7.2 平行线 课件（5课时，106张PPT） 2025-2026学年数学人教版七年级下册

(共106张PPT)
7.2 平行线
平行线（第1课时）
　　如图，将两根木条 a，b 分别与木条 c 钉在一起，并把它们想象成在同一平面内两端无限延伸的三条直线．固定木条 b 和 c，转动木条 a．
思考
　　想象一下，在这个过程中，有没有直线 a 与直线 b 不相交的位置呢？
直线 a 在 c 的左侧与直线 b 相交
直线 a 在 c 的右侧与直线 b 相交
新知
　　在木条 a 转动的过程中，存在直线 a 与 b 不相交的位置．
在同一平面内，当直线 a ， b 不相交时，我们说直线 a 与 b 互相平行，记作“ a∥b”．
　　观察下面的动图，进一步理解平行与相交．
　　观察下面的动图，进一步理解平行与相交．
问题
　　在实际生活中，平行线随处可见，例如农田中平行的田垄、建筑物表面平行的栅格线（如图）．你还能举出其他例子吗？
思考
　　两条不相交的直线就是平行线吗？
　　不是；不在同一平面内，两条不相交的直线还有第二种可能，即异面（如图 AB 与 CD，以及现实中的立交桥）．
A
B
D
C
新知
　　在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线．
　　注意：
　 （1）两条直线平行必须具备两个条件：
　　①在同一平面内；②不相交．
　 （2）在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交与平行．
　 （3）两条线段或射线平行是指其所在的直线平行．
新知
　　可以借助直尺和三角尺画平行线．如图，保持直尺不动，沿直尺推动三角尺，分别画直线 a，b，则 a∥b．
b
a
　　如图，过点 B 画直线 a 的平行线，能画出几条？
思考
a
B
C
　　一般地，有如下关于平行线的基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
　　试着归纳出画平行线的步骤．
b
1条．
归纳
画平行线的步骤
　　一“落”：把三角尺一边落在已知直线上；
　　二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边；
　　三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺上与已知直线重合的边过已知点；
　　四“画”：沿三角尺上过已知点的边画直线．
　　如图，过点 C 画直线 a 的平行线，它和前面过点 B 画出的直线平行吗？
思考
a
B
C
b
c
　　猜想：如果 b∥a，c∥a，那么 b∥c．
　　试着证明你的猜想．
　　猜想：如果 b∥a，c∥a，那么 b∥c．
思考
a
B
C
b
c
　　证明：假设 b 与 c 不平行，
　　那么 b 与 c 相交，设交点为 P，
　　那么过点 P 就有两条直线 b 和 c 都与直线 a 平行，
　　而根据平行线的基本事实，这是不可能的，
　　所以 b∥c．
P
新知
　　　　由关于平行线的基本事实，可以进一步得到如下结论：
　　　　如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
　　也就是说：如果 b∥a，c∥a，那么 b∥c（如图）．
a
b
c
　　例1　下列说法中，正确的是（　　）．
　　A．若两条直线不相交，则它们平行
　　B．若两条线段不相交，则它们平行
　　C．若两条线段平行，则它们不相交
　　D．在同一平面内，两条直线的位置关系有三种：相交、垂直和平行
C
　　解析：选项A：未说明“在同一平面内”，故错误．
　　选项B：两条线段平行，是指它们所在的直线平行，而两条线段不相交，它们所在的直线可能相交，故错误．
　　选项C：两条线段平行，即它们所在的直线不相交，所以这两条线段也不相交，故正确．
　　选项D：垂直是相交的一种特殊情况，故错误．
　　例2　如图，P 是 AB 上一点，试过点 P 作 PM∥AC，交 BC 于点 M，过点 P 作 PN∥BC，交 AC 于点 N．
　　解：如图所示．
　　直线 PM，直线 PN 即为所求．
B
C
A
P
N
M
关于平行线的基本事实是过直线外一点作这条直线的平行线的依据．
　　例3　如图，直线 a∥b，b∥c，直线 d 与 a 相交于点 M．
　 （1）判断直线 a，c 的位置关系，并说明理由；
　 （2）判断直线 c，d 的位置关系，并说明理由．
　　解：（1）a∥c．理由如下：
　　因为 a∥b，b∥c，
　　所以 a∥c（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．
