(共21张PPT)
第一章 数与式
第2课时 数的开方与二次根式
1.49的算术平方根是( )
A.－7 B.7
C.±7 D.±49
B
2.(2025连云港)若在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A.x≤1 B.x≥1
C.x≤－1 D.x≥－1
D
3.下列式子中，为最简二次根式的是( )
A.
C.
B
4.(2024济宁)下列运算正确的是( )
A.＋＝×＝
C.2÷＝1 D.＝－5
B
5.填空：
(1)(2025浙江)｜－5｜＋＝_______；
(2)(2025自贡)－3＝_______.
2
0
6.(2025天津)计算(＋1)(－1)的结果为________.
60
7.若｜x－7｜＋＝0，则的值是_______.
3
8.若是整数，则满足条件的最小正整数n的值是_______.
6
9.如图1，将由5个边长为1的小正方形拼成的图形按虚线剪开，并按图2的方式重新拼成一个大的正方形，则大正方形的边长是______.
10.计算：
(1)－＋｜1－｜；
解：原式＝3－(－2)＋－1
＝3＋2＋－1
＝4＋.
(2)(2025陕西)×＋｜－2｜－(π－3)0；
解：原式＝＋2－1
＝6＋2－1
＝7.
(3)(2025青岛)－()0；
解：原式＝－1
＝8－1
＝7.
(4)÷＋(－)2.
解：原式＝＋2－2＋3
＝5－.
11.(2024重庆A卷)已知m＝－，则实数m的范围是( )
A.2＜m＜3 B.3＜m＜4
C.4＜m＜5 D.5＜m＜6
B
12.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则－(b－a－2)的结果是( )
A.2 B.2a－2
C.2－2b D.－2
A
13.(2025南通)我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S＝.若a＝2，b＝3，c＝1，则S的值为____.
14.已知正数x的两个平方根分别是a－4和2a－5，y的立方根是－2，z是的整数部分，求x＋y＋8z的平方根.
解：∵正数x的两个平方根分别是a－4和2a－5，
∴a－4＋2a－5＝0.
∴a＝3.
∴a－4＝3－4＝－1.
∴x＝(－1)2＝1.
∵y的立方根是－2，z是＜＜，
∴y＝(－2)3＝－8，2＜＜3.
∴z＝2.
∴x＋y＋8z＝1－8＋8×2＝9.
∴9的平方根是±3.
15.按照国际标准，A系列纸为矩形纸，如图1，其中A0纸的面积为1 m2.将A0纸沿长边对开便成了两张A1纸；将A1纸沿长边对开便成了两张A2纸；……；将A4纸沿长边对开便成了两张A5纸.
【操作与观察】将一张A4纸按图2所示的方式进行两次折叠(折痕分别是AB和AE)，观察发现点B恰好与点C重合，求A4纸的长、宽之比.
解：［操作与观察］设A4纸的长为m，宽为n.
第一次折叠，形成一个正方形，
∴AB＝n.
第二次折叠，得AB＝AC＝m，
∴n＝m.
∴＝.
∴A4纸的长、宽之比是∶1.
【类比与归纳】①按照国际标准，类比上述研究可以得到A5纸的长、宽之比是_________；
②用A0纸可以裁剪出的最大正方形的面积为_______m2.
∶1
(共24张PPT)
第一章 数与式
第3课时 代数式与整式
1.(2025上海)用代数式表示a与b差的平方，正确的是( )
A.a2－b2 B.(a－b)2
C.a2－b D.a－b2
B
2.(2025莆田二检)下列各式运算结果为a5的是( )
A.a2＋a3 B.a2 a3
C.(a2)3 D.a10÷a2
B
3.(2025陕西)计算2a2 ab的结果为( )
A.4a2b B.4a3b
C.2a2b D.2a3b
D
4.(2025漳州模拟)下列整式计算正确的是( )
A.2a＋3b＝5ab B.(－2a2b)3＝－6a6b3
C.a7÷a＝a6 D.(a－b)2＝a2－2ab－b2
C
5.单项式－a3b的次数是 ；多项式2a2b－ab－1的二次项系数是_________.
