2025-2026学年人教A版数学必修第二册 6.4.3.2正弦定理 课时练习（含答案）

6.4.3.2正弦定理
一．选择题
1．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＋B＝，a＝3，c＝4，则sin A＝(　　)
A． B．
C． D．
2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
3．在△ABC中，b＝4，c＝2，C＝30°，那么此三角形(　　)
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．解的个数不确定
4．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，C＝，c＝，a＝x.若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是(　　)
A． B．(，2)
C．(1，2) D．(1，)
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　)
A． B．
C． D．
6．(多选题)对于△ABC，有如下命题，其中正确的有(　　)
A．若sin 2A＝sin 2B，则△ABC是等腰三角形
B．若△ABC是锐角三角形，则不等式sin A>cos B恒成立
C．若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC为钝角三角形
D．若AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为或
7.在△ABC中，一定成立的式子是(　　)
A．asin A＝bsin B B．asin A＝bcos B
C．asin B＝bsin A D．acos B＝b cos A
二．填空题
8．在△ABC中，AB＝，A＝75°，B＝45°，则AC＝________.
9．在△ABC中，已知a＝2，A＝60°，则△ABC的外接圆的直径为________.
10.在△ABC中，已知acos B＝bcos A，则△ABC一定是_______
三．解答题
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B．
(1)求角B的大小；
(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．
12．在△ABC中，已知c＝2bcos B，C＝.
(1)求B的大小．
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知条件，使△ABC存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．
①c＝b；
②周长为4＋2；
③面积为S△ABC＝.
6.4.3.2正弦定理
一．选择题
1．B　解析：因为A＋B＝，所以C＝.由＝，得＝8，所以sin A＝.故选B．
2．B　解析：由题意有＝b＝，得sin B＝1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形．故选B．
3．C　解析：由正弦定理和已知条件，得＝，所以sin B＝>1，所以此三角形无解．故选C．
4．B　解析：在△ABC中，根据正弦定理得＝，得＝，所以sin A＝x.由题意，可得当A∈时，满足条件的△ABC有两个，所以5．B　解析：由题意得sin(A＋C)＋sin A(sin C－cos C)＝0，
sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，
即sin C(sin A＋cos A)＝sin Csin＝0.
又sin C≠0，A∈(0，π)，所以A＝.
由正弦定理得＝，即＝，
即sin C＝，得C＝或C＝(舍)．故选B．
6．BCD　解析：对于A，因为sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B，或2A＋2B＝π，解得A＝B，或A＋B＝，则△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，因为△ABC是锐角三角形，所以>A>－B>0，所以sin A>sin，化为sin A>cos B恒成立，故B正确；
对于C，因为sin2A＋sin2B＋cos2C<1，所以sin2A＋sin2B<1－cos2C＝sin2C，由正弦定理可得a2＋b2对于D，因为AB＝，AC＝1，B＝30°，设BC＝x，由余弦定理可得12＝x2＋()2－2xcos 30°，化为x2－3x＋2＝0，解得x＝1或2，则△ABC的面积为××1×sin 30°＝，或××2×sin 30°＝，故D正确．
故选BCD．
7.解析　由正弦定理，asin B＝bsin A sin Asin B＝sin Bsin A．故选C．
二．填空题
8． 2　解析：由正弦定理，得＝，所以＝，
即AC＝×sin 45°＝×＝2.
9． 　解析：由正弦定理知，△ABC外接圆的直径2R＝＝＝.
10.解析：由正弦定理得：acos B＝bcos A sin Acos B＝sin Bcos A sin(A－B)＝0，
由于－π三．解答题
11．
解：(1)由正弦定理得＝＝2R，R为△ABC外接圆的半径．又bsin A＝acos B，
所以2Rsin Bsin A＝·2Rsin Acos B．
又sin A≠0，
所以sin B＝cos B，即tan B＝.
又因为0(2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a.
由b＝3及余弦定理得9＝a2＋c2－ac，
所以a2＋4a2－2a2＝9，解得a＝(负值已舍去)，故c＝2.
12．
解：(1)由正弦定理得＝，又c＝2bcos B，
得sin C＝2sin Bcos B＝sin 2B，则C＝2B(舍去)或C＋2B＝π，故B＝A＝.
(2)由(1)知，c＝b，故不能选①.
若选②，设BC＝AC＝2x，则AB＝2x，
故周长为(4＋2)x＝4＋2，解得x＝1.
从而BC＝AC＝2，AB＝2.
设BC的中点为D，则AD为边BC上的中线．在△ABD中，由余弦定理的推论，得cos B＝＝＝，解得AD＝.
若选③，设BC＝AC＝2x，则AB＝2x，
故S△ABC＝·(2x)2·sin ＝x2＝，
解得x＝，即BC＝AC＝，AB＝3.
设BC的中点为D，则AD为边BC上的中线．
在△ABD中，由余弦定理的推论得，
cos B＝＝＝，解得AD＝.
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