d
M
a
b
c
　　例3　如图，直线 a∥b，b∥c，直线 d 与 a 相交于点 M．
　 （1）判断直线 a，c 的位置关系，并说明理由；
　 （2）判断直线 c，d 的位置关系，并说明理由．
d
M
a
b
c
　　解：（2）c 与 d 相交．理由如下：
　　因为直线 a，d 都过点 M，且 a∥c，
　　所以 c 与 d 相交（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．
归纳
　　1．关于平行线的基本事实表述了平行的唯一性．
　　在关于平行线的基本事实中一定要强调“直线外一点”，否则不存在直线与已知直线平行．
　　2．关于平行线的基本事实的推论表述了平行的传递性．
　　在基本事实的推论中没有强调“在同一平面内”，事实上，在立体几何中，这个推论也是成立的．
平行线的画法
平行
平行线的定义
关于平行线的基本事实及其推论
平行线（第2课时）
　　1．平行线：在_________内，_______的两条直线叫作平行线．
　　2．平行线的基本事实：过直线_____一点_________一条直线与这条直线_____．
　　3．平行线的基本事实的推论：如果两条直线都与第三条直线_____，那么这两条直线也_________．
　　也就是说：如果 b∥a，c∥a，那么 b___c．
不相交
同一平面
外
有且只有
平行
平行
互相平行
∥
　　我们上节课利用直尺和三角尺画平行线的过程中，三角尺起着什么样的作用？
思考
b
a
思考
　　记紧贴三角尺的直尺的边所在直线为c（如图）．可以看出，画互相平行的直线a和b，实际上就是分别画相等的∠l和∠2的一条边，而∠l和∠2的正是直线a，b被直线c截得的同位角．这说明，如果同位角∠l=∠2，那么a∥b．
　　我们上节课利用直尺和三角尺画平行线的过程中，三角尺起着什么样的作用？
1
2
b
a
c
归纳
　　判定方法 1
　　文字语言：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．
　　简单说成：同位角相等，两直线平行．
　　符号语言：因为∠1＝∠2，
　　所以 a∥b．
1
2
b
a
c
　　观察下面的动图，进一步理解“同位角相等，两直线平行”．
　　观察下面的动图，进一步理解“同位角相等，两直线平行”．
　　两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角．由同位角相等，可以判定两条直线平行，能否利用内错角或同旁内角来判定两条直线平行呢？
　
思考
　　如图，直线a，b被直线c所截．
（1）内错角∠1与∠2满足什么条件时，能得出 a∥b ？
探究
　　如果∠1＝∠2，由判定方法 1，能得到a∥b ，理由如下：
因为∠1＝∠2，而∠2＝∠4（对顶角相等），
　　所以∠1＝∠4，即同位角相等，从而 a∥b．
　　
4
1
b
3
a
c
2
这样，就得到了利用内错角判定两条直线平行的方法．
归纳
　　判定方法 2
　　文字语言：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
　　简单说成：内错角相等，两直线平行．
　　符号语言：因为∠2＝∠3，
　　所以 a∥b．
2
b
a
c
3
　　观察下面的动图，进一步理解“内错角相等，两直线平行”．
　　观察下面的动图，进一步理解“内错角相等，两直线平行”．
　　如图，直线a，b被直线c所截．
（2）同旁内角∠1与∠3满足什么条件时，能得出 a∥b ？
探究
如果∠1与∠3互补，由判定方法1或判定方法2，能得到a∥b，理由如下：
因为∠1＋∠3＝180°，∠3＋∠4＝180°，
　　所以∠1＝∠4，即同位角相等，从而 a∥b．
　　这样，由判定方法1，就得到了利用同旁内角判定两条直线平行的方法．
3
4
1
b
a
c
2
归纳
4
　　判定方法 3
　　文字语言：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
　　简单说成：同旁内角互补，两直线平行．
　　符号语言：因为∠2＋∠4＝180°，
　　所以 a∥b．
2
b
a
c
　　观察下面的动图，进一步理解“同旁内角互补，两直线平行”．
　　观察下面的动图，进一步理解“同旁内角互补，两直线平行”．
　　例1　在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
　　分析：垂直总与直角联系在一起，进而可以用相应角的关系来判断两条直线是否平行．
1
2
a
b
c
　　解：这两条直线平行．理由如下：
如右图．
　　∵b⊥a，∴∠1＝90°．
　　同理∠2＝90°．
