(共10张PPT)
第五章 四边形
综合与实践 矩形纸片的剪拼与几何变换探究
【问题情境】
在综合与实践课上，王老师为了让同学们积累数学基本活动经验，以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学变式训练活动.
如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD，且量得AB＝4，AC＝8.
【操作发现】
(1)将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转α，使α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D′，过点C作AC′的平行线，与D′C′的延长线交于点E，则四边形ACEC′的形状是__________.
菱形
解析：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠ACD＝∠BAC.
由旋转，得AC′＝AC，∠AC′D′＝∠ACD.
∴∠BAC＝∠AC′D′.
∵∠CAC′＝∠α＝∠BAC，
∴∠CAC′＝∠AC′D′.
∴AC∥C′E.
又AC′∥CE，
∴四边形ACEC′是平行四边形.
∵AC＝AC′，
∴四边形ACEC′是菱形.
(2)王老师将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D′.连接CC′，取CC′的中点F，连接AF并延长至点G，使FG＝AF，连接CG，C′G，得到四边形ACGC′.请同学们判断四边形ACGC′的形状，并证明自己的结论.
解：四边形ACGC′是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B＝90°.
∴∠DAC＝∠ACB，∠BAC＋∠ACB＝90°.
由旋转，得∠D′AC′＝∠DAC，
∴∠ACB＝∠D′AC′.
∴∠BAC＋∠D′AC′＝90°.
∵B，A，D三点在同一条直线上，
∴∠CAC′＝90°.
由旋转，得AC＝AC′.
∵点F是CC′的中点，
∴AG⊥CC′，CF＝C′F.
∵AF＝FG，
∴四边形ACGC′是平行四边形.
∵AG⊥CC′，
∴四边形ACGC′是菱形.
∵∠CAC′＝90°，
∴四边形ACGC′是正方形.
【实践探究】
(3)王老师在(2)的基础上再次进行操作：如图4所示，将△ABC沿着BD′方向平移，使点B与点A重合，此时点A平移至点A′处，A′C与BC′相交于点H，连接CC′，请同学们计算CH－C′H的值.
解：在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝8，
∴AC′＝AC＝8.
∴AD′＝BC＝＝4，
sin∠ACB＝＝.
∴∠ACB＝30°.
根据平移，得∠CHC′＝90°.
在Rt△BCH中，∠HCB＝30°，
∴BH＝BC sin 30°＝4×＝2.
∴C′H＝BC′－BH＝8－2.
在Rt△A′BH中，A′H＝A′B＝2，
∴CH＝A′C－A′H＝8－2＝6.
∴CH－C′H＝6－(8－2)＝2－2.(共18张PPT)
第五章 四边形
第31课时 正方形
1.(2025厦门二检)下列多边形中，知道一条边的长度就能确定其形状和大小的是( )
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.等腰三角形
C
2.如图，在数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作了一个能够活动的菱形学具.老师问小明：要让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是( )
A.∠B＝90° B.AB＝BC
C.AB∥CD D.∠B＝∠D
A
3.如图，在正方形ABCD的对角线AC上取点E，使得AE＝AB，连接BE，则∠CBE的度数为( )
A.22.5°
B.25°
C.20°
D.30°
A
4.如图，在正方形ABCD中，AB＝10，E为AB的中点，连接DE，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF，则BF的长为( )
A.12 B.13
C.14 D.15
D
5.若正方形ABCD的面积为4，则它的对角线AC的长为______.
2
6.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，若EF＝5，则AC的长是________.
10
7.如图，正方形ABCD的周长为16 cm，顺次连接正方形各边中点E，F，G，H，得到四边形EFGH，其面积为_______cm2.
8
8.如图，四边形ABCD是正方形，△BCE是等边三角形，连接AE，DE.求证：AE＝DE.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°.
∵△BCE是等边三角形，
∴BE＝CE，∠EBC＝∠ECB＝60°.
∴∠ABC－∠EBC＝∠DCB－∠ECB.
∴∠ABE＝∠DCE.
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE(SAS).
∴AE＝DE.
9.(2025德阳)如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，如果BD＝AC，四边形EFGH的面积为24，且HF＝6，那么GH＝( )
A.4
B.5
C.8
D.10
B
10.如图，O为正方形ABCD对角线AC的中点，△ACE为等边三角形.若AB＝2，则OE的长为_______.
11.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点，AE＝ED，DF＝DC，连接EF并延长，交BC的延长线于点G.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD.
∵AE＝ED，DF＝DC，
∴＝＝.
∴△ABE∽△DEF.
(2)若正方形的边长为4，求BG的长.
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC.
∴△DEF∽△CGF.
∴＝.
