(共9张PPT)
专题十五 与圆的切线有关的证明与计算
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心、OA的长为半径作⊙O，分别交AC，AB于D，E两点，连接BD，且∠A＝∠CBD.
(1)求证：BD是⊙O的切线；
证明：如图，连接OD.
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA.
∵∠A＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠ODA.
∵∠C＝90°，
∴∠CBD＋∠CDB＝90°.
∴∠ODA＋∠CDB＝90°.
∴∠ODB＝90°.
∴OD⊥BD.
∵OD是⊙O的半径，
∴BD是⊙O的切线.
(2)若CD＝，BC＝2，求⊙O的半径.
解：∵∠A＝∠CBD，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC.
∴＝.
∴BC2＝DC AC.
∵CD＝，BC＝2，
∴AC＝2.
∴AB＝＝2.
设⊙O的半径为r，则OB＝2－r.
∵OB2＝OD2＋BD2，
BD＝＝，
∴(2－r)2＝r2＋()2.
解得r＝.
∴⊙O的半径为.
2.(2025天津)已知AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，∠AOB＝80°，OB与⊙O相交于点D，E为⊙O上一点.
(1)如图1，求∠CED的大小；
解：如图1，连接OC.
∵AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB.
又OA＝OB，
∴OC平分∠AOB.
∴∠COB＝∠AOB.
∵∠AOB＝80°，
∴∠COB＝40°.
在⊙O中，∠CED＝∠COD.
∴∠CED＝20°.
(2)如图2，当EC∥OA时，EC与OB相交于点F，延长BO与⊙O相交于点G，若⊙O的半径为3，求ED和EG的长.
解：由(1)，知∠CED＝20°.
∵EC∥OA，
∴∠EFG＝∠AOB＝80°.
∵∠EFG为△DEF的一个外角，
∴∠EDF＝∠EFG－∠FED＝60°.
由题意，得DG为⊙O的直径.
∴∠GED＝90°.
又⊙O的半径为3，
∴DG＝6.
在Rt△GED中，cos∠EDG＝，
sin∠EDG＝，
∴ED＝6cos 60°＝3，EG＝6sin 60°＝3.(共10张PPT)
专题七 统计与概率
1.为响应国家政策，保障耕地面积，提高粮食产量，确保粮食安全，我市开展高标准农田改造建设，调查统计了其中四台不同型号的挖掘机(分别为A型、B型、C型、D型)一个月内改造建设高标准农田的面积(亩)，并绘制成如下不完整的统计图表：
改造农田面积统计表
型号 A B C D
亩数 16 20 m 12
利用给出的信息，解决下列问题：
(1)①m＝________；
改造农田面积扇形统计图
解析：12÷＝80(亩)，
m＝80－16－20－12＝32.
32
②扇形统计图中α的度数为__________.
解析：扇形统计图中α的度数为
360°×＝72°.
72°
改造农田面积扇形统计图
(2)若这四台不同型号的挖掘机共改造建设了960亩高标准农田，估计其中B型挖掘机改造建设了多少亩.
解：根据题意，得960×＝240(亩).
答：估计其中B型挖掘机改造建设了240亩.
(3)若从这四台不同型号的挖掘机中随机抽调两台去参加其他任务，请用画树状图或列表的方法求出恰好同时抽到A，B两种型号挖掘机的概率.
解：画树状图如图所示.
∴共有12种等可能的结果，同时抽到A，B两种型号挖掘机的结果有2种，
∴恰好同时抽到A，B两种型号挖掘机的概率为＝.
2.某城市推行“绿色出行”宣传活动，五位评审对甲、乙、丙三位宣传志愿者的表现进行打分，相关得分数据整理成如下统计图表.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出a，b，c的值：a＝__________，b＝_______，c＝_________.
0.56
9
8.8
解析：由题意，得a＝［(8－8.8)2×2＋(9－8.8)2×2＋(10－8.8)2］＝0.56.
把乙的5个得分按照从低到高排列为7，9，9，9，10，
∴乙得分的中位数为9，即b＝9.
c＝＝8.8.
(2)从三位选手中选一位进行表彰，你认为选谁更合适？请选择一个统计量进行说明.
解：选择甲更合适.
∵三人得分的平均数相同，甲得分的方差是三人中最小的，
∴选择甲更合适.
(3)如果去掉一个最高分和一个最低分之后乙的中位数记为d，判断d与b的大小关系，并说明理由.
平均数 中位数 方差
甲 8.8 9 a
乙 8.8 b 0.96
丙 c 8 0.96
解：d＝b.理由如下：
去掉一个最高分和一个最低分之后，乙的3个得分为9，9，9，此时中位数为9，即d＝9，则d＝b.(共9张PPT)
专题三 一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
1.(2025厦门翔安区模拟)若关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值是( )
A.－1 B.0
C.1 D.2
A
2.在关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x－3＝0中，k＜－1，则该方程根的情况是( )
A.没有实数根 B.有两个正实数根
C.两根之积为－3 D.两根之和为1
C
3.关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个非零实数根分别是m和3m，则＝______.
4.(2025福州延安中学模拟)若m，n是一元二次方程x2－3x－2 025＝0的两个实数根，则m2＋mn＋3n＋2的值为________.
11
5.(2025泉州南安模拟)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0有两个实数根x1和x2.若两个实数根x1和x2满足x1＋x2－x1x2＜－1，求k的整数值.
解：a＝1，b＝2，c＝k＋1，
Δ＝b2－4ac
＝22－4×1×(k＋1)
＝－4k.
∵关于x的一元二次方程x2＋2x＋k＋1＝0有两个实数根x1和x2，
∴－4k≥0.
∴k≤0.
由根与系数的关系，知x1＋x2＝－2，x1x2＝k＋1.
∵x1＋x2－x1x2＜－1，
∴－2－(k＋1)＜－1.