　　∴∠1＝∠2．
　　又∠1 和∠2 是同位角，
　　∴b∥c（同位角相等，两直线平行）．
　　此处符号“∵”表示“因为”，符号“∴”表示“所以”．
　　例1　在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
归纳
　　判定方法的推论
　　文字语言：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
　　符号语言：因为 a⊥b，a⊥c，
　　所以 b∥c．
a
b
c
一定要注意“在同一平面内”这个条件．
　　例2　如图，已知∠1＝∠2，问：再添加什么条件可使 AB∥CD？
　　解：方法 1：添加∠MBE＝∠MDF．
　　方法 2：添加∠EBN＝∠FDN．
　　方法 3：添加∠EBD＋∠BDF＝180°．
　　方法 4：添加 EB⊥MN，FD⊥MN．
1
2
M
B
D
N
F
C
E
A
内错角相等，两直线平行
平行线的判定
同位角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
平行线（第3课时）
　　1．在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线．
　　2．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．　
　　3．同位角相等，两直线平行．
　　4．内错角相等，两直线平行．
　　5．同旁内角互补，两直线平行．
　　6．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
　　平行线的判定方法有哪些？
　　1．如图，已知 AC，BC 分别是∠BAD，∠ABE 的平分线，且∠1＋∠2＝90°．试说明：AD∥BE．
　　解：∵AC，BC 分别是∠BAD，
∠ABE 的平分线，
　　∴∠1＝　∠BAD，∠2＝　∠ABE．
　　∵∠1＋∠2＝90°，
　　∴∠BAD＋∠ABE＝2(∠1＋∠2)＝180°，
　　∴AD∥BE．
类型一、平行线判定的灵活应用
B
E
A
D
C
1
2
归纳
　　在判定两直线平行时，往往已知角并不是所需的同位角、内错角、同旁内角，这时要挖掘题目或图形中的其他条件，如角平分线、对顶角、邻补角等来进行转化．
1
　　2．如图，已知∠ADE＝60°，DF 平分∠ADE，∠1＝30°．
试说明：DF∥BE．
A
B
C
D
E
F
　　解：∵DF 平分∠ADE，∠ADE＝60°，
　　∴∠EDF＝　∠ADE＝30°．
　　∵∠1＝30°，
　　∴∠EDF＝∠1，
　　∴DF∥BE．
类型一、平行线判定的灵活应用
　　3．如图，AB⊥BD 于点 B，CD⊥BD 于点 D，∠1＝∠2，CD 与 EF 平行吗？为什么？
B
类型一、平行线判定的灵活应用
1
2
F
D
A
E
C
类型一、平行线判定的灵活应用
　　解：CD∥EF．理由如下：
　　∵AB⊥BD，CD⊥BD，
　　∴∠B＝∠D＝90°．
　　∴∠B＋∠D＝180°．
　　∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
　　∵∠1＝∠2，
　　∴AB∥EF（同位角相等，两直线平行）．
　　∴CD∥EF．
B
1
2
F
D
A
E
C
　　分析：本题要判断 AB 与 CD 的位置关系，由图可判断是平行关系，关键是通过作辅助线“搭桥”来严格说明．
　　4．如图，已知∠BED＝∠B＋∠D，试说明 AB 与 CD 的位置关系．
类型二、平行线判定中辅助线的应用
B
A
D
C
E
　　解：如图，在∠BED 内部作∠BEF＝∠B，则 AB∥EF．
　　∵∠BED＝∠B＋∠D，∠BED＝∠BEF＋∠DEF，
　　∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF，
　　∴∠DEF＝∠D，
　　∴CD∥EF．
　　∴AB∥CD．
　　4．如图，已知∠BED＝∠B＋∠D，试说明 AB 与 CD 的位置关系．
B
A
D
C
E
F
类型二、平行线判定中辅助线的应用
归纳
　　添加辅助线（直线、射线或线段）是解决几何论证和计算问题的重要手段，它是连接已知与未知的“桥梁”．当题目中已有的图形不能够或不容易解决问题时，往往考虑添加辅助线，构造出一些基本的几何图形解决问题．
　　5．如图，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°，试判断 AB 与 EF 的位置关系，并说明理由．
　　解：如图，在∠BCD 的内部作∠BCM＝25°，在∠CDE 内部作∠NDE＝10°．
