山西阳泉市第一中学校2025-2026学年高一下学期分班考试数学试题（含解析）

阳泉一中 2025 级高一年级分班考试试题 数学
一、单选题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的选项中, 只 有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 下列说法错误的是( )
A. 集合 与集合 不是同一个集合
B. 已知 ,满足条件的集合 的个数有 7 个
C. 代数式 的值组成的集合是
D. 函数 的零点为
3. 设 ,则 的大小关系为( )
A. B. C. D.
4. 设命题 : 函数 是在 上单调递增的幂函数; 命题 : 实数 满足 ,则 是 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 下列命题正确的是( )
A. 函数 的定义域为 ;
B. 在 上是减函数;
C. 已知函数 是奇函数,则 ;
D. 函数 的最大值为 -2 .
6. 已知 ,则下列结论不正确的是 ( )
A. B.
C. D.
7. 已知函数 的部分图象如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.
B. 图象的对称中心为
C. 直线 是 图象的一条对称轴
D. 将 的图象向左平移 个单位长度后,得到函数 的图象
8. 函数 满足对任意的 且 ,都有 , 则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题: 本题共 3 小题, 共 18 分.在每小题给出选项中, 有多项符合题目要 求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列命题正确的是( )
A. 命题“ ”的否定是“ ”
B. 与 是同一个函数
C. 函数 的最小值为 2
D. 若函数 的定义域为 ,则 的定义域为
10. 下列说法不正确的是( )
A. 若 ,则 为第一象限角
B. 将表的分针拨快 5 分钟,则分针转过的角度是
C. 终边经过点 的角的集合是
D. 在一个半径为 的圆上画一个圆心角为 的扇形,则该扇形面积为
11. 在声学中,音量被定义为 ,其中 是音量 (单位为 ), 是基准声压, 为 是实际声音压强. 人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值. 经过研究表明, 人耳对于不同频率的声音有不同的听觉下限阈值, 如图所示, 其中 240Hz 对应的听觉下限阈值为 对应的听觉下限阈值为 ，则下列结论正确的是( )
A. 音量同为 的声音， 的高频比 的低频更容易被人们听到
B. 听觉下限阈值随声音频率的增大而减小
C. 的听觉下限阈值的实际声压为
D. 的听觉下限阈值的实际声压为 的听觉下限阈值实际声压的 10 倍
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 在 中，若 ，则这个三角形的形状是_____.
13. 已知下列结论:
① 函数 的定义域为 ；
② 函数 的图象恒过定点 ；
③不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围为 ；
④已知定义在 上的函数 满足 ,当 时, ，则 . 以上四个结论，其中正确结论的序号为_____.
14. 已知函数 ,方程 有四个不同解 ,则实数 的取值范围是_____； 的取值范围是_____.
四、解答题:本题包含 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算 步骤.
15. 求下列各式的值:
(1) .
(2)已知 ，求 的值.
16. 已知集合 .
(1)若 ，求 ；
(2)若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
17. (1)若 ，且 ，
求:(i) 的最小值；
(ii) 的最小值.
(2)解关于 的不等式: .
18. 已知 是自然对数的底数, .
(1)若 是偶函数，求实数 的值；
(2)在(1)的条件下，用单调性定义证明函数 在 上是增函数；
(3)在(1)(2)的条件下解不等式
19. 已知函数
(1)求函数 的最小正周期和单调递减区间；
(2)将函数 的图像向左平移 单位长度，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的 ， 纵坐标不变,得到函数的 图像,求 在 上的值域.
(3)若函数 在 上有三个不同零点,求实数 取值范围.
1. B
因为 ,
所以 .
2. D
选项 是点集, 是数集,不是同一个集合, 对; 选项 B,因为 ,
所以满足条件的集合 的个数有 , B 对;
选项 C,当 时, ;
当 或 时, ;
当 时, 对;
选项 D,函数 的零点不是点,是变量 的值,
所以函数 的零点是 错.
3. C
由 在 上递增,则 ,
由 在 上递增,则 . 所以 .
故选: C
4. B
幂函数 在 上单调递增, ,解得 或 ;
所以 是 的必要不充分条件.
故选: B.
5. C
对于 ,函数 有意义,则满足 ,解得 且 , 所以函数 的定义域为 ,所以 不正确;
对于 ,由函数 ,可得在 上是减函数,所以 不正确;
对于 ,由 ,当 时,可得 ,则 ,
因为 为奇函数, ,
所以当 时, ,所以 正确;
对于 ,因为 ,所以 ,
则 ,
当且仅当 时,即 时,等号成立,
所以函数 的最大值为 -3,所以 错误.
故选: C.
6. D
,
,
,
,故选项 A 正确;
,
,
,
,故选项 D 错误;
联立 ,解得 ,则 ,故选项 B 和 C 正确.
故答案为: D.
7. B
由函数图象可知,函数的最大值为 3,因为 ,且 为正弦型函数 的振幅,所以 .
设函数的周期为 ,根据正弦函数图象性质, ,则 ,所以 ,此时 .
已知函数图象过点 ,将其代入 可得 ,即
因为 ,所以 ,解得 ,那么 . 对于 ,将 代入 ,得 ,所以选项 错误.
对于 ,对于正弦函数 ,其对称中心的横坐标满足 .
令 ,解得 ,此时 ,
所以 图象的对称中心为 ,选项 正确.
对于 ,对于正弦函数 ,其对称轴方程满足 .
令 ,解得 .
当 时, ,所以直线 不是 图象的一条对称轴,选项 错误.