解得k＞－2.
∴－2＜k≤0.
∴k的整数值为－1或0.
6.(2025三明模拟)已知二次函数y＝ax2＋bx＋2(a＜0).
(1)求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；
证明：当y＝0时，ax2＋bx＋2＝0.
Δ＝b2－8a.
∵b2≥0，a＜0，
∴Δ＝b2－8a＞0.
∴关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0有两个不相等的实数根.
∴该函数的图象与x轴总有两个公共点.
(2)若该函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x2＝
－2x1，求证：a＋b2＝0.
证明：∵该函数图象与x轴的两个交点坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，
∴x1，x2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0的两根.
∴x1＋x2＝－，x1x2＝.
∵x2＝－2x1，
∴x1＝，x2＝－.
∴ ＝.
∴＋＝0.
∴a＋b2＝0.(共10张PPT)
专题十六 锐角三角函数在生活中的应用
1.(2025湖南)如图，某处有一个晾衣装置，固定立柱AB和CD分别垂直地面水平线l于点B，D，AB＝19 dm，CD＞AB.在点A，C之间的晾衣绳上有固定挂钩E，AE＝13 dm，一件连衣裙MN挂在点E处(点M与点E重合)，且直线MN⊥l.
(1)如图1，当该连衣裙下端点N刚好接触到地面水平线l时，点E到直线AB的距离EG等于12 dm，求该连衣裙MN的长度；
解：∵EG⊥AB，AB⊥BD，EN⊥BD，
∴四边形BNEG是矩形.
∴EN＝BG.
在Rt△AEG中，AE＝13 dm，EG＝12 dm，
∴AG＝＝＝5 (dm).
∴BG＝AB－AG＝14 dm.
∴EN＝14 dm.
答：该连衣裙MN的长度为14 dm.
(2)如图2，为避免该连衣裙接触到地面，在另一端固定挂钩F处再挂一条长裤(点F在点E的右侧)，若∠BAE＝76.1°，求此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为多少分米.(结果保留整数，参考数据：sin 76.1°≈0.97，cos 76.1°≈0.24，tan 76.1°≈4.04)
解：如图2，过点E作EH⊥AB于点H，延长EN交BD于点T.
∵AB⊥BD，EH⊥AB，ET⊥BD，
∴四边形BTEH是矩形.
∴ET＝BH.
在Rt△AEH中，AE＝13 dm，∠HAE＝76.1°，cos 76.1°≈0.24，
∴AH＝AE cos∠HAE
＝13×cos 76.1°≈13×0.24＝3.12 (dm).
∵AB＝19 dm，
∴BH＝AB－AH＝15.88 dm.
∴ET＝15.88 dm.
∵EN＝14 dm，
∴NT＝ET－EN＝15.88－14＝1.88≈2 (dm).
答：此时该连衣裙下端N点到地面水平线l的距离约为2 dm.
2.如图1，这是一款笔记本电脑支架，该支架可通过调节支撑杆DE的位置来调整高度，以便于电脑散热，减轻使用者的颈椎压力.如图2，这是支架与电脑底部的接触面以及侧面的抽象图.
(1)已知AC，BD互相平分且交于点O，AC＝BD＝24cm，若∠AOB＝60°，∠DCE＝28°.
①求CD的长；
解：∵AC，BD互相平分且交于点O，AC＝BD＝24 cm，
∴OC＝OD＝12 cm.
∵∠AOB＝60°，
∴∠COD＝60°.
∴△OCD为等边三角形.
∴CD＝OC＝12 cm.
②求点D到底架CE的高DH的长.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 28°≈0.47，cos 28°≈0.88，tan 28°≈0.53)
解：在Rt△DCH中，CD＝12 cm，∠DCE＝28°，
∴DH＝CD sin∠DCE＝12×sin 28°≈12×0.47≈5.6 (cm).
(2)为改善坐姿守护健康，小明购买了如图1所示的电脑支架.如图3，小明将电脑放置在电脑支架上，笔记本电脑屏幕宽FG＝FC，调节支撑杆DE的位置后，点D恰好在FC的中点处，点E，F，G在同一直线上，且电脑屏幕FG垂直于桌面，已知电脑屏幕张角为110°，支撑杆DE＝13 cm，求点G距离桌面的高度.(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34)
解：由题意，得FG＝FC，∠CFG＝110°，FG⊥CE.
∴∠CFE＝180°－∠CFG＝70°，∠FEC＝90°.
在Rt△FCE中，
∵D是FC的中点，DE＝13 cm，
∴FC＝2DE＝26 cm.
∴FG＝FC＝26 cm，
FE＝FC cos∠CFE＝26×cos 70°≈26×0.34＝8.84(cm).
∴GE＝FG＋FE＝26＋8.84＝34.84≈34.8(cm).
答：点G距离桌面的高度约为34.8 cm.(共11张PPT)
专题十七 几何图形的运动变化
1.如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，点D在边CB的延长线上，将线段AB沿BD方向平移，得到线段ED.已知点F在边AC上，当CF＝时，△DEF是以DE为斜边的等腰直角三角形，则线段BD的长是( )
A.1 B.
C.2 D.2
B
2.如图，已知△ABC为等边三角形.P为△ABC内一点，PA＝12，PB＝9，PC＝15，将△PBC绕点B逆时针旋转后得到△P′BA.
(1)求点P与点P′之间的距离；
解：如图，连接PP′.
由题意，知BP′＝BP，∠PBC＝∠P′BA.
∵△ABC为等边三角形，
∴∠PBC＋∠ABP＝60°.
∴∠ABP＋∠P′BA＝60°.
∴∠PBP′＝60°.
∴△BPP′为等边三角形.
∴PP′＝BP＝BP′＝9.
(2)求∠APB的度数.
