(共17张PPT)
第六章 圆
第32课时 圆的有关概念及性质
1.如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是( )
A.＝＝
C.AC＝BD D.AD＝BD
D
2.(2025宜宾)如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D.若AB＝8，OC＝5，则OD的长是( )
A.3 B.2
C.6 D.
A
3.(2025重庆)如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是( )
A.40° B.50°
C.80° D.100°
B
4.(2025青海)如图，AB是⊙O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是( )
A.80° B.50°
C.40° D.25°
B
5.(2024北京)如图，⊙O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D＝35°，则∠C＝________°.
55
6.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形.若四边形ABCO为菱形，则∠ABC＝_________°.
120
7.(2025广西)如图，已知AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠ABC＝65°，＝.
(1)求证：△BOC≌△DOC；
证明：∵＝，
∴∠BOC＝∠DOC.
∵OC＝OC，OB＝OD，
∴△BOC≌△DOC(SAS).
(2)求∠ABD的度数.
解：∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB＝65°.
∴∠BOC＝180°－∠ABC－∠OCB＝50°.
∴∠DOC＝∠BOC＝50°.
∴∠AOD＝180°－∠DOC－∠BOC＝80°.
∴∠ABD＝∠AOD＝40°.
8.(2025山西)如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD.若＝，则∠D的度数为( )
A.30° B.45°
C.60° D.75°
B
9.(2025广安)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，⊙O的半径为6，则BD的长为______.
6
10.(2025安徽)如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB＋2∠ABC＝180°.
(1)求证：OC∥AD；
证明：∵∠AOC＝2∠ABC，∠DAB＋2∠ABC＝180°，
∴∠DAB＋∠AOC＝180°.
∴OC∥AD.
(2)若AD＝2，BC＝2，求AB的长.
解：如图，连接BD，交OC于点E.
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD.
∵OC∥AD，
∴OC⊥BD.
∴点E为BD的中点.
又O是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线.
∴OE＝AD＝1.
设半圆的半径为r，则CE＝r－1.
由勾股定理知，OB2－OE2＝BE2＝BC2－CE2，
即r2－1＝(2)2－(r－1)2.
解得r1＝3，r2＝－2(舍去).
∴AB＝2r＝6.
11.(2025福州模拟改编)如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在⊙O上，连接AD，AO，分别交BC于点E，F，连接CD，∠CAD＝∠BAO.
(1)求证：AD⊥BC.
证明：如图，延长AO交⊙O于点M，连接CM.
∵AM为⊙O的直径，
∴∠ACM＝90°.
∴∠BCM＋∠ACE＝90°.
∵∠BCM＝∠BAO，
∴∠BAO＋∠ACE＝90°.
∵∠CAD＝∠BAO，
∴∠CAD＋∠ACE＝90°，
即∠AEC＝90°.
∴AD⊥BC.
(2)若AO∥CD，求证：CA＝CF.
证明：∵AO∥CD，
∴∠FAE＝∠D.
∵∠D＝∠B，
∴∠FAE＝∠B.
∵∠CAF＝∠CAE＋∠FAE，
∠AFC＝∠FAB＋∠B，
又∠CAD＝∠BAO，即∠CAE＝∠FAB，
∴∠CAF＝∠AFC.
∴CA＝CF.(共15张PPT)
第六章 圆
第34课时 与圆有关的计算
1.如图，正八边形内接于⊙O，连接OA，OB，则∠AOB的度数为( )
A.55° B.50°
C.45° D.40°
C
2.圆心角为120°，半径为3的扇形的面积为( )
A.π B.3π
C.6π D.9π
B
3.(2025绥化)在⊙O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm，那么⊙O的半径是( )
A.6 cm B.8 cm
C.10 cm D.12 cm
A
4.(2025广安)如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为90°的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为( )
A.
C. D.5
A
5.(2025连云港)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°.若⊙O的半径为2，则劣弧的长为________.
π
6.(2025山西改编)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC＝4，则图中阴影部分的面积为____________.
4π－8
7.(2025漳州二检)如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于点E，过点D作⊙O的切线，交BC的延长线于点P，已知BE＝BC，∠DPB＝50°.
(1)求∠ACB的度数；
解：根据题意，得∠BDP＝90°.
∵∠DPB＝50°，
∴∠DBP＝40°.
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝70°，
即∠ACB＝70°.
(2)若BD＝6，求的长.
解：如图，连接AD，AO.
根据题意，得∠BAD＝90°.
∵∠ADB＝∠ACB＝70°，
∴∠ABD＝20°.
∴∠AOD＝2∠ABD＝40°.
∵BD＝6，
∴OD＝3.
∴＝π.
