函数的关系式为y＝2x＋1.
∵2＞0，
∴y随x的增大而增大.
在y＝2x＋1中，当x＝1时，y＝3；当x＝5时，y＝11.
∵1≤x＜5，
∴3≤y＜11.
10.(2025广州)如图，在平面直角坐标系中，点A(－3，1)，点B(－1，1)，若将直线y＝x向上平移d个单位长度后与线段AB有交点，则d的取值范围是( )
A.－3≤d≤－1
B.1≤d≤3
C.－4≤d≤－2
D.2≤d≤4
D
11.(2025福州模拟)已知一次函数y＝(k－1)x＋2.若当－1≤x≤2时，函数有最小值－2，则k的值为____________.
5或－1
12.如图，在平面直角坐标系中，点A(2，m)在直线y＝2x－上，过点A的另一条直线交y轴于点B(0，3).
(1)求m的值和直线AB的表达式；
解：把A(2，m)代入y＝2x－，得m＝.
设直线AB的表达式为y＝kx＋b.
把A，B(0，3)代入，得
解得
∴直线AB的表达式为y＝－x＋3.
(2)若点P(t，y1)在线段AB上，点Q(t－1，y2)在直线y＝2x－上，求y1－y2的最大值.
解：∵点P(t，y1)在线段AB上，
∴y1＝－t＋3(0≤t≤2).
∵点Q(t－1，y2)在直线y＝2x－上，
∴y2＝2(t－1)－＝2t－.
∴y1－y2＝－t＋3－＝－t＋.
∵－＜0，
∴y1－y2随t的增大而减小.
∴当t＝0时，y1－y2的值最大，最大值为.
13. 已知y是自变量x的函数，点P(x，y)在函数图象上，若点P到两坐标轴距离的和等于m(m为常数，m＞0)，即｜x｜＋｜y｜＝m，则称点P为函数图象上的“m阶定距点”.例如，点(－3，－1)是一次函数y＝x＋2图象上的“4阶定距点”.
(1)下列各点中是一次函数y＝3x－2图象上的“2阶定距点”的是________.(填序号)
①(1，1) ② ③(0，－1) ④(－1，1)
①
(2)若点(－2，b)是一次函数y＝－x＋n图象上的“3阶定距点”，求n的值.
解：∵点(－2，b)是一次函数y＝－x＋n图象上的“3阶定距点”，
∴2＋｜b｜＝3.
∴b＝±1.
当b＝1时，(－2，1)在一次函数y＝－x＋n上，
∴1＝×(－2)＋n.
解得n＝0.
当b＝－1时，(－2，－1)在一次函数y＝－x＋n上，
∴－1＝×(－2)＋n.
解得n＝－2.
∴n的值为0或－2.(共19张PPT)
第三章 函数
第17课时 二次函数的图象与性质(1)
1.(2025莆田模拟)二次函数y＝2x2－1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )
A.2，0，－1 B.2，2，－1
C.2，2，1 D.2，0，1
A
2.关于二次函数y＝(x－1)2＋5，下列说法正确的是( )
A.函数图象的开口向下
B.二次函数的最小值为1
C.该函数图象的顶点坐标为(1，5)
D.当x≥1时，y随x的增大而减小
C
3.关于二次函数y＝x2－3x－5的图象与x轴交点个数的情况，下列说法正确的是( )
A.有两个交点 B.有一个交点
C.没有交点 D.无法判断
A
4.如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为直线x＝1，与x轴交于A，B两点，点B(－1，0)，则当y＞0时，x的取值范围为( )
A.x＜－1
B.－1＜x＜3
C.x＞3
D.x＜－1或x＞3
B
5.二次函数y1＝ax2＋bx＋c和一次函数y2＝mx＋n的图象如图所示，观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是( )
A.－2＜x＜1 B.x＜－2或x＞1
C.x＞－2 D.x＜1
B
6.(2025威海)已知点(－2，y1)，(3，y2)，(7，y3)都在二次函数y＝－(x－2)2＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A.y1＞y2＞y3 B.y1＞y3＞y2
C.y2＞y1＞y3 D.y3＞y2＞y1
C
7.请将二次函数y＝－2x2－4x＋5改写y＝a(x－h)2＋k的形式：______________________.
y＝－2(x＋1)2＋7
8.(2025三明一检)已知函数y＝x2＋bx＋2，当x＞1时，y随x的增大而增大，则b的值可以是_________________________________(写出一个符合要求的值即可).