解：∵PP′＝9，PA＝12，
AP′＝PC＝15，
∴PP′2＋PA2＝
92＋122＝225，
AP′2＝152＝225.
∴PP′2＋PA2＝AP′2.
∴△APP′为直角三角形，且∠APP′＝90°.
∵△BPP′为等边三角形，
∴∠BPP′＝60°.
∴∠APB＝∠APP′＋∠BPP′＝90°＋60°＝150°.
3.如图，△ABD是由△EBC在平面内绕点B逆时针旋转60°得到的，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE.
(1)求证：△ABD≌△EBD；
解：证明：由旋转，知AB＝EB，BD＝BC，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝∠DBC＝60°.
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°.
∴∠ABD＝90°－60°＝30°，∠EBD＝60°－30°＝30°.
在△ABD和△EBD中，
∴△ABD≌△EBD(SAS).
(2)四边形ABED是什么特殊的四边形？请说明理由.
解：四边形ABED是菱形.理由如下：
∵△ABD≌△EBD，
∴AD＝ED.
∵BE＝CE，AB＝EB，AD＝EC，
∴AB＝EB＝DE＝AD.
∴四边形ABED是菱形.
4.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D在边BC上，连接AD，将△ABD沿AD折叠，点B落在点E处，DE交AC于点F.
(1)若CD＝3，
①求AD的长；
解：如图，过点A作AM⊥BC，垂足为M.
∵AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BM＝MC＝4.
∵CD＝3，
∴MD＝MC－CD＝1.
在Rt△ABM中，AM＝＝＝3.
在Rt△ADM中，AD＝＝＝.
②探索线段EF与DF的数量关系，并说明理由.
解：EF＝DF.理由如下：
∵BD＝BC－CD＝5，
∴AB＝BD.
∵△ABD沿AD折叠得到△AED，
∴AB＝BD＝DE＝EA＝5.
∴四边形ABDE是菱形.
∴AE∥BD.
∴△AFE∽△CFD.
∴＝＝.
∴EF＝DF.
(2)若AD＝CD，求的值.
解：设AD＝CD＝x，则MD＝4－x.
由(1)，知AM＝3.
在Rt△AMD中，AD2＝AM2＋MD2，
即x2＝32＋(4－x)2.
解得x＝.
∴AD＝CD＝.
∵∠AED＝∠B＝∠C，∠AFE＝∠DFC，
∴△AFE∽△DFC.
∴＝＝＝.(共8张PPT)
专题五 实际应用题(1)
1.(2025厦门模拟)某水果超市为了解两种提子的市场销售情况，购进了一批数量相等的青提和红提供客户对比品尝，购买1 kg红提和2 kg青提用了33元，购买2 kg红提和5 kg青提用了78元.
(1)求每千克红提和青提的进价各是多少元.
解：设每千克红提的进价为x元，每千克青提的进价为y元.
根据题意，得
∴每千克红提的进价为9元，每千克青提的进价为12元.
(2)该水果超市决定再次购买同种红提和青提共40 kg，且再次购买的费用不超过450元.每种提子进价保持不变，若红提的销售单价为13元，青提的销售单价为18元，则该水果超市应如何进货，可使第二批的红提和青提售完后获得的利润最大？最大利润是多少？
解：设该水果超市购买红提m kg，则购买青提(40－m)kg.
设利润为w元.
根据题意，得9m＋12(40－m)≤450.
解得m≥10.
∵40－m≥0，
∴m≤40.
∴10≤m≤40.
w＝(13－9)m＋(18－12)(40－m)＝－2m＋240.
∵－2＜0，
∴w随着m的增大而减小.
∴当m＝10时，w取得最大值－2×10＋240＝220.
此时，40－10＝30.
∴该水果超市应当购买红提10 kg，青提30 kg，可使第二批的红提和青提售完后获得的利润最大，最大利润是220元.
2.(2025深圳)某学校采购体育用品，需要购买三种球类.已知某体育用品商店排球的单价为30元，篮球、足球的价格如下表：
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
(1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；
解：设篮球的单价为x元，足球的单价y元.
由题意，得
或(三个方程组任选一个即可)
解得
答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元.
(2)若该学校要购买篮球、足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？
解：设该学校购买m个篮球，则购买(10－m)个足球.
由题意，得10－m≤2m.
解得m≥.
设购买篮球和足球的总费用是w元.
由题意，得w＝60m＋50(10－m)＝10m＋500.
∵10＞0，
∴w随着m的增大而增大.
∵m≥，且m为整数，
∴当m取最小值4时，w取得最小值10×4＋500＝540(元).
答：当购买4个篮球时，花费最少，最少费用是540元.(共10张PPT)
专题十四 圆中导角
1.如图，AB是⊙O内接正n边形的一条边，点C在⊙O上，∠ACB＝30°，则n的值为( )
A.4 B.6
C.8 D.12
B
2.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝BC，∠ABC＝120°，AD为⊙O的直径.如果AD＝16，那么AB的长为( )
A.4 B.4
C.8 D.8
C
3.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，BC.若＝2，OE＝BE，BC＝2，则AC的长是( )
A.2 B.3
C.5 D.2
D
4.如图，AB为⊙O的直径，AC，BC分别交⊙O于点D，E，点F在⊙O上，连接AF，FD.若BE＝CE，∠C＝70°，则∠AFD的度数是( )
A.40° B.45°
C.50° D.55°
C
5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，若⊙O的半径是6.5，AB＝12，则sin∠ACD的值为_____.
6.如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，直线BE与⊙O相切于点B，若AC∥BE，∠BAC＝55°，则∠ADC的度数为___________.
110°
7.如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E.
(1)求证：＝；
证明：∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD.
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC.
∴∠OBC＝∠CBD.
∴＝.
(2)若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径.
解：如图，连接AC.
∵CE＝1，EB＝3，
∴BC＝CE＋BE＝4.