　　∵∠B＝25°，∠E＝10°，
　　∴∠B＝∠BCM，∠E＝∠NDE．
A
C
B
E
F
D
M
N
类型二、平行线判定中辅助线的应用
　　根据“内错角相等，两直线平行”知，AB∥CM，EF∥DN，
　　又∵∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，
　　∴∠DCM＝20°，∠CDN＝20°，
　　即∠DCM＝∠CDN．∴DN∥CM．
　　又∵AB∥CM，EF∥DN，
　　∴AB∥EF．
A
C
B
E
F
D
M
N
　　5．如图，已知∠B＝25°，∠BCD＝45°，∠CDE＝30°，∠E＝10°，试判断 AB 与 EF 的位置关系，并说明理由．
类型二、平行线判定中辅助线的应用
　　6．一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上行驶，那么两次拐弯的方向可能是（　　）．
　　A．先右转 50°，后右转 40°
　　B．先右转 50°，后左转 40°
　　C．先右转 50°，后左转 130°
　　D．先右转 50°，后左转 50°
D
类型三、平行线判定的实际应用
　　解析：汽车行驶的方向不变，即汽车拐弯前与两次拐弯后的行驶方向所在的直线互相平行．如图，先右转后左转的两个角是同位角，根据同位角相等，两直线平行，可知选项 D 正确．
A
B
C
D
汽车行驶方向
类型三、平行线判定的实际应用
归纳
　　解答此类问题的关键在于先画出示意图，准确地找到拐角，将实际问题转化为数学问题，再利用平行线的几种判定方法进行判定．
　　7．如图，在海上有两个观测所 A 和 B，且观测所 B 在 A 的正东方向．若在观测所 A 测得船 M 的航行方向是北偏东 55°，在观测所 B 测得船 N 的航行方向也是北偏东 55°，问：船 M 的航向AM 与船 N 的航向 BN 是否平行？请说明理由．
类型三、平行线判定的实际应用
A
B
C
N
M
F
E
北
北
　　解：航向 AM 与 BN 平行．理由如下：
　　∵船 M 的航行方向与船 N 的航行方向都是北偏东 55°，
　　∴∠EAM＝∠FBN＝55°，
　　∴∠MAC＝∠NBC＝90°－55°＝35°．
　　∴AM∥BN（同位角相等，两直线平行），
　　即船 M 的航向 AM 与船 N 的航向 BN 平行．
类型三、平行线判定的实际应用
A
B
C
N
M
F
E
北
北
归纳
　　题目中表示航行方向北偏东 55°的两个角不是同位角，判定两直线平行时，必须先转化为同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，再判定．
平行线判定中辅助线的应用
平行线判定的应用
平行线判定的灵活应用
平行线判定的实际应用
平行线（第4课时）
　　利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直线平行．反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？这就是下面要学行线的性质．
　　类似于研究平行线的判定，我们先来研究两条直线平行时，它们被第三条直线截得的同位角的关系．
探究
　　如图，画两条平行线 a∥b，然后任意画一条截线 c 与这两条平行线相交，度量所形成的八个角的度数，把结果填入下表：
a
b
c
1
2
3
4
5
6
7
8
角 ∠1 ∠2 ∠3 ∠4
度数
角 ∠5 ∠6 ∠7 ∠8
度数
120°
120°
60°
60°
120°
120°
60°
60°
　　在∠1，∠2，…，∠8中，哪些是同位角？它们的度数有什么关系？
a
b
c
1
2
3
4
5
6
7
8
　　同位角有：∠1和∠5，∠2和∠6，∠4和∠8，∠3和∠7．
每对同位角的度数都相等．
　　由此猜想两条平行线被第三条直线截得的同位角有什么关系．
　　猜想：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．
1′
2′
3′
4′
a
b
c
1
2
3
4
5
6
7
8
　　利用信息技术工具改变截线c的位置，同样度量并比较各对同位角的度数，你的猜想还成立吗
d
5′
6′
7′
8′
　　截线 d 与这两条平行线相交．
经度量，∠1′＝∠5′＝∠3′＝∠7′＝70°， ∠2′＝∠6′＝∠4′＝∠8′＝110°．
猜想成立．
归纳
性质 1：两条_________被第三条直线所截，_______相等．
简单说成：两直线平行，________相等．
平行直线
同位角
同位角
符号语言：
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2．
