2025-2026学年人教A版数学选择性必修第三册 6.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用 课时提升练（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年人教A版数学选择性必修第三册 6.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用 课时提升练（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 98.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-23 00:00:00 | ||
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文档简介
6.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用
一．选择题
1．某年级要从3名男生、2名女生中选派3人参加某次社区服务．如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有( )
A．6种 B．7种
C．8种 D．9种
2．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A．3 B．4
C．6 D．8
3．现有15个不同的小球，其中红球4个、黄球5个、绿球6个，则下列说法不正确的是( )
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地随机选出2个球，有210种不同的选法
4．已知集合A＝{0,1,2,3,4}，且a，b，c∈A，用a，b，c组成一个三位数，这个三位数满足“十位上的数字比其他两个数位上的数字都大”，则这样的三位数的个数为( )
A．14 B．17
C．20 D．23
5．算筹为我国古代数学的发展作出了很大贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表：
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：
如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为( )
A．46 B．44
C．42 D．40
二．填空题
6．某外语组9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各1人，则不同的选法有________种．
7．甲、乙、丙3位志愿者被安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两人前面，则不同的安排方法共有________种．
8．在一个三位数中，若十位数字小于个位数字和百位数字，则称该数为“驼峰数”，比如102,546．由数字1,2,3,4构成的无重复数字的“驼峰数”有________个，其中偶数有________个．
9．某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙处，需要经过5个转运环节，其中第1,2两个环节各有a，b两种运输方式，第3,4两个环节各有b，c两种运输方式，第5个环节有d，e两种运输方式．则快件从甲处送到乙处恰好用到4种运输方式的不同送达方式有________种．
10．如图是某校的校园设施平面示意图，现用不同的颜色为各区域着色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可供使用，则有________种不同的着色方法．
11．如图，由连接正八边形的三个顶点而组成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个．
12．有一密码为802136的手提保险箱，现在显示的号码为721080，要打开箱子，至少旋转________次．(每个旋钮上转出一个新数字为一次旋转，逆转、顺转都可以)
三．解答题
13．用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且比2 000 大的四位偶数？
14．某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域(有公共边)不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有多少种？
6.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用
一．选择题
1．D 解析：按女生人数分类：若选派1名女生，有2×3＝6种方案；若选派2名女生，则有1×3＝3种方案．由分类加法计数原理，共有6＋3＝9种不同的选派方案．
2．D 解析：以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.以4为首项的等比数列为4,6,9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个等比数列，所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8个．
3．C 解析：对于A，从中任选1个球，有4＋5＋6＝15种不同的选法，故选项A正确；对于B，若每种颜色选出1个球，有4×5×6＝120种不同的选法，故选项B正确；对于C，若要选出不同颜色的2个球，有4×5＋5×6＋4×6＝74种不同的选法，故选项C错误；对于D，若要不放回地随机选出2个球，有15×14＝210种不同的选法，故选项D正确．故选C.
4．C 解析：由题意知，集合A＝{0,1,2,3,4}，且a，b，c∈A，
则这个三位数满足“十位上的数字比其他两个数位上的数字都大”包含以下三种情况：
①十位数是4，则百位数可以是1,2,3中的一个数，个位数可以是0,1,2,3中的一个数，即符合要求的三位数的个数为3×4＝12；
②十位数是3，则百位数可以是1,2中的一个数，个位数可以是0,1,2中的一个数，即符合要求的三位数的个数为2×3＝6；
③十位数是2，则百位数只能是1，个位数可以是0,1中的一个数，即符合要求的三位数的个数为2.
综上，符合要求的三位数共有12＋6＋2＝20个．
故选C.
5．B 解析：按每一位算筹的根数分类一共有15种情况，如下：
(5,0,0)，(4,1,0)，(4,0,1)，(3,2,0)，(3,1,1)，(3,0,2)，(2,3,0)，(2,2,1)，(2,1,2)，(2,0,3)，(1,4,0)，(1,3,1)，(1,2,2)，(1,1,3)，(1,0,4)．
2根及2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分步乘法计数原理，则上述情况能表示的三位数的个数分别为
2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2.