4
1
6.(2025南充)计算：a(a－3)－a2＝__________.
－3a
7.(2025苏州)若y＝x＋1，则代数式2y－2x＋3的值为_______.
5
8.若3amb4和a3bn－1是同类项，则m－n＝_________.
－2
9.(2025内蒙古)冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿m根大串和n根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为____________.
5m＋3n
10.(2025重庆改编)按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是________.
24
11.(2025兰州)计算：(a＋2)(a－2)＋a(3－a).
解：原式＝a2－4＋3a－a2
＝3a－4.
12.先化简，再求值：(a＋b)(a＋2b)－(2b3－ab2)÷b，其中a＝2，b＝－1.
解：原式＝a2＋3ab＋2b2－(2b2－ab)
＝a2＋3ab＋2b2－2b2＋ab
＝a2＋4ab.
当a＝2，b＝－1时，
原式＝22＋4×2×(－1)＝－4.
13.若a＋b＝6，ab＝8，则(a－b)2的值为( )
A.4 B.2
C.8 D.6
A
14.(2025云南)按一定规律排列的代数式：a，3a，5a，7a，9a，…，第n个代数式是( )
A.(2n－1)a B.(2n＋1)a
C.(n＋1)a D.2 025a
A
15.将一张长为2a，宽为2b的矩形纸片(a＞b)，用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为( )
A.a2＋b2 B.a2－b2
C.(a＋b)2 D.(a－b)2
D
16.(2025乐山)已知am＝3，an＝2，则am＋2n的值为________.
12
17.若4x2＋kx＋9是完全平方式，则k的值是__________.
±12
18.(2025绥化)观察下图，图1有2个三角形，记作a1＝2；图2有3个三角形，记作a2＝3；图3有6个三角形，记作a3＝6；图4有11个三角形，记作a4＝11；按此方法继续下去，则an＝_______________(结果用含n的代数式表示).
n2－2n＋3
19. (2025龙岩二检)若四位数满足a＋d＝b＋c，则称这样的四位数为“和谐四位数”.例如：四位数2 154，因为2＋4＝1＋5，所以四位数2 154是和谐四位数.
(1)填空：3 122__________和谐四位数(填“是”或“不是”).
不是
(2)已知一个和谐四位数的千位数字为1，十位数字为9，求这个和谐四位数.
解：设这个和谐四位数为，即a＋d＝b＋c.
∵这个和谐四位数的千位数字为1，十位数字为9，
即a＝1，c＝9，
∴1＋d＝b＋9.
∴d＝b＋8.
∵0≤d≤9，且d为整数，
∴0≤b≤1，且b为整数.
∴当b＝0时，则d＝0＋8＝8，
此时这个和谐四位数为1 098；
当b＝1时，则d＝1＋8＝9，
此时这个和谐四位数为1 199.
综上，这个和谐四位数为1 098或1 199.
(3)若M＝(d≠0)是和谐四位数，将M的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数N.求证：M与N的和一定能被101整除.
证明：由题意，得a＋d＝b＋c，N＝.
则M＝＝1 000a＋100b＋10c＋d，
N＝＝1 000d＋100c＋10b＋a.
∴M＋N＝1 000a＋100b＋10c＋d＋1 000d＋100c＋10b＋a
＝1 001a＋1 001d＋110b＋110c
＝1 001(a＋d)＋110(b＋c)
＝1 001(b＋c)＋110(b＋c)
＝1 111(b＋c).
∵b＋c为整数，且1 111÷101＝11，
∴M与N的和一定能被101整除.(共19张PPT)
第一章 数与式
第5课时 分式
1.若分式的值为零，则x的取值为( )
A.3 B.2
C.－3 D.－2
B
2.下列分式中，最简分式是( )
A.
C.
D
3.将分式中的m，n同时扩大为原来的2倍，分式的值将( )
A.扩大为原来的2倍 B.不变
C.缩小为原来的 D.缩小为原来的
C
4.化简x32的结果是( )
A.xy6 B.xy5
C.x2y5 D.x2y6
A
5.绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m t，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水的吨数是( )
A.－－
C.－－
A
6.(2025河南)化简－的结果是( )
A.x＋1 B.x
C.x－1 D.x－2
A
7.(2025山东省卷)写出使分式有意义的x的一个值：
__________________________.
1
8.(2025北京改编)已知a＋b－3＝0，则代数式的值为_____.