A
B
C
D
E
F
1
2
仔细观察下面的动图，巩固对平行线的性质 1 的掌握．
仔细观察下面的动图，巩固对平行线的性质 1 的掌握．
思考
　　前面我们利用“同位角相等，两直线平行”推出了“内错角相等，两直线平行”．类似地，你能由性质 1，根据下图，推出两条平行直线被第三条直线截得的内错角之间的关系吗？
a
b
c
1
2
3
猜想：∠1＝∠2．
a
b
c
1
2
3
　　如图，已知直线 a∥b，c 是截线．试说明∠1＝∠2．
解：∵a∥b，
∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
又∠1＝∠3(对顶角相等)，
∴∠1＝∠2．
归纳
性质 2：两条_________被第三条直线所截，_______相等．
简单说成：两直线平行，________相等．
平行直线
内错角
内错角
A
B
C
D
E
F
1
2
符号语言：
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2．
仔细观察下面的动图，巩固对平行线的性质 2 的掌握．
仔细观察下面的动图，巩固对平行线的性质 2 的掌握．
思考
　　由性质1或性质2，可以推出平行线关于同旁内角的什么性质？
a
b
c
1
2
3
4
猜想：∠2＋∠4＝180°．
a
b
c
1
2
3
4
　　如图，已知直线 a∥b，c 是截线．试说明∠4＋∠2＝180°．
解：∵a∥b，
∴∠3＝∠2(两直线平行，同位角相等)．
∵∠3＋∠4＝180°，
∴∠4＋∠2＝180°．
归纳
性质3：两条_________被第三条直线所截，__________互补．
简单说成：两直线平行，___________互补．
平行直线
同旁内角
同旁内角
符号语言：
A
B
C
D
E
F
1
2
∵AB∥CD，
∴∠1＋∠2＝180°．
仔细观察下面的动图，巩固对平行线的性质 3 的掌握．
仔细观察下面的动图，巩固对平行线的性质 3 的掌握．
　　同位角相等、内错角相等、同旁内角互补都是平行线特有的性质，切不可忽略“两直线平行”这一前提条件．当两条直线不平行时，同位角、内错角就不相等，同旁内角也不互补．
　　例1　如图，直线 l 与直线 a，b 相交，若 a∥b，∠1＝70°，则∠2 的度数是多少？
a
b
l
1
2
　　解法一：∵∠1与∠3互为邻补角，
　　∴∠3＝180°－∠1＝110°．
　　又a∥b，
　　∴∠2＝∠3＝110°(两直线平行，内错角相等)．
3
　　例1　如图，直线 l 与直线 a，b 相交，若 a∥b，∠1＝70°，则∠2 的度数是多少？
　　解法二：∵∠1与∠4互为邻补角，
　　∴∠4＝180°－∠1＝110°．
　　又a∥b，
　　∴∠2＝∠4＝110°(两直线平行，同位角相等)．
a
b
l
1
2
4
　　例1　如图，直线 l 与直线 a，b 相交，若 a∥b，∠1＝70°，则∠2 的度数是多少？
　　解法三：∵∠1与∠5互为对顶角，
　　∴∠5＝∠1＝70°．
　　又a∥b，
　　∴∠2＝180°－∠5＝110°(两直线平行，同旁内角互补)．
a
b
l
1
2
5
　　当题目的已知条件中出现两直线平行时，要考虑到平行线的性质，从而将直线的位置关系转化为角的数量关系．
　　应用平行线的性质解题时要辨析清楚“三线八角”，并将它们的关系记准确．
　　例2　如图，已知∠1＝108°，∠2＝72°，∠3＝60°，试求∠4 的度数．
a
b
2
4
1
3
　　解：∵∠1＋∠2＝108°＋72°＝180°，
　　∴a∥b(同旁内角互补，两直线平行)．
　　∴∠4＝∠3＝60°(两直线平行，同位角相等)．
　　几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某些“数量关系”有着内在联系．由角的相等或互补关系，得到两条直线平行的结论是判定方法；而由两条直线平行，得到角相等或互补关系的结论是平行线性质的应用．
平行线的性质
性质 1
性质 2
性质 3
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
平行线（第5课时）
平行线的性质 1
平行线的性质 2
平行线的性质 3
两直线平行，同位角相等．
两直线平行，内错角相等．
两直线平行，同旁内角互补．
本节课，我们针对平行线的性质的应用，展开学习．
　　例1　如图，直线 AB∥CD，OG 是∠EOB 的平分线，∠EFD＝70°，则∠BOG 的度数是（　　）．
　　A．70° B．20°
　　C．35° D．40°
解析：∵AB∥CD，∴∠EOB＝∠EFD＝70°，
又OG 平分∠EOB，
∴∠BOG＝ ∠EOB＝ ×70°＝35°．