∵＝，
∴∠CAD＝∠ABC.
∵∠ACB＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA.
∴＝＝.
∴AC＝2.
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°.
∴AB＝＝2.
∴⊙O的半径为.(共22张PPT)
专题十八 综合与实践
1.(2025深圳)综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间、安排通道数之间的关系.
【研究条件】
条件1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数－已入场人数；
条件2：若该演出场地最多可开放9条安检通道，平均每条通道每分钟可安检6人.
【模型构建】若该演出前30 min开始进行安检，经研究发现，现场总人数y与安检时间x之间满足关系式：y＝－x2＋60x＋100(0≤x≤30).
结合上述信息，请完成下述问题：
(1)当开放3条安检通道，安检时间为x min时，已入场人数为_________，排队人数w与安检时间x的函数关系式为_______________________.
18x
w＝－x2＋42x＋100
【模型应用】
(2)在(1)的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值？最大人数为多少？
解：w＝－x2＋42x＋100＝－(x－21)2＋541.
∴当x＝21时，w最大值＝541，
即排队人数在第21 min达到最大值，最大人数为541.
(3)已知该演出主办方要求：
①排队人数在安检开始10 min内(包含10 min)减少；
②尽量少开放安检通道，以节省开支.
若同时满足以上两个要求，可开放几条安检通道？请说明理由.
解：可开放7条安检通道，理由：设开放m条安检通道，
则排队人数w＝y－6mx
＝－x2＋60x＋100－6mx
＝－x2＋6(10－m)x＋100.
∴对称轴为直线x＝3(10－m).
∵排队人数10 min(包括10 min)内减少，
∴0≤3(10－m)≤10.
解得≤m≤10.
又最多开放9条安全通道，
∴≤m≤9.
∵m为正整数，∴m的最小值为7.
∴可开放7条安检通道.
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性.
2.(2025扬州)材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡.“微风忽起吹莲叶，青玉盘中泻水银”，莲叶上的水滴来回滚动，不易渗入莲叶内部，这说明莲叶具有较强的疏水性.疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质.
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分，经过球心的纵截面如图1所示，接触角是过固、液、气三相接触点(点M或点N)所作的气－液界线的切线与固－液界线的夹角，图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角，并用三个大写字母表示接触角.(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)
解：如图2.
①在圆弧上取一点C，记三相接触点为M，N，连接MC，NC；
②分别作MC，NC的垂直平分线，两者交于点O，则点O为圆弧的圆心；
③连接OM，过点M作PM⊥OM，则PM为⊙O的切线，故∠PMN即为所求的接触角.
(2)材料的疏水性随着接触角的变大而 (选填“变强”“不变”“变弱”).
解析：由题意和图，可知接触角越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强.
故材料的疏水性随着接触角的变大而变强.
变强
【实践探索】
实践中，可以通过测量水滴经过球心的高度BC和底面圆的半径AC(BC⊥AC)，求出∠BAC的度数，进而求出接触角∠CAD的度数(如图3).
(3)请探索图3中接触角∠CAD与∠BAC之间的数量关系(用等式表示)，并说明理由.
解：∠CAD＝2∠BAC.理由如下：
如图3，连接OA.
可得OA＝OB.
∴∠ABC＝∠OAB.
∵AD为切线，
∴OA⊥AD.
∴∠OAB＋∠BAD＝90°.
∵BC⊥AC，
∴∠ABC＋∠BAC＝90°.
∵∠ABC＝∠OAB，
∴∠BAD＝∠BAC.
∴∠CAD＝∠BAD＋∠BAC＝2∠BAC.
【创新思考】
(4)材料的疏水性除了用接触角以及图3中与△ABC相关的量描述外，还可以用什么量来描述？请你提出一个合理的设想，并说明疏水性随着此量的变化而如何变化.
解：∵水滴弧的长度为l＝，
∴＝n.
∴可以根据越大，水滴越趋近于球形，疏水性越强.
(答案不唯一)
3.【材料阅读】用数形结合的方法，可以探究q＋q2＋q3＋…＋qn＋…的值，其中0＜q＜1.
例 求＋2＋3＋…＋n＋…的值.
方法1：借助面积为1的正方形，观察图1可知，＋2＋3＋…＋n＋…的结果等于该正方形的面积，即＋2＋3＋…＋n＋…＝1.
方法2：借助函数y＝x＋和y＝x的图象，观察图2可知，＋2＋3＋…＋n＋…的结果等于a1，a2，a3，…，an，…等各条竖直线段的长度之和，即交点到x轴的距离.因为交点(1，1)到x轴的距离为1，所以＋2＋3＋…＋n＋…＝1.
【实践应用】任务一 完善＋2＋3＋…＋n＋…的求值过程.
方法1：借助面积为2的正方形，观察图3可知，＋2＋3＋…＋n＋…＝_______.
2
方法2：借助函数y＝x＋和y＝x的图象，观察图4可知，因为两个函数图象的交点的坐标为_______，所以＋2＋3＋…＋n＋…＝___.
(2，2)
2
解：方法1 借助面积为3的正方形，观察答图1可知，＋2＋3＋…＋n＋…的结果等于该正方形的面积，即
＋2＋3＋…＋n＋…＝3.
任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求＋2＋3＋…＋n＋…的值.
方法2 借助函数y＝x＋和y＝x的图象，观察答图2可知，＋2＋3＋…＋n＋…的结果等于a1，a2，a3，…，an，…等各条竖直线段的长度之和，即两个函数图象的交点到x轴的距离.
∵交点(3，3)到x轴的距离为3，
∴＋2＋3＋…＋n＋…＝3.
【迁移拓展】任务三 长、宽之比为∶1的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形.
观察图5，直接写出2＋4＋6＋…＋2n＋…的值.