∵正方形的边长为4，
DF＝DC，
AE＝ED，
∴DF＝1，CF＝4－1＝3，AE＝ED＝2.
∴＝.
∴CG＝6.
∴BG＝BC＋CG＝4＋6＝10.
12.如图，在正方形ABCD中， AB＝3，E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG.
(1)求证：矩形DEFG是正方形；
证明：如图，作EM⊥AD于点M，EN⊥AB于点N.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB.
∵EM⊥AD，EN⊥AB，
∴EM＝EN.
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°.
∴∠DEM＝∠FEN.
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF(ASA).
∴ED＝EF.
∴矩形DEFG是正方形.
(2)求AG＋AE的值.
解：∵四边形DEFG，
ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DA＝DC，∠GDE＝∠ADC＝90°.
∴∠ADG＝∠CDE.
∴△ADG≌△CDE(SAS).
∴AG＝CE.
∴AG＋AE＝CE＋AE＝AC＝AB＝6.(共17张PPT)
第五章 四边形
第30课时 矩形与菱形
1.(2025泸州)矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A.对角线相等 B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直 D.对角相等
A
2.如图，在菱形ABCD中，∠D＝132°，则∠1的度数为( )
A.132° B.66°
C.48° D.24°
D
3.如图，李师傅在做门窗时，不仅要测量门窗两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形.其中的道理是( )
A.有三个角是直角的四边形是矩形
B.对角线相等的平行四边形是矩形
C.有一个角是直角的平行四边形是矩形
D.对角线相等的四边形是矩形
B
4.(2025湖南省卷)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD互相垂直平分，AB＝3，则四边形ABCD的周长为( )
A.6 B.9
C.12 D.18
C
5.(2025南充)如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是( )
A.12 B.8
C.16 D.12
B
6.(2025青海省卷)如图，在菱形ABCD中，BD＝6，E，F分别为AB，BC的中点，且EF＝2，则菱形ABCD的面积为________.
12
7.(2025北京改编)如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，DF⊥BC，垂足为F，点G在DE的延长线上，DG＝FC.
(1)求证：四边形DFCG是矩形；
解：证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE∥BC，即DG∥CF.
∵DG＝FC，
∴四边形DFCG是平行四边形.
又DF⊥BC，
∴四边形DFCG是矩形.
(2)若∠B＝45°，DF＝3，DG＝5，求BC的长.
解：∵DG＝5，
∴CF＝DG＝5.
∵DF⊥BC，
∴∠DFB＝90°.
在Rt△BDF中，∠B＝45°，DF＝3，
∴BF＝DF＝3.
∴BC＝BF＋CF＝8.
8.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3.连接AC，过点C作CE⊥AC，连接DE，若DE⊥CE，则DE的长为( )
A. B.3
C. D.2
A
9.(2025凉山州)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，若AC＝12，BD＝16，则FG的长为_______.
5
10.(2025莆田二检)如图，将△ABC沿AC翻折得到△ADC，AD∥BC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
证明：由翻折，得AB＝AD，BC＝CD，∠BAC＝∠DAC.
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB.
∴∠BAC＝∠ACB.
∴AB＝BC.
∴AB＝BC＝AD＝CD.
∴四边形ABCD是菱形.
(2)过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，连接BD.若DE＝4，AB＝5，求BD的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝5，
∴DC＝BC＝AB＝5.
∵DE⊥BC，DE＝4，
∴在Rt△CDE中，
CE＝＝3.
∴BE＝BC＋CE＝8.
∴在Rt△BDE中，BD＝＝4.
11.(2025扬州)如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.
(1)求证：四边形AFCE是菱形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠AEO＝∠CFO.
∵对角线AC的垂直平分线是EF，
∴AO＝OC，EA＝EC.
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(AAS).
∴AE＝CF.
∴四边形AFCE是平行四边形.
∵EA＝EC，
∴四边形AFCE是菱形.
(2)若AB＝3，BC＝5，CE平分∠ACD，求DE的长.
解：如图.
∵CE平分∠ACD，
∴∠1＝∠2.
∵四边形AFCE是菱形，
∴∠1＝∠3.
∴∠2＝∠3.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，CD＝AB＝3.
∴△CBA∽△CDE.
∴＝.
∴＝.