－2(答案不唯一，b≥－2即可)
9.二次函数y＝ax2＋bx＋c中的x，y的部分取值如下表：
(1)观察表中信息，发现：c＝_________，
抛物线的对称轴是______________；
x … －1 0 1 2 3 …
y … m －3 －4 －3 0 …
－3
直线x＝1
(2)该函数图象与x轴的交点的坐标是______________________；
(3)在平面直角坐标系中画出该函数的大致图象；
(4)当0＜x＜3时，y的取值范围是_______________.
(3，0)和(－1，0)
－4≤y＜0
10.(2025厦门模拟)抛物线y＝ax2＋bx－2经过点M(m－1，n)，N(－m－3，n)，P(1，p).下列说法正确的是( )
A.顶点可能在第一象限 B.若p＞0，则顶点在第三象限
C.顶点不可能在第二象限 D.若p＜0，则顶点在第四象限
B
11.(2025陕西)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2－2ax＋a－3(a≠0)的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是( )
A.图象的开口向下
B.当x＞0时，y的值随x值的增大而增大
C.函数的最小值小于－3
D.当x＝2时，y＜0
D
12.已知二次函数y＝－ax2－bx＋3a(a，b为常数，a≠0).
(1)求证：该函数的图象与x轴一定有两个不同的交点；
证明：∵a≠0，Δ＝(－b)2－4×(－a)×3a＝b2＋12a2＞0，
∴该函数图象与x轴一定有两个不同的交点.
(2)若b＝4a，a＞0，该函数图象经过A(2m－9，y1)，B(m＋2，y2)两点，A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，求m的取值范围.
解：∵b＝4a，a＞0，
∴－a＜0.
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－＝－＝－2.
∵A(2m－9，y1)，B(m＋2，y2)分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，
∴分两种情况讨论.
①当点A在点B的左侧时，
2m－9＜－2＜m＋2.
解得－4＜m＜3.5.
∵y1＜y2，
∴－2－(2m－9)＞m＋2－(－2)＞0，
即－2m＋7＞m＋4＞0.
解得－4＜m＜1.
②当点A在点B的右侧时，
m＋2＜－2＜2m－9.
解得m＜－4且m＞3.5，无解.
∴点A在点B的右侧不成立.
综上，m的取值范围为－4＜m＜1.
13.(2025福州模拟改编)已知二次函数y＝－kx2＋(k－3)x＋3.
(1)求证：该二次函数图象必过定点M(1，0)；
证明：∵y＝－kx2＋(k－3)x＋3，
∴当x＝1时，y＝－k＋(k－3)＋3＝－k＋k－3＋3＝0.
∴该二次函数图象必过定点M(1，0).
(2)若该二次函数图象与x轴有两个交点，其横坐标分别为x1，x2，求证：(2－x1－x2)2＞0.
证明：令y＝－kx2＋(k－3)x＋3＝0.
∵二次函数图象与x轴有两个交点，
∴Δ＝(k－3)2＋12k＝(k＋3)2＞0，x1＋x2＝.
∴2－x1－x2＝2－(x1＋x2)＝2－＝.
∴(2－x1－x2)2＝2.
∵二次函数y＝－kx2＋(k－3)x＋3，
∴k≠0.
∴k2＞0.