9.(2024深圳)先化简，再代入求值：÷，其中a＝＋1.
解：原式＝÷
＝
＝.
当a＝＋1时，原式＝＝.
10.(2025凉山州)先化简，再求值：1－÷，求值时请在－2≤x≤2内取一个使原式有意义的x(x为整数).
解：原式＝1－
＝1－
＝－
＝
＝.
∵分式有意义，且－2≤x≤2，
∴x≠2，0，－2.
又x为整数，
∴x＝－1或x＝1.
当x＝－1时，原式＝＝；
当x＝1时，原式＝＝4.
(两个x的值任选一个即可)
11.(2024雅安)已知＋＝1(a＋b≠0)，则＝( )
A. B.1
C.2 D.3
C
12.(2025南充)已知＝＝＝2，则的值是( )
A.2 B.3
C.4 D.6
D
13.甲、乙两艘船在某海域航行，甲船航行(n＋2)n mile用了m h，如果乙船的航速是甲船航速的，那么乙船航行t h的路程为_________n mile.
14. 阅读下面的解题过程：
已知＝，求的值.
解：由＝，知x≠0，∴＝3，即x＋＝3.①
∵＝x2＋＝2－2＝32－2＝7，②
∴的值为.
(1)第①步由＝3得到x＋＝3是运用了法则：＝＋；那么第②步中的x2＋＝2－2则是运用了公式：__________________________；(用含a，b的式子表示)
(2)上述解题过程用到的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知＝－1，求的值；
a2＋b2＝(a＋b)2－2ab
解：由＝－1，知x≠0，
∴＝－1，即x－3＋＝－1.
∴x＋＝2.
∴x2＋＝2－2＝2.
∵＝x2＋－7＝2－7＝－5，
∴＝－.
(3)已知＋＝，＋＝，＋＝，求的值.
解：∵＋＝＋＝＋＝，
∴2＝＋＋.
∴＋＋＝.
∵＝＋＋
＝＋＋＝，
∴＝.(共7张PPT)
第一章 数与式
基础巩固 数与式的有关计算
类型1 实数的运算
1.计算：
(1)(2025连云港)(－2)×(－5)－－0；
解：原式＝10－3－1
＝6.
(2)(2025山西)×6－32＋(－8＋4)；
解：原式＝×6－9＋(－4)
＝3－9＋(－4)
＝－10.
(3)(2025湖北省卷)｜－6｜－×＋22；
解：原式＝6－＋4
＝6－4＋4＝6.
(4)(2025河南)＋(π－1)0－×；
解：原式＝2＋1－3
＝0.
(5)｜－3｜－2sin 45°－(－2 026)0；
解：原式＝3－－2×－1
＝3－－－1
＝2－2.
(6)(2025德阳)－2－＋｜2－2｜；
解：原式＝9－2＋2－2
＝7.
(7)｜1－｜＋(2 026－π)0－；
解：原式＝－1＋1－2
＝－.
(8)(2025北京)｜－3｜＋＋－1－2sin 30°.
解：原式＝3＋3＋2－2×
＝4＋3.
类型2 分式的运算
2.(2025资阳)先化简，再求值：÷，其中a＝2.
解：原式＝
＝
＝.
当a＝2时，
原式＝＝3.
3.(2025龙东地区)先化简，再求值： ＋，其中a＝2sin 60°－1.
解：原式＝ ＋
＝＋
＝
＝.
当a＝2sin 60°－1＝2×－1＝－1时，
原式＝＝＝.(共5张PPT)
第一章 数与式
综合与实践 探究月历与幻方的奥秘
(2025湖北省卷)幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空.
主题 探究月历与幻方的奥秘
活动一 图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数.
