2025-2026学年人教A版数学选择性必修第三册 6.3.1二项式定理 课时提升练（含答案）
文档属性
| 名称 | 2025-2026学年人教A版数学选择性必修第三册 6.3.1二项式定理 课时提升练（含答案） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 228.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-23 00:00:00 | ||
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文档简介
6.3.1二项式定理
一．选择题
1．在(x－)4的展开式中，x3的系数为( )
A．6 B．－6
C．12 D．－12
2.5的展开式中的常数项为( )
A．80 B．－80
C．40 D．－40
3．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是( )
A．(2x＋2)5 B．2x5
C．(2x－1)5 D．32x5
4．已知(1＋x)5＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a5(1－x)5，则a3＝( )
A．－40 B．40
C．10 D．－10
5.(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
6．若n为一组从小到大排列的数1,2,4,8,9,10的第60百分位数，则n的展开式的常数项是( )
A．6 B．7
C．8 D．10
7．设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m)．若a＝C＋C×3＋C×32＋…＋C×320，a≡b(mod 5)，则b的值可以是( )
A．2 004 B．2 005
C．2 025 D．2 026
二．填空题
8．用二项式定理展开：(2x－1)4＝____________________________.
9．已知(1－x)9＋m(x＋1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10.若a9＝a10，则a2＝________.
10．已知n为等差数列－4，－2,0，…的第6项，则n的二项展开式的常数项是________.
11.6的展开式中x3的系数为 .
三．解答题
12．求5的展开式的第3项的系数和常数项．
13．若6的展开式中常数项为－160，求的最小值．
6.3.1二项式定理
一．选择题
1．A 解析：(方法一：公式法)(x－)4的展开式的通项为Tk＋1＝Cx4－k(－)k＝(－1)kCx4－(k＝0,1,2,3,4)．令4－＝3，得k＝2，所以(x－)4的展开式中x3的系数为(－1)2×C＝6.
(方法二：组合数法)(x－)4的展开式中含x3的项是由(x－)(x－)(x－)(x－)中任意取2个括号内的x与剩余的2个括号内的(－)相乘得到的，所以(x－)4的展开式中含x3的项为Cx2·C(－)2＝6x3，所以(x－)4的展开式中x3的系数为6.
2.B 解析：5的展开式的通项为 Tk＋1＝C·(x3)5－kk＝(－2)kCx15－5k.令15－5k＝0，得k＝3，所以常数项为T4＝(－2)3×C＝－80.
3．D 解析：依题意，可知多项式为[(2x＋1)－1]5的展开式，则[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.故选D.
4．A 解析：因为(1＋x)5＝－[－2＋(1－x)]5，通项为Tk＋1＝－C(－2)5－k(1－x)k，所以a3＝－C(－2)2＝－40.
5.C 解析：(x＋y)5的展开式的通项为Tk＋1＝Cx5－kyk(k∈N且k≤5)，
所以(x＋y)5的展开式的通项可表示为xTk＋1＝xCx5－kyk＝Cx6－kyk与Tk＋1＝Cx5－kyk＝Cx4－kyk＋2的和．
在xTk＋1＝Cx6－kyk中，令k＝3，
可得xT4＝Cx3y3，该项中x3y3的系数为10.
在Tk＋1＝Cx4－kyk＋2中，令k＝1，可得T2＝Cx3y3，该项中x3y3的系数为5.
所以x3y3的系数为10＋5＝15.
6．B 解析：由6×60%＝3.6，可知n＝8.所以8的展开式的通项为Tk＋1＝C·()8－k·k＝C·k·x.
令＝0，得k＝2，所以常数项为C×2＝7.
故选B.
7．D 解析：易知a＝C＋C×3＋C×32＋…＋C×320a＝(1＋3)20＝420＝(5－1)20＝C×520－C×519＋…－C×5＋C.
因为C×520－C×519＋…－C×5能被5整除，所以a除以5余C＝1.
又因为a≡b(mod 5)，选项中2026除以5余1，所以b的值可以是2026.故选D.
二．填空题
8． 16x4－32x3＋24x2－8x＋1
解析：(2x－1)4＝C(2x)4(－1)0＋C(2x)3(－1)1＋C(2x)2(－1)2＋C(2x)1(－1)3＋C(2x)0(－1)4＝16x4－32x3＋24x2－8x＋1.
9． 41 解析：由题意可得a9＝C(－1)9＋mC＝10m－1，a10＝m.
因为a9＝a10，所以10m－1＝m，解得m＝，所以a2＝C＋C＝41.
10． 160 解析：由题意得n＝6，所以Tk＋1＝2kCx6－2k.令6－2k＝0，得k＝3.所以常数项为C×23＝160.
11. 80 解析：因为6可以看成6个相同因式相乘，
所以6的展开式中含x3的项为3个因式取x2、3个因式取或2个因式取x2、1个因式取、3个因式取1所得，
所以6的展开式中x3的系数为CC＋CCC＝80.
三．解答题
12．解：由题意得通项为Tk＋1＝C(x3)5－kk＝k·Cx15－5k，则T3＝2×Cx5＝×Cx5，
所以第3项的系数为×C＝.
令15－5k＝0，得k＝3，
所以常数项为T4＝3×C＝.
13．解： 6的展开式的通项为Tk＋1＝C(ax)6－kk＝Ca6－k(－b)kx6－2k，
令6－2k＝0，得k＝3.