解：
解析：根据题图5，按正方形从大到小的顺序，
第1个正方形的面积为1×1＝1＝0，
第2个正方形的面积为2＝2，
第3个正方形的面积为2＝4，
……
则2＋4＋6＋…＋2n＋…的值等于长、宽之比为∶1的矩形减去1个面积为1的正方形的面积，
即2＋4＋6＋…＋2n＋…＝×1－1＝.(共9张PPT)
专题十一 函数的图象与性质——
反比例函数
1.已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线y＝－上，若x2＜0＜x1，则下列结论一定成立的是( )
A.0＜y1＜y2 B.y1＜0＜y2
C.y2＜y1＜0 D.y2＜0＜y1
B
2.(2025内蒙古)已知点A(m，y1)，B(m＋1，y2)都在反比例函数y＝－的图象上，则下列结论一定正确的是( )
A.y1＞y2 B.y1＜y2
C.当m＜0时，y1＜y2 D.当m＜－1时，y1＜y2
D
3.综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度.当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位：cm)是液体的密度ρ(单位：g/cm3)的反比例函数，其图象如图所示(ρ＞0).下列说法正确的是( )
A.当液体的密度ρ≥1 g/cm3时，浸在液
体中的高度h≥20 cm
B.当液体的密度ρ＝2 g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40 cm
C.当浸在液体中的高度0＜h≤10 cm时，该液体的密度ρ≥2 g/cm3
D.当液体的密度0＜ρ≤1 g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20 cm
C
4.已知A(m－2，y1)，B(m，y2)，C(m＋1，y3)三点在反比例函数y＝－的图象上，则下列判断正确的是( )
A.当m＜－1时，0＜y3＜y2＜y1
B.当－1＜m＜0时，y3＜0＜y1＜y2
C.当0＜m＜2时，y3＜y2＜0＜y1
D.当m＞2时，y3＜y2＜y1＜0
B
5.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的一个顶点O在坐标原点处，且A(－1，)，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点B和点C，则k的值是( )
A.
C.
B
6.点A(t，y1)，B(t－2，y2)在反比例函数y＝的图象上，若y1＜y2，则t的取值范围是________________.
t＜0或t＞2
7.若直线y＝kx(k为常数，k＞0)与反比例函数y＝的图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，则2x1y2－4x2y1的值为_______.
6
8.已知反比例函数y1＝与y2＝－(k＞0)，当3≤x≤5时，y1－y2的最大值为4，则k的值是_______.
6 (共10张PPT)
专题十三 函数中的代数推理
1.已知二次函数y＝x2－2mx＋2m－1.
(1)当m＝－3时，
①求二次函数的图象与坐标轴的交点坐标；
解：当m＝－3时，y＝x2＋6x－7.
①当y＝0时，x2＋6x－7＝0.
解得x1＝－7，x2＝1.
∴二次函数的图象与x轴的交点坐标为
(－7，0)，(1，0).
当x＝0时，y＝－7.
∴二次函数的图象与y轴的交点坐标为(0，－7).
②若点(a，y1)，(b，y2)是二次函数图象上的点，且a＋b＝－4，求y1＋y2的最小值.
解：∵点(a，y1)，(b，y2)是二次函数图象上的点，且a＋b＝－4，
∴b＝－4－a.
∴y1＝a2＋6a－7，y2＝(－4－a)2＋6 (－4－a)－7＝a2＋2a－15.
∴y1＋y2＝a2＋6a－7＋a2＋2a－15
＝2(a＋2)2－30.
∵2＞0，
∴y1＋y2的最小值为－30.
(2)若点C(b＋1，p)和D(2m－b，q)在二次函数的图象上，且点C在对称轴的左侧，求证：p＜q－1.
证明：∵二次函数y＝x2－2mx＋2m－1，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝－＝m.
∵点C在对称轴的左侧，
∴b＋1＜m，即b－m＜－1.
∵点C(b＋1，p)和D(2m－b，q)在二次函数的图象上，
∴p＝(b＋1)2－2m(b＋1)＋2m－1
＝b2＋2b－2mb，
q＝(2m－b)2－2m(2m－b)＋2m－1
＝4m2－4mb＋b2－4m2＋2mb＋2m－1
＝b2－2mb＋2m－1.
∴p－q＝b2＋2b－2mb－(b2－2mb＋2m－1)
＝b2＋2b－2mb－b2＋2mb－2m＋1
＝2b－2m＋1
＝2(b－m)＋1.
∵b－m＜－1，
∴2(b－m)＋1＜－1.
∴p－q＜－1.
∴p＜q－1.
2.已知二次函数y＝ax2＋bx－2(a＞0)的图象经过点A(2，－2).
(1)求该二次函数图象的对称轴.
解：把A代入y＝ax2＋bx－2，
得4a＋2b－2＝－2.
整理，得2a＋b＝0.
∴－＝1.
∴该二次函数图象的对称轴为直线x＝1.
(2)若y＝ax2＋bx－2的最小值为－3，将该函数的图象向右平移2个单位长度，得到新的二次函数的图象.当0≤x≤5时，求新的二次函数的最大值与最小值的和.
解：由(1)，知当x＝1时，y最小＝a＋b－2＝－3.
∴a＋b＝－1.
∵2a＋b＝0，
∴
解得
∴原二次函数的表达式为y＝x2－2x－2.
∴向右平移2个单位长度后的新二次函数的表达式为y＝2－2－2＝x2－6x＋6.
∴新的二次函数的图象的对称轴为直线x＝3.
故当x＝3时，y有最小值，y最小＝－3.
∵新的二次函数的图象开口向上，直线x＝0距离对称轴比直线x＝5距离对称轴更远，
∴新函数的最大值在x＝0处取到，即y最大＝6.
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为6＋(－3)＝3.
(3)设y＝ax2＋bx－2的图象与x轴的交点坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且x1＜x2.若4＜－＜8，求a的取值范围.