∴DE＝.(共15张PPT)
第五章 四边形
第29课时 平行四边形
1.(2025贵州)如图，小红想将一张矩形纸片沿AD，BC剪下后得到一个 ABCD，若∠1＝70°，则∠2的度数是( )
A.20° B.70°
C.80° D.110°
B
2.如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是( )
A.AB＝BC B.AD＝BC
C.OA＝OB D.AC⊥BD
B
3.(2025广东省卷)如图，点D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝70°，则∠EDF＝( )
A.20° B.40°
C.70° D.110°
C
4.如图，在 ABCD中，E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，则BF∶FE＝
( )
A.4∶3 B.3∶1
C.2∶1 D.3∶2
D
5.(2025湖北省卷)如图， ABCD的对角线交点在原点.若A(－1，2)，则点C的坐标是( )
A.(2，－1) B.(－2，1)
C.(1，－2) D.(－1，－2)
C
6.在 ABCD中，如果∠A＝2∠B，那么∠D的度数是__________.
60°
7.如图，在 ABCD中，AD＝3，对角线AC与BD相交于点O，AC＋BD＝10，则△BOC的周长为_______.
8
8.如图，在 ABCD中，点E在AD上，点F在AD的延长线上，且AE＝DF.求证：BE＝CF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∵AE＝DF，
∴AE＋DE＝DF＋DE，即AD＝EF.
∴BC＝EF.
又BC∥EF，
∴四边形BCFE是平行四边形.
∴BE＝CF.
9.(2025苏州节选)如图，C是线段AB的中点，∠A＝∠ECB，CD∥BE，连接DE.若AB＝16，求DE的长.
解：∵C是线段AB的中点，
∴AC＝CB＝AB＝8.
∵CD∥BE，
∴∠DCA＝∠B.
在△DAC和△ECB中，
∴△DAC≌△ECB(ASA).
∴CD＝BE.
∵CD∥BE，
∴四边形BCDE是平行四边形.
∴DE＝CB＝8.
10.(2025安徽)在如图所示的 ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动(不与端点重合)，且满足AF＝CH，则下列为定值的是( )
A.四边形EFGH的周长
B.∠EFG的大小
C.四边形EFGH的面积
D.线段FH的长
C
11.如图，在 ABCD中，点E在边BC上，且ED平分∠AEC.若∠DAE＝30°，AE＝8，则 ABCD的面积为( )
A.8 B.16
C.16 D.32
D
12.(2025福州二检节选)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，且BD＞CD，过点D分别作DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，在ED上截取EG＝EA，连接EF，GC.求证：四边形CFEG是平行四边形.
证明：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形.
∴DF＝EA.
∵EG＝EA，
∴EG＝DF.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB.
∵DF∥AB，
∴∠FDC＝∠B.
∴∠FDC＝∠ACB.
∴DF＝FC.
∴EG＝FC.
又DE∥AC，
∴四边形CFEG是平行四边形.(共10张PPT)
第五章 四边形
基础巩固 特殊四边形的证明与计算
1.(2025青海省卷)如图，在△ABC中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E，连接AD，BE.
(1)求证：四边形AEBD是平行四边形；
证明：∵点O为AB的中点，
∴OA＝OB.
∵AE∥BC，
∴∠EAO＝∠DBO，∠AEO＝∠BDO.
在△AEO和△BDO中，
∴△AEO≌△BDO(AAS).
∴AE＝BD.
∵AE∥BD，
∴四边形AEBD是平行四边形.
(2)若AB＝AC，试判断四边形AEBD的形状，并证明.
解：当AB＝AC时，四边形AEBD是矩形.
证明：∵AB＝AC，点D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.
由(1)，得四边形AEBD是平行四边形，
∴四边形AEBD是矩形.
2.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB∥CD，∠1＝∠2.有下列条件：①AB＝BC；②AC⊥BD.
(1)从①②中任选一个作为条件，求证：四边形ABCD是菱形；
解：选择①AB＝BC.
证明：∵∠1＝∠2，
∴AD∥CB.
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形.
选择②AC⊥BD.
证明：∵∠1＝∠2，
∴AD∥CB.
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形.
(2)在(1)的条件下，若∠1＝60°，AD＝6，求四边形ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB.
∴∠AOD＝90°.
∵∠1＝60°，AD＝6，
∴∠ADO＝90°－∠1＝30°.
∴OA＝AD＝3.
∴OD＝＝＝9.
∴AC＝2OA＝6，BD＝2OD＝18.
∴S四边形ABCD＝AC BD
＝×6×18＝54.
3.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，过点C作DA的平行线CE，且CE＝CD，连接AE.
(1)求证：四边形ADCE是菱形；
证明：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，
∴CD＝AD.
∵CE＝CD，
∴AD＝CE.
∵AD∥CE，
∴四边形ADCE是平行四边形.
∵CE＝CD，
∴四边形ADCE是菱形.
(2)当△ABC满足_______________________________________时，四边形ADCE是正方形.请说明理由.
解：理由如下：
∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC.
∴∠ADC＝90°.
∴四边形ADCE是正方形.
AB＝AC(∠ABC＝45°或∠ACB＝45°)