由题意得T4＝Ca6－3(－b)3＝－20a3b3＝－160，
即a3b3＝8，即ab＝2，因此＝≥＋1＝3，
当且仅当a＝b＝或a＝b＝－时，等号成立．
故的最小值为3.
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一．选择题
1．在(x－)4的展开式中，x3的系数为( )
A．6 B．－6
C．12 D．－12
2.5的展开式中的常数项为( )
A．80 B．－80
C．40 D．－40
3．化简多项式(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1的结果是( )
A．(2x＋2)5 B．2x5
C．(2x－1)5 D．32x5
4．已知(1＋x)5＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a5(1－x)5，则a3＝( )
A．－40 B．40
C．10 D．－10
5.(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
6．若n为一组从小到大排列的数1,2,4,8,9,10的第60百分位数，则n的展开式的常数项是( )
A．6 B．7
C．8 D．10
7．设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m)．若a＝C＋C×3＋C×32＋…＋C×320，a≡b(mod 5)，则b的值可以是( )
A．2 004 B．2 005
C．2 025 D．2 026
二．填空题
8．用二项式定理展开：(2x－1)4＝____________________________.
9．已知(1－x)9＋m(x＋1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10.若a9＝a10，则a2＝________.
10．已知n为等差数列－4，－2,0，…的第6项，则n的二项展开式的常数项是________.
11.6的展开式中x3的系数为 .
三．解答题
12．求5的展开式的第3项的系数和常数项．
13．若6的展开式中常数项为－160，求的最小值．
6.3.1二项式定理
一．选择题
1．A 解析：(方法一：公式法)(x－)4的展开式的通项为Tk＋1＝Cx4－k(－)k＝(－1)kCx4－(k＝0,1,2,3,4)．令4－＝3，得k＝2，所以(x－)4的展开式中x3的系数为(－1)2×C＝6.
(方法二：组合数法)(x－)4的展开式中含x3的项是由(x－)(x－)(x－)(x－)中任意取2个括号内的x与剩余的2个括号内的(－)相乘得到的，所以(x－)4的展开式中含x3的项为Cx2·C(－)2＝6x3，所以(x－)4的展开式中x3的系数为6.
2.B 解析：5的展开式的通项为 Tk＋1＝C·(x3)5－kk＝(－2)kCx15－5k.令15－5k＝0，得k＝3，所以常数项为T4＝(－2)3×C＝－80.
3．D 解析：依题意，可知多项式为[(2x＋1)－1]5的展开式，则[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.故选D.
4．A 解析：因为(1＋x)5＝－[－2＋(1－x)]5，通项为Tk＋1＝－C(－2)5－k(1－x)k，所以a3＝－C(－2)2＝－40.
5.C 解析：(x＋y)5的展开式的通项为Tk＋1＝Cx5－kyk(k∈N且k≤5)，
所以(x＋y)5的展开式的通项可表示为xTk＋1＝xCx5－kyk＝Cx6－kyk与Tk＋1＝Cx5－kyk＝Cx4－kyk＋2的和．
在xTk＋1＝Cx6－kyk中，令k＝3，
可得xT4＝Cx3y3，该项中x3y3的系数为10.
在Tk＋1＝Cx4－kyk＋2中，令k＝1，可得T2＝Cx3y3，该项中x3y3的系数为5.
所以x3y3的系数为10＋5＝15.
6．B 解析：由6×60%＝3.6，可知n＝8.所以8的展开式的通项为Tk＋1＝C·()8－k·k＝C·k·x.
令＝0，得k＝2，所以常数项为C×2＝7.
故选B.
7．D 解析：易知a＝C＋C×3＋C×32＋…＋C×320a＝(1＋3)20＝420＝(5－1)20＝C×520－C×519＋…－C×5＋C.
因为C×520－C×519＋…－C×5能被5整除，所以a除以5余C＝1.
又因为a≡b(mod 5)，选项中2026除以5余1，所以b的值可以是2026.故选D.
二．填空题
8． 16x4－32x3＋24x2－8x＋1
解析：(2x－1)4＝C(2x)4(－1)0＋C(2x)3(－1)1＋C(2x)2(－1)2＋C(2x)1(－1)3＋C(2x)0(－1)4＝16x4－32x3＋24x2－8x＋1.
9． 41 解析：由题意可得a9＝C(－1)9＋mC＝10m－1，a10＝m.
因为a9＝a10，所以10m－1＝m，解得m＝，所以a2＝C＋C＝41.
10． 160 解析：由题意得n＝6，所以Tk＋1＝2kCx6－2k.令6－2k＝0，得k＝3.所以常数项为C×23＝160.
11. 80 解析：因为6可以看成6个相同因式相乘，
所以6的展开式中含x3的项为3个因式取x2、3个因式取或2个因式取x2、1个因式取、3个因式取1所得，
所以6的展开式中x3的系数为CC＋CCC＝80.
三．解答题
12．解：由题意得通项为Tk＋1＝C(x3)5－kk＝k·Cx15－5k，则T3＝2×Cx5＝×Cx5，
所以第3项的系数为×C＝.
令15－5k＝0，得k＝3，
所以常数项为T4＝3×C＝.
13．解： 6的展开式的通项为Tk＋1＝C(ax)6－kk＝Ca6－k(－b)kx6－2k，
令6－2k＝0，得k＝3.
由题意得T4＝Ca6－3(－b)3＝－20a3b3＝－160，
即a3b3＝8，即ab＝2，因此＝≥＋1＝3，
当且仅当a＝b＝或a＝b＝－时，等号成立．
故的最小值为3.
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