6.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理 课时提升练（含答案）

6.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一．选择题
1．音乐播放器里有15首中文歌曲和5首英文歌曲，任选1首歌曲播放，则不同的选法共有(　　)
A．30种 B．75种
C．10种 D．20种
2．若x，y∈N，且1≤x≤3，x＋y<7，则满足条件的不同的有序自然数对(x，y)的个数是(　　)
A．15 B．12
C．5 D．4
3．5名同学报名参加两个课外活动小组，每名同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法有(　　)
A．10种 B．20种
C．25种 D．32种
4．小明在某一天中有七个课间，为准备“小歌手”比赛，他想要选出至少一个课间来练习唱歌，且希望任意两个练习的课间之间至少有两个课间用来休息，则小明练习唱歌的方案一共有 (　　)
A．31种 B．18种
C．21种 D．33种
5．已知三棱锥A-BCD，现有质点Q从A点出发沿棱移动，规定质点Q从一个顶点沿棱移动到另一个顶点为1次移动，则该质点经过3次移动后返回到A点的不同路径的条数为(　　)
A．3 B．6
C．9 D．12
6．植树节这天，有4名同学植树，现有3棵不同种类的树，若一棵树只限1人植，则不同的分配方法有(　　)
A．6种 B．3种
C．81种 D．64种
7．从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作．若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有(　　)
A．280种 B．240种
C．180种 D．96种
二．填空题
8．将(a1＋a2)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4)展开后有________项．
9．已知a∈{－1,2,3}，b∈{0,3,4,5}.方程(x－a)2＋(y－b)2＝4表示的不同的圆共有________个；若r∈{1,2}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2表示的不同的圆共有________个．
10．某城市的电话号码由七位改为八位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话号码个数是________.
11．如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再和她一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为________.
12．某运动会的百米决赛有8名男运动员参加．其中甲、乙、丙3人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员跑道的方式共有________种．
13．从1,2,3,4,5,6,7,9中，任取两个不同的数作对数的底数和真数，则所有不同的对数值有________个．
三．解答题
14．如图，从正八边形ABCDEFGH的8个顶点中任意取出4个，以这4个点为梯形的顶点，一共能构成多少个梯形？
15．(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种不同的报名方法？
(2)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项必须有人报名，且限报一人，每人至多报一项，共有多少种不同的报名方法？
(3)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项目的冠军，共有多少种可能的结果？
6.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
一．选择题
1．D　解析：在15首中文歌曲和5首英文歌曲共20首歌曲中任选一首播放，不同的选法共有20种．
2．A　解析：当x＝1时，y＝0,1,2,3,4,5，有6个不同的有序自然数对；
当x＝2时，y＝0,1,2,3,4，有5个不同的有序自然数对；
当x＝3时，y＝0,1,2,3，有4个不同的有序自然数对．
根据分类加法计数原理，可得共有6＋5＋4＝15个不同的有序自然数对．
3．D　解析：由题意，每名同学有2种选择，故不同的报名方法有25＝32种．故选D.
4．B　解析：七个课间编号为1,2,3,4,5,6,7，
若仅有一个课间练习，则每个课间都可以，有7种方案；
若有两个课间练习，选法有{1,4}，{1,5}，{1,6}，{1,7}，{2,5}，{2,6}，{2,7}，{3,6}，{3,7}，{4,7}，共10种方案；
若有三个课间练习，选法为{1,4,7}，共1种方案．
故共有练习的方案7＋10＋1＝18种．
5．B　解析：由题意可知，经过3次移动后返回到A点的路径有ABCA，ABDA，ADBA，ADCA，ACBA，ACDA，共有6条不同的路径．故选B.
6．D　解析：完成这件事需分三步．第1步，植第一棵树有4种不同的分配方法；第2步，植第二棵树有4种不同的分配方法；第3步，植第三棵树也有4种不同的分配方法．由分步乘法计数原理得，不同的分配方法共有43＝64种．
7．B　解析：由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法．后面三项工作的选法有5×4×3种，因此共有4×5×4×3＝240种不同的选派方案．故选B.
二．填空题
8． 24　解析：根据分步乘法计数原理，展开后的项数为2×3×4＝24.
9． 12　24　解析：分两步，第1步，a有3种选法；第2步，b有4种选法．故共有3×4＝12种不同的选法．
分三步，第1步，a有3种选法；第2步，b有4种选法；第3步，r有2种选法．故共有3×4×2＝24种不同的选法．
10． 8.1×107　解析：由题意知，本题是一个分步计数问题．电话号码是七位数字时，该城市的电话号码有9×106个，同理，升为八位时，该城市的电话号码有9×107个．所以可增加的电话号码个数是9×107－9×106＝81×106＝8.1×107.
11．18　解析：由题意可知，E→F的最短路径有6种走法，F→G的最短路径有3种走法．由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18种走法，即有18条最短路径．
12． 2 880　解析：分两步安排这8名男运动员．
第1步，安排甲、乙、丙3人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，安排方式有4×3×2＝24种；
第2步，安排另外5人，可安排在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上，安排方式有5×4×3×2×1＝120种．
所以安排这8名运动员跑道的方式有24×120＝2 880种．
13． 39　解析：当取1时，1只能为真数，此时这个对数值为0；当不取1时，根据分步乘法计数原理，共有7×6＝42种取法，其中log24＝log39＝2，log42＝log93＝，log23＝log49，log32＝log94，故此时有42－4＝38个不同的对数值．
所以共有不同的对数值38＋1＝39个．
三．解答题
14．
解：梯形的上、下底平行且不相等，
若以AB为底边，则可构成2个梯形，根据对称性可知此类梯形有2×8＝16个；
若以AC为底边，则可构成1个梯形，此类梯形共有1×8＝8个．
所以共能构成梯形16＋8＝24个．
15．
解：(1)要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，4人都报完才算完成，所以按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝81(种)不同的报名方法．
(2)因为每项必须有人报名，且限报一人，每人至多报一项，因此跑步项目有4种选法，跳高项目有3种选法，跳远项目只有2种选法．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法有4×3×2＝24(种)．
(3)要完成的是“三个项目的冠军的获取”这件事，因为每个项目的冠军只能有一人获得，三个项目的冠军都有得主，这件事才算完成，所以应以“确定三个项目的冠军得主”为线索进行分步，而每个项目的冠军的得主有4种可能的结果，所以共有4×4×4＝64(种)可能的结果．
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