C
　　
　　（1）在确定两角之间数量关系或求角度的问题中，如果有平行线，那么先考虑平行线的性质；
　　（2）利用平行线的性质求角的度数时，一定要弄清楚所求角与已知角的关系．
　　例2　如图，CD⊥AB 于点 D，点 F 是 BC上任意一点，FE⊥AB 于点 E，∠1＝∠2，∠3＝62°，求∠BCA的度数．
解：∵CD⊥AB，FE⊥AB，
∴∠BEF＝∠BDC＝90°．
∴FE∥CD，∴∠2＝∠BCD．
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD．
∴DG∥BC．
∴∠BCA＝∠3＝62°．
　　
　　遇到平行线的条件时就要联想到角的相等或互补；遇到角的相等或互补时就要联想到两直线平行；遇到垂直的条件时就要联想到垂直的性质．
　　例3　如图，AD 是∠BAC 的平分线，∠2＝∠3，试说明∠3＝∠G．
解：∵AD 平分∠BAC，
∴∠1＝∠2．
又∠2＝∠3，∴∠1＝∠3 ．
∴GE∥AD(内错角相等，两直线平行)．
∴∠2＝∠G(两直线平行，同位角相等)．
∴∠3＝∠G．
　　
平行线的性质与判定的选择
　　（1）由角的关系得到平行，用的是平行线的判定．
　　（2）由两直线平行得到角的关系，用的是平行线的性质．
　　例4　如图，AB∥CD，BE 平分∠ABC，CE 平分∠BCD，则∠1 与∠2 之间有什么数量关系？说明理由．
解：∠1＋∠2＝90°．理由如下：
∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，
∴∠1＝ ∠ABC，∠2＝ ∠BCD．
∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°．
∴∠1＋∠2＝ ∠ABC＋ ∠BCD＝ (∠ABC＋∠BCD)
＝ ×180°＝90°．
　　
　　要确定两个角之间的数量关系，关键是看这两个角属于哪一类角，当角不是由两平行直线被第三条直线所截而形成的同位角、内错角或同旁内角时，一般要考虑这两个角与这三类角之间有无倍、分关系．
　　例5　如图，已知 BE∥CF，∠1＝∠2，请判断直线 AB 与CD 是否平行，并说明理由．
解：∵BE∥CF，
根据“两直线平行，内错角相等”，
∴∠EBC＝∠BCF，
又∠1＝∠2，
∴∠1＋∠EBC＝∠2＋∠BCF，
即∠ABC＝∠BCD．
根据“内错角相等，两直线平行”，得 AB∥CD．
　　例6　如图，已知 AD∥BC，∠A＝∠C，试说明 AB 和 CD的位置关系．
解：AB∥CD．理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠C＝∠CDE．
∵∠A＝∠C，
∴∠A＝∠CDE．
∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．
　　
　　在利用平行线的性质或判定时，一定要看清楚直线与角的位置关系，分清同位角、内错角、同旁内角是由哪两条直线被哪条直线所截而成的．
　　例7　一块梯形铁片的残余部分如图所示，量得∠A＝100°，∠B＝115°，梯形的另外两个角∠D，∠C 分别是多少度？
D
C
A
B
　　解：因为梯形上、下两底 DC 与 AB 互相平行，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得∠A与∠D互补，∠B与∠C互补．于是
　　∠D＝180°－∠A＝180°－100°＝80°，
　　∠C＝180°－∠B＝180°－115°＝65°．
　　
所以梯形的另外两个角∠D，∠C分别是 80°，65°．
　　例8　如图，MN，EF 表示两面互相平行的镜子，一束光线AB 照射到镜面 MN上，反射光线为 BC，此时∠1＝∠2；光线 BC经过镜面 EF 反射后的光线为 CD，此时∠3＝∠4．试判断 AB 与CD 的位置关系，并说明理由．
解：AB∥CD．理由如下：
∵MN∥EF，∴∠2＝∠3(两直线平行，内错角相等)．
∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠3＝∠4，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4．
∵∠1＋∠ABC＋∠2＝180°，∠3＋∠BCD＋∠4＝180°，
∴∠ABC＝∠BCD．
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
　　
　　实际问题一般要转化为数学问题解决，解决此类问题的关键是利用平行线的性质求有关角的度数．
平行线的性质
应用
计算角的度数
判断边的位置关系
实际生活中的应用