解：由(1)，知b＝－2a.
∴y＝ax2＋bx－2＝ax2－2ax－2.
∵图象与x轴的交点坐标分别为，且x1＜x2，
∴x1，x2是一元二次方程ax2－2ax－2＝0的两个根.
∴x1＋x2＝－＝2，x1x2＝＝－.
∵－＝，
2＝2－4x1x2
＝4－4×＝4＋，
∴x2－x1＝＝2.
∴－＝4.
∴4＜4＜8，即1＜＜2.
∴1＜1＋＜4.
∴0＜＜3.
解得a＞.(共7张PPT)
专题六 实际应用题(2)
1.某畅销书的售价为每本20元，每星期可卖出300本，某书城准备开展读书节活动降价促销此畅销书.经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出20本.设每本降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，那么y与x之间的函数关系式为( )
A.y＝(20－x)(300＋10x) B.y＝(20－x)(300＋20x)
C.y＝(20－2x)(300＋10x) D.y＝(20－2x)(300＋20x)
A
2.如图，小区物业计划在一个长60 m、宽22 m的矩形场地ABCD上修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽x m的道路，中间是宽2x m的道路.如果阴影部分的总面积是600 m2，那么x满足的方程是( )
A.x2－41x＋180＝0
B.x2－41x＋225＝0
C.x2－41x＋30＝0
D.x2－41x－270＝0
A
3.某药品原价为60元/盒，降价两次后，现在售价为48.6元/盒，则该药品平均降价率是__________.
10％
4.赛龙舟是中国端午节的习俗之一，也是一项备受欢迎的民俗体育运动.某市计划举办一场划龙舟比赛，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图(可看作抛物线的一部分).已知水面的宽度OA为60 m，拱桥最高点到水面OA的距离为9 m，设桥拱上的点到水面的竖直高度为y m，到点O的水平距离为x m.
(1)以O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOy，求y与x的函数关系式.
解：由题意，知拱桥所在抛物线的顶点为(30，9).
设拱桥所在抛物线的函数关系式为y＝k(x－30)2＋9.
将(0，0)代入y＝k(x－30)2＋9，得
900k＋9＝0.
解得k＝－0.01.
∴y与x的函数关系式为y＝－0.01(x－30)2＋9＝－0.01x2＋0.6x.
(2)据调查，龙舟最高处距离水面2 m，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为3 m.要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为8 m，求最多可设计多少条龙舟赛道.
解：当y＝5时，－0.01(x－30)2＋9＝5.
解得x＝10或x＝50.
∴可设计赛道的宽度为50－10＝40(m).
∵40÷8＝5，
∴最多可设计5条龙舟赛道.(共9张PPT)
专题八 等腰(边)三角形的性质与判定
1.(2025漳州模拟)如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠A＝50°，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN交AC于点D，连接BD，则∠CBD的大小是( )
A.15° B.20°
C.25° D.30°
B
2.如图，以正五边形ABCDE的边CD为一边，向内作等边三角形OCD，连接BD，BO，则∠OBD的度数为( )
A.24° B.30°
C.36° D.48°
B
3.(2025泉州洛江区模拟)如图，在△ABC中，∠C＝60°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点C的对应点E恰好落在边BC上，若AC＝5，则CE＝_______.
5
4.如图，点D在等边三角形ABC的边BC的延长线上，CD＝AC＝2，连接AD，则AD的长为______.
2
5.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，将△ABC沿其底边中线AD向下平移，使A的对应点A′满足AA′＝AD，则平移前后两三角形重叠部分的面积是_____.
6.如图，已知△ABC是黄金三角形(顶角为36°的等腰三角形)，AB＝AC，D为AC上一点，将△ABC沿BD折叠，使得点A落在BC延长线上的点E处，若AB＝1，则CE的长为______.
7.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD＝AE，BD＝BC.
(1)若∠A＝28°，求∠ACD的度数；
解：∵∠ACB＝90°，∠A＝28°，
∴∠B＝180°－∠A－∠ACB＝62°.
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝＝59°.
∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝31°.
(2)若AE＝EC＝4，求sin A的值.
解：设BD＝BC＝x.
∵AE＝EC＝AD＝4，
∴AB＝AD＋BD＝x＋4，AC＝AE＋CE＝8.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB2＝AC2＋BC2.
∴(x＋4)2＝82＋x2.
解得x＝6.
∴BC＝6，AB＝10.
∴sin A＝＝.(共10张PPT)
专题一 利用整体代换恒等变形
1.若点P(a，b)在函数y＝3x－2的图象上，则代数式6a－2b＋1的值为
( )
A.－1 B.－3
C.3 D.5
D
2.定义：x※y＝－.已知x－y＝4，x※y＝2，则xy2－x2y＝( )
A.－8 B.8
C.－32 D.32
B
3.(2025福州台江区模拟)已知a，b满足＋＝，则2的值为_______.
2
4.已知a－b－3＝0，求代数式的值.
解：原式＝
＝
＝
＝.
∵a－b－3＝0，
∴a－b＝3.
∴原式＝.
5.已知2x2＋2x－1＝x，求代数式(x－2)2－(3x＋2)(3x－2)的值.
解：原式＝x2－4x＋4－(9x2－4)
＝x2－4x＋4－9x2＋4
＝－8x2－4x＋8.
∵2x2＋2x－1＝x，
∴2x2＋x＝1.
∴原式＝－4(2x2＋x)＋8＝－4×1＋8＝4.
6.先化简，再求值：÷，其中a满足a2－3a－5＝0.
解：原式＝［－］÷
＝［－］×
＝×
＝×
＝－
＝－.
∵a2－3a－5＝0，
∴a2－3a＝5.
∴原式＝－.