日 一 二 三 四 五 六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
图1
主题 探究月历与幻方的奥秘
活动一 (1)移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是_______，b是________；
(2)移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是__________，d是__________；
(注：用含n的代数式表示c和d.)
5
11
n＋1
n＋7
主题 探究月历与幻方的奥秘
活动二 移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等.
主题 探究月历与幻方的奥秘
活动二 (3)若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是________，f是_______；
(4)若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是____________(用含n的代数式表示g)
11
3
n＋8 (共21张PPT)
第一章 数与式
第4课时 因式分解
1.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A.a2b2＝(ab)2 B.a2－a－2＝a(a－1)－2
C.a2－2ab＋b2＝(a－b)2 D.(a＋b)(a－b)＝a2－b2
C
2.把多项式2ab＋4ab2分解因式，应提取的公因式是( )
A.ab B.2ab
C.2ab2 D.4ab2
B
3.下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的为( )
A.x2＋y2 B.－x2－y2
C.－x2＋y2 D.x2＋2xy
C
4.若代数式x2＋mx＋1能用公式法分解因式，则m的值为( )
A.±2 B.±1
C.2 D.1
A
5.分解因式：
(1)(2025吉林)a2－ab＝_____________.
(2)(2025苏州)x2－9＝__________________.
(3)(2024常州)x2－4xy＋4y2＝______________.
(4)(2025北京)7m2－28＝___________________.
(5)(2025绥化)2mx2－4mxy＋2my2＝_______________.
a(a－b)
(x＋3)(x－3)
(x－2y)2
7(m＋2)(m－2)
2m(x－y)2
6.观察下面拼图过程，写出相应的关系式__________________________.
ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)
7.(2025福州模拟)已知2x－y＝，xy＝2，则2x2y－xy2＝_______.
1
8.(2025内江)已知实数a，b满足a＋b＝2，则a2－b2＋4b＝_______.
4
9.分解因式：
(1)x4－16y4；
解：原式＝(x2＋4y2)(x2－4y2)
＝(x2＋4y2)(x－2y)(x＋2y).
(2)x2(m－2)＋y2(2－m)；
解：原式＝x2(m－2)－y2(m－2)
＝(m－2)(x2－y2)
＝(m－2)(x＋y)(x－y).
(3)(x＋2)(x－8)＋25；
解：原式＝x2－8x＋2x－16＋25
＝x2－6x＋9
＝(x－3)2.
(4)－x3＋8x2－12x.
解：原式＝－x(x2－8x＋12)
＝－x(x－2)(x－6).
10.(2024南京)任意两个奇数的平方差总能( )
A.被3整除 B.被5整除
C.被6整除 D.被8整除
D
11.若代数式P＝2a2－2a＋3，Q＝a2＋1，则P和Q的大小关系是( )
A.P＞Q B.P＝Q
C.P＜Q D.无法确定
A
12.若算式的结果为整数，则整数n的值不可能是( )
A.100 B.50
C.17 D.3
D
13.(2025成都)多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是____________________(填一个即可).
4x(答案不唯一)
14.已知a－b＝1，则a3－a2b＋b2－2ab的值为_______.
1
15.若△ABC的三边长分别是a，b，c，满足a2＋b2－12a－6b＋45＝0，且c为偶数，求△ABC的周长的最小值.
解：∵a2＋b2－12a－6b＋45＝0，
∴(a2－12a＋36)＋(b2－6b＋9)＝0.
∴(a－6)2＋(b－3)2＝0.
∴a－6＝0，b－3＝0.
解得a＝6，b＝3.
∵△ABC的三边长分别是a，b，c，
∴3＜c＜9.
又c为偶数，
∴c＝4，6，8.
当a＝6，b＝3，c＝4时，△ABC的周长最小，最小值是6＋3＋4＝13.
16. (2024安徽改编)请认真阅读下面的命题和部分证明过程.
问题：如何证明命题“像2，6，10，14，…这些形如4n－2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2－y2(x，y均为自然数)”.
证明：假设4n－2＝x2－y2，其中x，y均为自然数.
分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数，
则x2－y2＝…
请你将上述证明过程补充完整.
解：假设4n－2＝x2－y2，其中x，y均为自然数.