根据分类加法计数原理，5根算筹能表示的三位数的个数为2＋2＋2＋4＋2＋4＋4＋4＋4＋4＋2＋2＋4＋2＋2＝44.故选B.
二．填空题
6． 20 解析：依题意得，既会英语又会日语的有7＋3－9＝1人，6人只会英语，2人只会日语．
第1类：从只会英语的6人中选1人有6种选法，此时选会日语的有2＋1＝3种选法，由分步乘法计数原理得不同的选法有6×3＝18种；
第2类：从既会英语又会日语的人中选1人有1种选法，此时选会日语的有2种选法，由分步乘法计数原理得不同的选法有1×2＝2种．
综上，不同的选法共有18＋2＝20种．
7． 20 解析：分三类：若甲在周一，则乙、丙有4×3＝12种排法；
若甲在周二，则乙、丙有3×2＝6种排法；
若甲在周三，则乙、丙有2×1＝2种排法．
所以不同的安排方法共有12＋6＋2＝20种．
8． 8 5 解析：十位上的数为1时，有213,214,312,314,412,413，共6个；十位上的数为2时，有324,423，共2个．所以共有6＋2＝8个“驼峰数”．
其中的偶数有214,312,314,412,324，共5个．
9． 16 解析：快件从甲处送到乙处恰用到4种运输方式，且第5个环节从d，e两种运输方式中选一种，
第1,2,3,4个环节必须包含a，b，c三种不同的运输方式．
若第1,2个环节运输方式相同，则只能都选a，第3,4个环节一个选b，一个选c，
故有2×1×2＝4种送达方式；
若第1,2个环节运输方式不相同，则已经包含a，b两种运输方式，
因此，第3,4个环节一个选b，一个选c，或者都选c，
故有2×2×2＋2×1×2＝8＋4＝12种送达方式．
快件从甲处送到乙处恰用到4种运输方式的不同送达方式共有4＋12＝16种．
10．480 解析：(方法一)操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480种不同的着色方法．
(方法二)分两类：第一类，操场与教学区同色，有6×5×4＝120种着色方法；第二类，操场与教学区不同色，有6×5×4×3＝360种着色方法．根据分类加法计数原理，共有120＋360＝480种不同的着色方法．
11．40 解析：满足条件的有两类：
第一类，与正八边形有两条公共边的三角形有8个；
第二类，与正八边形有一条公共边的三角形有8×4＝32个，
所以满足条件的三角形共有8＋32＝40个．
12． 14 解析：第一位最少旋转1次，其他位置至少旋转的次数依次为2,1,1,5,4，故至少旋转1＋2＋1＋1＋5＋4＝14次．
三．解答题
13．
解：完成这件事可分为三类：
第一类是个位数字为0的比2 000大的四位偶数，可以分三步完成：
第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法；
第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可以选择，有4种选法；
第三步，选取十位上的数字，有3种选法．
由分步乘法计数原理知，这类数的个数为4×4×3＝48.
第二类是个位数字为2的比2 000大的四位偶数，可以分三步完成：
第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0只有3个数字可以选择，有3种选法；
第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首、尾2个数字之后，还有4个数字可以选择，有4种选法；
第三步，选取十位上的数字，有3种选法．
由分步乘法计数原理知，这类数的个数为3×4×3＝36.