7.规定：f(x)是关于x的多项式.例：当f(x)＝2x＋1时，f(－x)＝2 (－x)＋1＝－2x＋1；f(2)＝2×2＋1＝5.若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a，b，c，d均为常数)，且对任意的x都有f(－x)＝－f(x)，f(2)＝0，求的值.
解：f(－x)＝a (－x)3＋b (－x)2＋c (－x)＋d＝－ax3＋bx2－cx＋d.
－f(x)＝－ax3－bx2－cx－d.
∵f(－x)＝－f(x)，
∴－ax3＋bx2－cx＋d＝－ax3－bx2－cx－d.
∴2bx2＋2d＝0.
∵对任意的x都有f(－x)＝－f(x)，
∴b＝0，d＝0.
∵f(2)＝23 a＋22 b＋2c＋d＝0，
∴8a＋4b＋2c＋d＝0.
∴8a＋2c＝0.∴c＝－4a.
∴＝＝－.(共9张PPT)
专题四 数、式、方程中的代数推理
1.(2025泉州二检)设是一个四位数，下列说法正确的是( )
A.若a＋c＝b＋d，则这个数是11的倍数
B.若a＋c＝b－d，则这个数是11的倍数
C.若a－c＝b＋d，则这个数是11的倍数
D.若a－c＝b－d，则这个数是11的倍数
A
2.已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，c＞0，3a＋2b＋c＞0.求证：
(1)a＞c；
证明：∵a＋b＋c＝0，3a＋2b＋c＞0，
∴3a＋2b＋c＝(a＋b＋c)＋2a＋b
＝2a＋b＞0，b＝－a－c.
∴2a－a－c＞0，
即a－c＞0.
∴a＞c.
(2)－2＜＜－1.
证明：∵b＝－a－c，c＞0，
∴b＜－a.
∵2a＋b＞0，
∴－2a＜b.
∴－2a＜b＜－a.
又a＞c＞0，
∴－2＜＜－1.
3.(2025南平二检节选)已知两个不相等的正数a，b满足a＋b＝2.求证：关于x的方程ax2＋2ax＋2a－1＝0，bx2＋2bx＋2b－1＝0不可能同时有实数根.
证明：假设关于x的方程ax2＋2ax＋2a－1＝0，bx2＋2bx＋2b－1＝0都有实数根，
则有Δ1＝(2a)2－4a(2a－1)＝－4a2＋4a＝－42＋1≥0，
Δ2＝(2b)2－4b(2b－1)＝－4b2＋4b＝－42＋1≥0.
∵二次函数y＝－42＋1的图象与x轴的交点坐标分别为(0，0)，(1，0)，且图象开口向下，
∴当y≥0时，0≤x≤1.
∴当Δ1≥0时，0≤a≤1，
当Δ2≥0时，0≤b≤1.
∴0≤a＋b≤2.
∵a，b是两个不相等的正数，
∴0＜a＋b＜2，与a＋b＝2矛盾.
∴假设不成立.
∴关于x的方程ax2＋2ax＋2a－1＝0，bx2＋2bx＋2b－1＝0不可能同时有实数根.
4.对任意一个四位数a，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，那么称a为“极数”.
(1)判断3 564是否为“极数”，并说明理由.
解：3 654为“极数”.理由：
∵3＋6＝9，5＋4＝9，
∴3 564为“极数”.
(2)如果一个正整数m是另一个正整数n的平方，那么称正整数m是完全平方数.已知四位数b为“极数”，设t＝，若t是完全平方数，求满足这样条件的b的值.
解：设这个四位数b的千位上的数字为x，百位上的数字为y(x，y为正整数，且1≤x≤9，0≤y≤9).
∵b为“极数”，
∴b的十位上的数字为9－x，个位上的数字为9－y.
∴b＝1 000x＋100y＋10(9－x)＋(9－y)
＝990x＋99y＋99＝99(10x＋y＋1).
∴t＝＝10x＋y＋1.
∵t是完全平方数，
∴10x＋y＋1是完全平方数，可取16，25，36，49，64，81，100.
当10x＋y＋1＝16时，x＝1，y＝5，此时b＝1 584；
当10x＋y＋1＝25时，x＝2，y＝4，此时b＝2 475；
当10x＋y＋1＝36时，x＝3，y＝5，此时b＝3 564；
当10x＋y＋1＝49时，x＝4，y＝8，此时b＝4 851；
当10x＋y＋1＝64时，x＝6，y＝3，此时b＝6 336；
当10x＋y＋1＝81时，x＝8，y＝0，此时b＝8 019；
当10x＋y＋1＝100时，x＝9，y＝9，此时b＝9 900.
∴满足条件的b的值为1 584，2 475，3 564，4 851，6 336，8 019，9 900.(共11张PPT)
专题二
含参方程(组)与不等式(组)的求解
1.关于x的一元一次不等式组的两个不等式的解集在数轴上表示如图所示，则a－b的值为_______.
3
2.若不等式组无解，则a的取值范围为__________.
a≥4
3.关于x的不等式组有且只有四个整数解，则a的取值范围是_________________.
－4＜a≤－3
4.已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程＝1－的解为正整数，则满足条件的所有整数a的乘积为_______.
8
5.已知关于x，y的方程组若2＜k＜4，t＝x－y，则t的取值范围是_____________.
0＜t＜1
6.若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”.例如：方程x－1＝3的解为x＝4，而不等式组的解集为2＜x＜5，不难发现x＝4在2＜x＜5的范围内，所以方程x－1＝3是不等式组的“关联方程”.
(1)若关于x的方程2x－k＝6是不等式组的“关联方程”，求k的取值范围；
解：
解不等式①，得x－1.
解不等式②，得x≤7.
∴原不等式组的解集为－1≤x≤7.
由方程2x－k＝6，得
x＝.
∵关于x的方程2x－k＝6是不等式组的“关联方程”，
∴－1≤≤7.