8.如图，在正n边形中，∠1＝20°，则n的值是( )
A.16 B.18
C.20 D.36
B
9.(2025苏州)“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示.该摩天轮高128 m(即最高点离水面平台MN的距离)，圆心O到MN的距离为68 m，摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从点A出发，10 min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径(即)长度为__________m.(结果保留π)
40π
10.(2025厦门二检)《九章算术》“方田章”中记载了关于图形面积的经验公式，其与实际的较小误差令人由衷感叹我国古代劳动人民的智慧.其中的弧田术：“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.”即弓形面积＝(弦长×矢长＋矢长×矢长)÷2.如图，一块弓形田的弦AB长为12 m，矢CD长为2 m，用弧田术计算其面积，与实际的误差为____________.(≈1.7，π取古圆周率3)
1.2 m2
11.(2025河南)我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE，∠ABE＝15°，连接OE交AB于点F.若AB＝4，则图中阴影部分的面积为___________.
－2
12.(2025福州模拟)如图，直线AB经过⊙O上的点C，且OA＝OB，CA＝CB.
(1)求证：直线AB是⊙O的切线；
证明：如图，连接OC.
∵在△OAB中，OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB.
又OC是⊙O的半径，
∴直线AB是⊙O的切线.
(2)若圆的半径为4，∠B＝30°，求阴影部分的面积.(结果保留π)
解：由(1)，得∠OCB＝90°.
∵∠B＝30°，
∴∠COB＝90°－30°＝60°.
∴S扇形COD＝＝.在Rt△OCB中，∠B＝30°，OC＝4，
∴OB＝8.
∴BC＝＝＝4.
∴S△OCB＝BC OC＝×4×4＝8.
∴S阴影＝S△OCB－S扇形COD＝8－.(共7张PPT)
第六章 圆
综合与实践 三角尺与量角器的几何实践探究
实践课上，同学们利用量角器、三角尺ABC进行实践操作，其中∠ACB＝90°，∠A＝30°.根据小明和小华的探究过程解决问题.
小明 小华
探究过程 如图，将三角尺ABC放置在量角器上，点C与圆心O重合.已知这把三角尺的直角边BO和量角器外弧所在圆的半径相等，点D是斜边AB与量角器外弧所在圆的交点，点B的对应刻度为142° 如图，把斜边AB＝6的三角尺ABC叠放在量角器上，且AB∥MN，点A，B恰好落在量角器的外弧所在圆上，点A的对应刻度为30°，AC与外弧交于点E，连接OE
解：如图，连接OD.
在△AOB中，∵∠AOB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°.
问题解决
(1)求点D对应的刻度.
∵OD＝OB，
∴△BOD是等边三角形.
∴∠BOD＝60°.
∵点B的对应刻度为142°，
∴点D的对应刻度是142°－60°＝82°.
(2)将三角尺ABC绕点O顺时针旋转，能否使得AB与量角器外弧所在圆相切？若能，请写出旋转度数；若不能，请写出理由
解：将三角尺ABC绕点O顺时针旋转，不能使得AB与量角器外弧所在圆相切.
理由如下：如图，过点O作OE⊥BD于点E.
∵∠B＝60°，
∴OE＝OB sin 60°＝OB＜OB.
∴点O到AB的距离小于圆的半径OB.
∴将三角尺ABC绕点O顺时针旋转，不能使得AB与量角器外弧所在圆相切.
(3)求的长(结果保留π)
解：如图，连接OA，OB，设AB与OE交于点F.
∵点A的对应刻度为30°，
∴∠AOM＝30°.
∵AB∥MN，
∴∠OAB＝30°.
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°.
∴∠AOB＝120°.
∵∠OAE＝∠OAB＋∠CAB＝60°，OA＝OE，
∴△OAE为等边三角形.
∴∠AOE＝∠OEA＝60°.
∴∠BOE＝60°，∠AFE＝90°.
∴OE⊥AB.
∴AF＝FB＝AB＝3.
∴OA＝＝＝6.
∴OB＝OE＝6.
∴＝2π.(共11张PPT)
第六章 圆
基础巩固 与切线有关的证明与计算
1.(2025广东省卷)如图，点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：如图，连接OD.
∵⊙O与边BC相切于点D，
∴OD⊥BC，即∠ODC＝90°.
∵△ABC为直角三角形，
∴∠ODC＝∠B＝90°.
∴OD∥AB.
∴∠1＝∠3.
∵OD＝OA，
∴∠1＝∠2.
∴∠3＝∠2.
∴AD平分∠BAC.
2.(2025湖北省卷)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°.过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交⊙O于点F.过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G.
(1)求证：FD＝FG；
证明：∵DF⊥AB，GF是⊙O的切线，即DF⊥GF，
∴AB∥GF.
∴∠BAC＝∠G＝45°.
∴∠FDG＝90°－45°＝45°.
∴∠G＝∠FDG.
∴FD＝FG.
(2)若AB＝12，FG＝10，求⊙O的半径.
解：∵DF⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝6.
∵∠BAC＝45°，∠FDG＝45°，
∴AE＝DE＝6.
由(1)，得FD＝FG＝10，
∴EF＝FD－DE＝10－6＝4.