∵(k＋3)2＞0，
∴(2－x1－x2)2＝2＝＞0.(共20张PPT)
第三章 函数
第12课时 变量与函数
1.下列图象中，不能表示y是x的函数的是( )
D
2.(2025云南)函数y＝的自变量x的取值范围为( )
A.x≠4 B.x≠3
C.x≠2 D.x≠1
D
3.(2025贵州)如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度( )
A.越来越慢
B.越来越快
C.保持不变
D.快慢交替变化
B
4.如图，一个30 min沙漏计时器，相关实验结果表明，沙漏中的沙下落的速度可以近似看成匀速，从计时器开始计时到计时30 min为止，上面玻璃容器内的含沙量Q(单位：cm3)与时间t(单位：min)之间的函数关系图象大致为( )
A
5. (2025广西)生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量y随时间t的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线.下列说法正确的是( )
A.第5天的种群数量为300个
B.前3天种群数量持续增长
C.第3天的种群数量达到最大
D.每天增加的种群数量相同
B
6.(2025内江改编)在函数y＝中，自变量x的取值范围是__________.
x≥2
7.一个正方形的边长为5 cm，每边减少x cm，得到新正方形的周长为y cm，y与x之间的关系式是_______________(不考虑自变量的取值范围).
y＝20－4x
8.大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种.据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表：
若这种蟋蟀每分钟鸣叫112次，则该地当时的气温约为__________.
气温/℃ … 11 13 15 …
蟋蟀每分钟鸣叫的次数 … 56 70 84 …
19℃
9.(2025江西)在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者.甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是( )
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
A
10.(2025河南)汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v(km/h)之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的是( )
A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B.当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车
速的增大而减小
C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60 km/h
D.若车速从25 km/h增大到60 km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
C
11.甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A地，乙车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地.设甲、乙两车距A地的路程为y(km)，乙车行驶的时间为x(h)，y与x之间的图象如图所示.
(1)求乙车到达B地的时间；
解：由图象，得乙车从A地到B地的速度为180÷1.5＝120(km/h).
∴120m＝300.
解得m＝2.5，
即乙车到达B地的时间为2.5 h.
(2)求乙车到达B地时甲车距A地的路程.
解：由图象，得甲车的速度为(300－180)÷1.5＝120÷1.5＝80(km/h).
则乙车到达B地时甲车距A地的路程是300－2.5×80＝300－200＝100(km).
12.如图1，在长方形ABCD中，AB＝4，点P沿着B→C→D→A运动，开始以每秒m个单位长度匀速运动，a s后变为每秒2个单位长度匀速运动，b s后恢复原速匀速运动，在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的关系如图2所示.
(1)求长方形的长；
解：∵在5≤t≤7时，△ABP的面积不变，
∴此时点P在CD上运动，速度为每秒2个单位长度.
∵在5≤t≤7时，△ABP的面积为12，
∴×4×BC＝12.
∴BC＝6.
∴长方形的长为6.
(2)直接写出m＝_______，a＝_______，b＝_______；
1
4
9
(3)当点P运动到BC的中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着C→D→A运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x s，△BPQ的面积为y，求当0≤x≤4时，y与x之间的关系式.
解：由(1)，得BC＝6，CD＝2×2＝4.
∵0≤x≤4，
∴点Q在DC上.
点P分三种情形：
①当0≤x≤1时，如图，点P1在BC上， BP1＝3＋x，CQ＝x.
∴y＝BP1 CQ＝×(3＋x) x
＝x2＋x.
②当1＜x≤2时，如图，点P2在BC上，BP2＝4＋2(x－1)＝2x＋2，CQ＝x.
∴y＝BP2 CQ＝×(2x＋2) x＝x2＋x.
③当2＜x≤4时，如图，点P3在CD上，CP3＝2(x－2)，CQ＝x.
∴P3Q＝x－2(x－2)＝4－x.
∴y＝P3Q BC＝×(4－x)×6＝12－3x.
∴y＝(共8张PPT)
第三章 函数
综合与实践 不动点函数
(2025江西)问题背景：对于一个函数，如果存在自变量x0＝m时，其对应的函数值y0＝m，那么我们称该函数为“不动点函数”，点(m，m)为该函数图象上的一个不动点.例如：在函数y＝x2中，当x＝1时，y＝1，则我们称函数y＝x2为“不动点函数”，点(1，1)为该函数图象上的一个不动点.某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究.
探究1：
(1)对一次函数y＝kx＋b(k≠0)进行探究后，得出下列结论：
①y＝x＋2是“不动点函数”，且只有一个不动点；
②y＝－3x＋2是“不动点函数”，且不动点是；
③y＝x是“不动点函数”，且有无数个不动点.