解得－8≤k≤8.
(2)若关于x的方程 －3m＝0是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求m的取值范围.
解：由关于x的方程 －3m＝0，得x＝6m－7.
解不等式①，得x＞0.
解不等式②，得x 3m＋1.
∴原不等式组的解集为0＜x 3m＋1.
∵不等式组有4个整数解，
∴整数解的值为1，2，3，4.
∴4≤3m＋1＜5.∴1≤m＜.
∵关于x的方程 －3m＝0是关于x的不等式组的“关联方程”，
∴解得＜m .
∴m的取值范围是＜m＜.(共11张PPT)
专题十二 函数的图象与性质——
二次函数
1.已知二次函数y＝a(x－h)2＋k(a＜0)的图象经过P(－6，－1)，Q(0，2)两点，则h的值可以是( )
A.－2 B.－3
C.－4 D.－5
A
2.已知二次函数y＝mx2－2mx＋n(m≠0)有最小值，点A(x1，y1)是该函数对称轴左侧图象上的点，点B(x2，y2)是对称轴右侧图象上的点，若x1＋x2＜2，则下列关于y1与y2大小关系表述正确的是( )
A.y1＞y2 B.y1＜y2
C.y1≥y2 D.y1≤y2
A
3.已知点P(m，n)在二次函数y＝x2＋2x－3的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是( )
A.－3＜n＜5 B.－3≤n＜5
C.－4＜n＜5 D.－4≤n＜5
D
4.若二次函数y1＝x2－2x，y2＝－x2＋4x－3，当1≤x≤4时，函数y1的最小值是m，函数y2的最小值是n，则m＋n＝_________.
－4
5.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋2a(a－3)x(a≠0)，设抛物线的对称轴为直线x＝t，点(x1，y1)，(x2，y2)是抛物线上两个点，当－1＜x1＜2时，对x1的每一个值，总存在x2，使得－1＜x2＜2，x2＞x1，且y2＞y1成立，则t的取值范围为___________.
t≤或t＞3
6.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2－2ax＋c(a＞0).
(1)当a＝c时，
①求抛物线的顶点坐标；
解：∵a＝c，
∴y＝ax2－2ax＋a＝a(x－1)2.
∴抛物线的顶点坐标为(1，0).
②将抛物线向下平移m个单位长度(m＞0)，若平移后的抛物线过点(0，－8)，且与x轴两交点之间的距离为6，求m的值.
解：将抛物线向下平移m个单位长度，所得抛物线的解析式为y＝ax2－2ax＋a－m.
将点(0，－8)代入，得a－m＝－8.
∴m＝a＋8.
∴y＝ax2－2ax＋a－a－8＝ax2－2ax－8.
设平移后的抛物线与x轴的两个交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，
∴x1＋x2＝－＝2，x1x2＝－.
∵平移后的抛物线与x轴两交点之间的距离为6，
∴｜x1－x2｜＝＝＝6.解得a＝1.
经检验，a＝1是原方程的解且符合题意.
∴m＝1＋8＝9.
(2)已知点M(2，2n＋1)，N(－1，3n＋2)在抛物线上，且c＜2，求n的取值范围.
解：由题意，得抛物线的对称轴为直线x＝－＝1.
∴点M(2，2n＋1)关于对称轴的对称点为(0，2n＋1).
将(0，2n＋1)，(－1，3n＋2)代入y＝ax2－2ax＋c，得
∴
∵a＞0，c＜2，
∴
解得－1＜n＜.(共11张PPT)
专题九 与特殊四边形有关的证明与计算
1.如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB＝4，则 ABCD的周长是( )
A.8＋8
B.16
C.48
D.48
A
2.如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，且AE＝2DE，BD与CE相交于点F，则△DEF与△BCF的面积之比是( )
A.1∶2
B.1∶3
C.1∶4
D.1∶9
D
3.如图，BD是菱形ABCD的对角线，AE⊥BC于点E，交BD于点F，且E为BC的中点，则tan∠AFD的值是( )
A.
C.
D
4.如图，已知点O是 ABCD的中心，过点O的两条直线与对角线AC将平行四边形分成阴影和空白两部分.若∠ABC＝135°，AB＝2，BC＝3，则阴影部分的面积为( )
A.3 B.3
C.6 D.
A
5.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作BD的平行线交AB的延长线于点E.
(1)求证：AC＝CE；
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AC＝BD.
∴BE∥CD.
∵BD∥CE，
∴四边形BDCE是平行四边形.
∴BD＝CE.
∴AC＝CE.
(2)若AB＝BO，CE＝4，求AB的长.
解：∵CE＝4，
∴BD＝CE＝4.
∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴BO＝BD＝2.
又AB＝BO，
∴AB＝2.
6.如图，已知 ABCD，E是BC延长线上一点，BD＝DE，且BD2＝AD BE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
证明：如图所示.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠1＝∠2.
∵BD2＝AD BE，
∴＝.
∴△ABD∽△DEB.
∴∠3＝∠4.
∵BD＝DE，
∴∠2＝∠3.
∴∠1＝∠4.
∴AB＝AD.
∴ ABCD是菱形.
(2)若CE＝2BC，求证：CD⊥DE.
证明：如图，过点D作DF⊥BE于点F.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD.
设AB＝BC＝CD＝AD＝a.
∵CE＝2BC，
∴CE＝2a.
∴BE＝BC＋CE＝a＋2a＝3a.
∵BD＝DE，
∴EF＝BF＝BE＝a.
∴CF＝BF－BC＝a－a＝a.
∴DF＝＝a.
∴DE＝＝＝a.
∵CD2＋DE2＝a2＋(a)2＝4a2，CE2＝(2a)2＝4a2，
∴CD2＋DE2＝CE2 .
∴∠CDE＝90°.
∴CD⊥DE.