如图，连接OA.
设OE＝x，则OF＝OE＋EF＝x＋4＝OA，
∵在Rt△AOE中，OA2＝AE2＋OE2，
∴(x＋4)2＝62＋x2.
解得x＝.
∴OA＝x＋4＝＋4＝.
∴⊙O的半径为.
3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的延长线于点M，交BC的延长线于点N，且∠ADM＝∠DAC.求证：MN是⊙O的切线.
证明：如图，连接OD，OC.
∵AD＝CD，
∴∠AOD＝∠DOC.
∵四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴OC＝OA＝OB＝OD.
∴△AOC是等腰三角形.
又∠AOD＝∠DOC，
∴OD垂直平分AC.
∵∠ADM＝∠DAC，
∴AC∥MN.
∴OD⊥MN.
∵OD是⊙O的半径，
∴MN是⊙O的切线.
4.如图，△ABC内接于⊙O，E为⊙O上一点，连接EB，EA，其中EA经过圆心O，EA的延长线交射线CD于点D，且∠ACD＝∠ABC.
(1)求证：CD是⊙O的切线；
证明：如图，过点C作⊙O的直径CM，连接AM.
∴∠MAC＝90°.
∴∠M＋∠ACM＝90°.
∵∠ACD＝∠ABC，∠ABC＝∠M，
∴∠ACD＝∠M.
∴∠ACD＋∠ACM＝90°.
∴CM⊥CD.
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线.
(2)若AC＝5，∠ACD＝30°，求的长.
解：由(1)，知∠M＝∠ACD＝30°.
∴∠AOC＝2∠M＝60°.
∴∠COE＝180°－60°＝120°.
∵OA＝OC，
∴△OAC是等边三角形.
∴OC＝AC＝5.
∴＝.(共16张PPT)
第六章 圆
第33课时 与圆有关的位置关系
1.已知⊙O的半径为4，在⊙O内取一点P，连接OP，则OP的长可以是
( )
A.2 B.4
C.6 D.8
A
2.若半径为5 cm的圆，其圆心到某直线的距离是4 cm，则该直线和圆的位置关系为( )
A.相离 B.相交
C.相切 D.无法确定
B
3.(2025南平一检)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上且关于直径AB对称，MN是⊙O的切线，切点为B，若∠CBO＝50°，则∠DBN的大小为( )
A.50° B.40°
C.35° D.25°
B
4.如图，AB为⊙O的切线，切点为B，AC⊥AB交⊙O于点C，连接OC，OB，BC.若BC＝OC＝6，则AC的长为( )
A.2 B.3
C.2 D.3
B
5.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则△ABC的内切圆的半径r是( )
A.2 B.
C.1 D.无法判断
C
6.(2025龙东地区)如图，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，AC是直径，∠BAC＝35°，∠P＝__________.
70°
7.(2025湖南省卷)如图，△ABC的顶点A，C在⊙O上，圆心O在边AB上，∠ACB＝120°，BC与⊙O相切于点C，连接OC.
(1)求∠ACO的度数；
解：∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CB，∠OCB＝90°.
∴∠ACO＝∠ACB－∠OCB＝120°－90°＝30°.
(2)求证：AC＝BC.
证明：∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝30°.
∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－30°－120°＝30°.
∴∠A＝∠B.
∴AC＝BC.
8.(2025自贡)PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，不与点A，B重合.若∠P＝80°，则∠ACB的度数为( )
A.50° B.100°
C.130° D.50°或130°
D
9.(2025福州二检)如图，∠AOB＝90°，P为OA上一点，且OP＝2，以点P为圆心作半径为1的⊙P，将⊙P绕点O顺时针旋转60°，则旋转后的⊙P与射线OB的位置关系是__________.(填“相交”“相切”或“相离”)
相切
10. (2025北京)如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB＝∠FOB＝23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与⊙O的切线FI所成的锐角)的大小为________°.
43
11.(2025资阳)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作BC的平行线交AC的延长线于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
证明：如图，连接OD.
由题，知∠ACB＝90°，OA＝OD.
∴∠OAD＝∠ODA.
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°.
∵∠BAC的平分线交⊙O于点D，
∴∠EAD＝∠BAD.
∴∠EAD＝∠ODA.
∴OD∥AE.
∴∠ODE＝180°－∠AED＝90°.
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线.
(2)若∠BAC＝60°，CE＝，求⊙O的半径.
解：如图，设OD交BC于点F.
∵∠BAC＝60°，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝30°.
∵CE∥DF，DE∥CF，∠E＝90°，
∴四边形CEDF为矩形.
∴∠DFC＝90°，DF＝CE＝.
∴∠OFB＝90°.
设⊙O的半径为r，则OB＝OD＝r，
OF＝OD－DF＝r－.
∵∠OFB＝90°，∠ABC＝30°，
∴OB＝2OF.
∴r＝2(r－).
∴r＝2.
∴⊙O的半径为2.