第三类是个位数字为4的比2 000大的四位偶数，其方法步骤同第二类．
对以上三类用分类加法计数原理，得所求无重复数字且比2 000大的四位偶数有48＋36＋36＝120个．
14．
解：如图，不同的布置方案分两类：
当A与C布置相同的花卉时，先安排E，有6种不同的选择；再安排A与C，有5种不同的选择；再安排B，有4种不同的选择；最后安排D，有4种不同的选择．共有6×5×4×4＝480种．
当A与C布置不同的花卉时，先安排E，有6种不同的选择；再安排A与C，有5×4种不同的选择；再安排B，有3种不同的选择；最后安排D，有3种不同的选择．共有6×5×4×3×3＝1 080种．
所以不同的布置方案有480＋1080＝1 560种．
1/8
一．选择题
1．某年级要从3名男生、2名女生中选派3人参加某次社区服务．如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案有( )
A．6种 B．7种
C．8种 D．9种
2．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出3个不同的数，使这3个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A．3 B．4
C．6 D．8
3．现有15个不同的小球，其中红球4个、黄球5个、绿球6个，则下列说法不正确的是( )
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地随机选出2个球，有210种不同的选法
4．已知集合A＝{0,1,2,3,4}，且a，b，c∈A，用a，b，c组成一个三位数，这个三位数满足“十位上的数字比其他两个数位上的数字都大”，则这样的三位数的个数为( )
A．14 B．17
C．20 D．23
5．算筹为我国古代数学的发展作出了很大贡献．在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表：
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图：
如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为( )
A．46 B．44
C．42 D．40
二．填空题
6．某外语组9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各1人，则不同的选法有________种．
7．甲、乙、丙3位志愿者被安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两人前面，则不同的安排方法共有________种．
8．在一个三位数中，若十位数字小于个位数字和百位数字，则称该数为“驼峰数”，比如102,546．由数字1,2,3,4构成的无重复数字的“驼峰数”有________个，其中偶数有________个．
9．某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙处，需要经过5个转运环节，其中第1,2两个环节各有a，b两种运输方式，第3,4两个环节各有b，c两种运输方式，第5个环节有d，e两种运输方式．则快件从甲处送到乙处恰好用到4种运输方式的不同送达方式有________种．
10．如图是某校的校园设施平面示意图，现用不同的颜色为各区域着色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可供使用，则有________种不同的着色方法．
11．如图，由连接正八边形的三个顶点而组成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个．
12．有一密码为802136的手提保险箱，现在显示的号码为721080，要打开箱子，至少旋转________次．(每个旋钮上转出一个新数字为一次旋转，逆转、顺转都可以)
三．解答题
13．用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且比2 000 大的四位偶数？
14．某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域(有公共边)不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有多少种？
6.1.2分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用
一．选择题
1．D 解析：按女生人数分类：若选派1名女生，有2×3＝6种方案；若选派2名女生，则有1×3＝3种方案．由分类加法计数原理，共有6＋3＝9种不同的选派方案．
2．D 解析：以1为首项的等比数列为1,2,4；1,3,9.以2为首项的等比数列为2,4,8.以4为首项的等比数列为4,6,9.把这4个数列的顺序颠倒，又得到4个等比数列，所以所求的数列共有2×(2＋1＋1)＝8个．
3．C 解析：对于A，从中任选1个球，有4＋5＋6＝15种不同的选法，故选项A正确；对于B，若每种颜色选出1个球，有4×5×6＝120种不同的选法，故选项B正确；对于C，若要选出不同颜色的2个球，有4×5＋5×6＋4×6＝74种不同的选法，故选项C错误；对于D，若要不放回地随机选出2个球，有15×14＝210种不同的选法，故选项D正确．故选C.
4．C 解析：由题意知，集合A＝{0,1,2,3,4}，且a，b，c∈A，
则这个三位数满足“十位上的数字比其他两个数位上的数字都大”包含以下三种情况：
①十位数是4，则百位数可以是1,2,3中的一个数，个位数可以是0,1,2,3中的一个数，即符合要求的三位数的个数为3×4＝12；
②十位数是3，则百位数可以是1,2中的一个数，个位数可以是0,1,2中的一个数，即符合要求的三位数的个数为2×3＝6；
③十位数是2，则百位数只能是1，个位数可以是0,1中的一个数，即符合要求的三位数的个数为2.
综上，符合要求的三位数共有12＋6＋2＝20个．
故选C.
5．B 解析：按每一位算筹的根数分类一共有15种情况，如下：
(5,0,0)，(4,1,0)，(4,0,1)，(3,2,0)，(3,1,1)，(3,0,2)，(2,3,0)，(2,2,1)，(2,1,2)，(2,0,3)，(1,4,0)，(1,3,1)，(1,2,2)，(1,1,3)，(1,0,4)．
2根及2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分步乘法计数原理，则上述情况能表示的三位数的个数分别为
2,2,2,4,2,4,4,4,4,4,2,2,4,2,2.
根据分类加法计数原理，5根算筹能表示的三位数的个数为2＋2＋2＋4＋2＋4＋4＋4＋4＋4＋2＋2＋4＋2＋2＝44.故选B.