分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数，
则x2－y2＝(2k)2－(2m)2＝4(k2－m2)为4的倍数，
而4n－2不是4的倍数，矛盾，故x，y不可能均为偶数；
②若x，y均为奇数，设x＝2k＋1，y＝2m＋1，其中k，m均为自然数，
则x2－y2＝(2k＋1)2－(2m＋1)2＝4(k2－m2＋k－m)为4的倍数，
而4n－2不是4的倍数，矛盾，故x，y不可能均为奇数；
③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2－y2为奇数，而4n－2是偶数，矛
盾，故x，y不可能一个是奇数一个是偶数.
综上，形如4n－2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2－y2(x，y均为自然数).(共19张PPT)
第一章 数与式
第1课时 实数
1.(2025深圳)节约水5 t记作＋5 t，则浪费水2 t记作( )
A.－3 t B.＋2 t
C.－2 t D.＋3 t
C
2.(2025重庆)6的相反数是( )
A.－6 B.－
C. D.6
A
3.(2025烟台)｜－3｜的倒数是( )
A.3 B.
C.－3 D.－
B
4.(2025莆田二检)下列各数中，最小的数是( )
A.－1 B.0
C.1 D.
A
5.(2025江西改编)下列各数中，是无理数的是( )
A.0 B.
C.3.14 D.
B
6.(2025福州二检)下表是几种气体在标准大气压下的沸点(保留整数)：
其中沸点最低的气体是( )
A.氮气 B.氧气
C.氦气 D.二氧化碳
气体 氮气 氧气 氦气 二氧化碳
沸点/℃ －196 －183 －269 －78
C
7.某工地记录了仓库水泥的进货和出货数量，某天进货2 t，出货3 t，记进货为正，出货为负.下列算式能表示当天库存变化的是( )
A.(＋2)＋(－3) B.(＋2)＋(＋3)
C.(－2)＋(－3) D.(－2)＋(＋3)
A
8.(2025安徽)计算：｜－5｜－(－1)＝_______.
6
9.(2025烟台)2025年2月2日是第29个“世界湿地日”，主题是“保护湿地 共筑未来”.国家林草局公布的最新数据显示，全国湿地面积稳定保持在56 350 000 hm2以上.将数据56 350 000用科学记数法表示为________________.
5.635×107
10.(2025泉州南安模拟)已知(x－2 025)2＋｜y＋1｜＝0，则yx的值是_________.
－1
11.(2025重庆)若n为正整数，且满足n＜＜n＋1，则n＝_______.
5
12.计算：
(1)(2025厦门二检)
×(－6)＋－(－2)2；
解：原式＝－4＋5－4 ＝－3.
(2)(2025泉州模拟)
－12＋(3－π)0－｜2－｜；
解：原式＝－1＋1－2＋＝－2.
(3)(2025三明模拟)
－－1＋6×；
解：原式＝4－3＋1＝2.
(4)2 0260－2cos 45°＋＋｜－2｜.
解：原式＝1－2×＋2＋2－
＝1－＋2＋2－＝3.
13.如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，且a＋b＝0.若AB＝8，则点A表示的数为( )
A.－4 B.－2
C.4 D.8
A
14.(2025北京)实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是( )
A.a＞－1 B.a＋b＝0
C.a－b＞0 D.｜a｜＞｜b｜
D
15.(2025南充)如图，把直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动一周，圆上点A到达点A′，点A′对应的数是2，则滚动前点A对应的数是
( )
A.2－2π B.π－2
C.5－2π D.2－π
D
16.(2025福州闽侯模拟)对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a*b＝(a＋b＞0)，如：3*2＝＝，那么8*(6*3)＝______.
17.(2025威海)2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功.与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率.
二进制数的组成数字为0，1.十进制数22化为二进制数：
22＝1×24＋0×23＋1×22＋1×21＋0×20＝101102.
传统三进制数的组成数字为0，1，2.十进制数22化为三进制数：
22＝2×32＋1×31＋1×30＝2113.
将二进制数10112化为三进制数为( )
A.1023 B.1013 C.1103 D.123
A