对于 ,将 的图象向左平移 个单位长度,根据“左加右减”的原则,得到 .
根据诱导公式 , 所以选项 D 错误.
故选: B.
8. D
由函数 满足对 且 ,都有 , 可得函数 在 上单调递增,因此 , 解得 ,则实数 的取值范围是 .
故选: D
9. AD
对 : 命题“ ”的否定是“ ”,故 正确；
对 B: 函数 的定义域为 ,函数 的定义域为 , 两个函数的定义域不一样, 所以两个函数不是同一个函数, 故 B 错误;
对 C: ,
当且仅当 即当 时等号成立,
但 ,故等号不成立,所以函数 ,故 错误;
对 D: 若函数 的定义域为 ,则 ,
所以函数 的定义域为 ,故 D 正确.
10. ABD
A 选项,若 ,则 为第一象限角或第三象限角,故错误;
B 选项,将表的分针拨快 5 分钟,顺时针转动 ,故分针转过的角度是 ,故错误;
选项,终边经过点 的角的终边在直线 上,故角的集合是
,故 C 正确;
D 选项,扇形面积为 ,故错误,
故选: ABD.
11. AD
对于 的低频对应的听觉下限阈值高于 的高频对应的听觉下限阈值低于 ,
所以对比高频更容易被听到, 故 A 正确;
对于 B，从图象上看，听觉下限阈值随声音频率的增大有减小也有增大，故 B 错误；
对于 对应的听觉下限阈值为 ,令 ,此时 ,故 C 错误;
对于 的听觉下限阈值为 ,令 ,此时 ,
所以 的听觉下限阈值的实际声压为 的听觉下限阈值实际声压的 10 倍，故 正确.
故选: AD.
12. 等腰三角形
,
,
代入条件可得 ,即 ,
即 ,
所以三角形是等腰三角形.
故答案为:等腰三角形
13. ①②④
对于①,由 解得 ,
所以函数 的定义域为 ,故正确；
对于②,令 得 ,因为函数
的图象恒过定点 ,所以函数 的
图象恒过定点 ,故正确;
对于③，当 时，原不等式为 成立；
当 时,若不等式 的解集为 ,
则 ,解得 ,
综上实数 的取值范围为 ,故错误;
对于④,根据定义在 上的函数 满足 ,
可得 为奇函数,且 ,所以 ,解得 ,
又因为 ,所以 的周期为 6,
所以 ,故正确.
故答案为:①②④.
画出 的图象:
因为方程 即 有四个不同解 ,
故 的图象与 有四个不同的交点,
由图可知 ,所以实数 的取值范围是 .
又 ,不妨假设 ,
由图可知 .
又由图可知 ,故 ,
故 且 ,所以 .
所以 ,由对勾函数性质可知 在 单调递减,
所以 ,所以 .
故答案为: ；
15. (1)11
(2)
( 1 ) .
(2)因为 ，则 ，即 ，
则 ,即 ,
所以 .
16.
(2)
(1) 当 时, , 则 ;
(2)因为 ， 由 是 的必要不充分条件,得 ,
① 当 时, ,解得 ,满足题意;
② 当 时,则 ,解得 ,
综上, ,故实数 的取值范围为 .
17.(1) (i) 由 及基本不等式,可得 ,
故 ,当且仅当 ,即 时等号成立,则 的最小值为 64;
(ii) ,
,
当且仅当 且 ,即 时等号成立,即 取得最小值 18 ;
(2) ，
当 时， ，即 ，原不等式的解集为 ；
若 ,原不等式化为 ,
显然 ,所以原不等式的解集为 ;
若 ,原不等式化为 ,
(i) 当 即 时,原不等式的解集为 ;
(ii) 当 即 时,原不等式的解集为 ;
(iii) 当 即 时,原不等式的解集为 .
综上所述,当 时原不等式的解集为 ;
时,所以原不等式的解集为 ;
时,原不等式的解集为 ;
时,原不等式的解集为 ;
时,原不等式的解集为 .
18(1) 由 是偶函数,得 ,即 , 整理得 ,而 不恒为 0,
所以 .
(2)由(1)知， ，任取 ， 则 , 由 ,得 ,即 ,则 , 因此 ,所以函数 在 上是增函数.
(3)由(1)知，不等式 化为: ，
由 (2) 知, ,解得 或 ,
所以原不等式的解集为 .
19. (1) ，单调递减区间为 ；
(2)
(3)
(1) 因为 ,
所以 的最小正周期为 ,
令 ,解得 ,
所以函数 的单调递减区间为 .
( 2 )由( 1 )知， ，
将函数 的图象向左平移 个单位长度,可得 的图象,
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变,得到 的图象,
,则 ,
,则 ,
在 上的值域为 .
(3)由(1)知 ，
由 ,可得 ,
令 ,则 ,
若函数 在 有三个零点,
即 在 有三个不相等的实数根,
又 的图象如图,
所以关于 的方程 在区间 有一个实根,另一个实根在 上,或一个实根是 1,另一个实根在 ,
当一个根在 ,另一个实根在 ,令 ,
所以 ,即 ,解得 ,
当一个根为 0 时,即 ,所以 ,此时方程为 ,所以 ,不合题意,
当一个根是 ,即 ,解得 ,所以 ,
令 ,得另一根 ,所以符合题意,
当一个根是 1,另一个实根在 ,由 得 ,
此时方程为 ,解得 或 ,这两个根都不属于 ,不合题意,
综上 的取值范围是 .