二．填空题
6． 20 解析：依题意得，既会英语又会日语的有7＋3－9＝1人，6人只会英语，2人只会日语．
第1类：从只会英语的6人中选1人有6种选法，此时选会日语的有2＋1＝3种选法，由分步乘法计数原理得不同的选法有6×3＝18种；
第2类：从既会英语又会日语的人中选1人有1种选法，此时选会日语的有2种选法，由分步乘法计数原理得不同的选法有1×2＝2种．
综上，不同的选法共有18＋2＝20种．
7． 20 解析：分三类：若甲在周一，则乙、丙有4×3＝12种排法；
若甲在周二，则乙、丙有3×2＝6种排法；
若甲在周三，则乙、丙有2×1＝2种排法．
所以不同的安排方法共有12＋6＋2＝20种．
8． 8 5 解析：十位上的数为1时，有213,214,312,314,412,413，共6个；十位上的数为2时，有324,423，共2个．所以共有6＋2＝8个“驼峰数”．
其中的偶数有214,312,314,412,324，共5个．
9． 16 解析：快件从甲处送到乙处恰用到4种运输方式，且第5个环节从d，e两种运输方式中选一种，
第1,2,3,4个环节必须包含a，b，c三种不同的运输方式．
若第1,2个环节运输方式相同，则只能都选a，第3,4个环节一个选b，一个选c，
故有2×1×2＝4种送达方式；
若第1,2个环节运输方式不相同，则已经包含a，b两种运输方式，
因此，第3,4个环节一个选b，一个选c，或者都选c，
故有2×2×2＋2×1×2＝8＋4＝12种送达方式．
快件从甲处送到乙处恰用到4种运输方式的不同送达方式共有4＋12＝16种．
10．480 解析：(方法一)操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480种不同的着色方法．
(方法二)分两类：第一类，操场与教学区同色，有6×5×4＝120种着色方法；第二类，操场与教学区不同色，有6×5×4×3＝360种着色方法．根据分类加法计数原理，共有120＋360＝480种不同的着色方法．
11．40 解析：满足条件的有两类：
第一类，与正八边形有两条公共边的三角形有8个；
第二类，与正八边形有一条公共边的三角形有8×4＝32个，
所以满足条件的三角形共有8＋32＝40个．
12． 14 解析：第一位最少旋转1次，其他位置至少旋转的次数依次为2,1,1,5,4，故至少旋转1＋2＋1＋1＋5＋4＝14次．
三．解答题
13．
解：完成这件事可分为三类：
第一类是个位数字为0的比2 000大的四位偶数，可以分三步完成：
第一步，选取千位上的数字，只有2,3,4,5可以选择，有4种选法；
第二步，选取百位上的数字，除0和千位上已选定的数字以外，还有4个数字可以选择，有4种选法；
第三步，选取十位上的数字，有3种选法．
由分步乘法计数原理知，这类数的个数为4×4×3＝48.
第二类是个位数字为2的比2 000大的四位偶数，可以分三步完成：
第一步，选取千位上的数字，除去2,1,0只有3个数字可以选择，有3种选法；
第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首、尾2个数字之后，还有4个数字可以选择，有4种选法；
第三步，选取十位上的数字，有3种选法．
由分步乘法计数原理知，这类数的个数为3×4×3＝36.
第三类是个位数字为4的比2 000大的四位偶数，其方法步骤同第二类．
对以上三类用分类加法计数原理，得所求无重复数字且比2 000大的四位偶数有48＋36＋36＝120个．
14．
解：如图，不同的布置方案分两类：
当A与C布置相同的花卉时，先安排E，有6种不同的选择；再安排A与C，有5种不同的选择；再安排B，有4种不同的选择；最后安排D，有4种不同的选择．共有6×5×4×4＝480种．
当A与C布置不同的花卉时，先安排E，有6种不同的选择；再安排A与C，有5×4种不同的选择；再安排B，有3种不同的选择；最后安排D，有3种不同的选择．共有6×5×4×3×3＝1 080种．
所以不同的布置方案有480＋1080＝1 560种．
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