以上结论中，你认为正确的是________(填写正确结论的序号).
解析：①对于y＝x＋2，
∵m≠m＋2，
③
∴y＝x＋2不是“不动点函数”，原说法错误.
②对于y＝－3x＋2，代入点(m，m)，得
m＝－3m＋2.
解得m＝.
∴y＝－3x＋2是“不动点函数”，且不动点是，原说法错误.
③y＝x是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确.
(2)若一次函数y＝kx＋b(k≠0)是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件.
解：当k≠1且k≠0时，b为任意实数；当k＝1时，b＝0.
解析：∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)是“不动点函数”，
∴代入点(m，m)，得m＝mk＋b.
整理，得(1－k)m＝b.
当1－k≠0，即k≠1且k≠0时，b为任意实数；
当1－k＝0，即k＝1时，b＝0.
综上，k，b应满足的条件为当k≠1且k≠0时，b为任意实数；当k＝1时，b＝0.
探究2：
(3)对二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答.若抛物线y＝x2－2bx＋c的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式.
解：由抛物线y＝x2－2bx＋c＝(x－b)2＋c－b2，得顶点坐标为(b，c－b2).
∵抛物线y＝x2－2bx＋c的顶点为该函数图象上的一个不动点，
∴b＝c－b2.
探究3：
(4)某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(12－x)件，获得利润y元.请写出y关于x的函数关系式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义.
解：根据题意，得y＝(x－6)(12－x)＝－x2＋18x－72.
∴y关于x的函数关系式为y＝－x2＋18x－72.
该函数是“不动点函数”.理由如下：
令x＝－x2＋18x－72.
整理，得x2－17x＋72＝0.
解得x1＝8，x2＝9.
∴当x1＝8时，y1＝8；当x2＝9时，y2＝9.
∴该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等.(共7张PPT)
第三章 函数
基础巩固 求二次函数的关系式
1.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过点A(－2，0)，B(1，0)，求该抛物线的表达式.
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋2过点A(－2，0)，B(1，0)，
∴
解得
∴抛物线的表达式为y＝－x2－x＋2.
2.已知抛物线经过点O(0，0)，A(5，5)，且它的对称轴为直线x＝2.求此抛物线的表达式.
解：∵抛物线经过点O(0，0)，
∴设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx.
∵抛物线过A(5，5)，且它的对称轴为直线x＝2，
∴
解得
∴此抛物线的表达式为y＝x2－4x.
3.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于O(O为坐标原点)，A两点，且二次函数的最小值为－2，点M(1，m)是其对称轴上一点.求二次函数的关系式.
解：∵二次函数的最小值为－2，点M(1，m)是其对称轴上一点，
∴二次函数的顶点坐标为(1，－2).
设二次函数的关系式为y＝a(x－1)2－2.
将点O(0，0)代入，得a－2＝0.
解得a＝2.
∴二次函数的关系式为y＝2(x－1)2－2＝2x2－4x.
4.已知抛物线y＝ax2－4ax－3与x轴交于A，B两点，且AB＝2.求抛物线的表达式.
解：设抛物线y＝ax2－4ax－3与x轴交于
A(x1，0)，B(x2，0)两点(x1＜x2).
∴x2＋x1＝－＝4，x2 x1＝－.
∵AB＝2，
∴x2－x1＝2.
∴(x2＋x1)2－4x2 x1＝(x2－x1)2＝4.
∴16＋＝4.
解得a＝－1.
∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x－3.
5.如图，抛物线y＝ax2－4ax＋3a交x轴于A，B两点(点A在点B的左侧)，交y轴正半轴于点C，OB＝OC，求抛物线的表达式.
解：抛物线y＝ax2－4ax＋3a＝a(x－3) (x－1)，
当y＝0时，a(x－3)(x－1)＝0.
∵a≠0，
∴x1＝1，x2＝3.
∴A(1，0)，B(3，0).
当x＝0时，y＝3a，即OC＝3a.
∵OB＝OC，
∴3a＝3.
解得a＝1.
∴抛物线的表达式为y＝x2－4x＋3.
