山西长治市长子县第一中学校2025-2026学年高二下学期三月份自测（开学）数学试题（含解析）

山西长治市长子县第一中学校 2025-2026 学年高二下学期三 月份自测(开学)
数学试题
本试题满分 120 分, 考试时间 90 分钟
一、单项选择题(本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 设集合 ，则 ( )
A. B. C. D.
2. 已知函数 ，则 的定义域为( )
A. B. C. D.
3. 若 ，且 ，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
4. 下列函数在其定义域内既是奇函数, 又是增函数的是 ( )
A. B. C. D.
5. 已知函数 ,则 等于( )
A. -1 B. C. D. 2
6. ( )
A. B. C. D.
7. 设不为 1 的实数 满足: ,则 ( )
A. B.
C. D.
8. 已知函数 ，则函数 的部分图象可以为( )
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题(本题共 2 小题, 每小题 6 分, 共 12 分.每个题给出的选项中有 多项符合题目要求, 全部选对得 6 分, 部分选对得部分, 有错选的得零分)
9. 已知函数 ,则下列说法正确的是( )
A. 的定义域为 B. 在定义域内单调递减
C. 的最大值为 D. 的图象关于直线 对称
10. 已知向量 ，则( )
A. B. 当 时,
C. 当 时,
D. 在 上的投影向量的坐标为
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
11. 已知函数 是幂函数，且 是奇函数，则 _____.
12. 王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的_____条件.(填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”)
13. 已知 ,若 存在两个零点,则 的取值范围是_____.
四、解答题 (本题共 4 题, 共 53 分, 解答应写出文字说明、证明过程或者演算 步骤.)
14. 已知集合 .
(1)当 时，求 ；
(2)若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围.
15. 已知向量 ,设函数 .
(I) 求 的最小正周期.
(II) 求 在 上的最大值和最小值.
16. 在 中，角 的对边分别为 ，且 .
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，求 的周长.
17. (1)计算: ；
(2)已知 是第三象限角，且 .
① 求 的值；
② 求 的值.
1. B
由 解得 ,
因为 ,
所以 .
故选: B
2. A
由题意得 ,解得 ,
所以函数 的定义域为 .
故选: A.
3. C
对于 ,若 ,则满足 ,且 ,而 ,所以 错误, 对于 ,若 ,则满足 ,且 ,而 ,所以 错误,
对于 ,因为 ,所以 ,所以 ,当且仅当 ,即 时取等号,而 ,所以取不到等号,所以 ,所以 正确,
对于 ,若 ,则满足 ,且 ,而 ,所以 错误, 故选: C
4. C
对于 项，函数 为偶函数，故 项错误；
对于 项，函数 在 上单调递减，故 项错误；
对于 项, ,函数在其定义域内既是奇函数,又是增函数,故 项正确;
对于 项,函数 在 上单调递减,在 上单调递减,故 项错误.
5. C
函数 ,则 ,
所以 .
故选: C
6. A
.
故选: A.
7. B
对于 ,若 ,则 ,
则 不成立, A 错误;
对于 ,因为 ,所以 ,
即 , B 正确;
对于 ,当 时, 是 上的减函数,
由于 ,故 , 错误;
对于 ,当 时, 是 上的减函数,
由于 ,故 , D 错误;
故选: B
8. A
因为 的定义域为 ,且
所以 为奇函数,
故 BD 错误;
当 时,令 ,易得 ,
解得 ,
故易知 的图象在 轴右侧的第一个交点为 ,
又 ,故 C 错误, 正确;
故选: A
9. ACD
由 解得 ,所以 的定义域是 ,所以 选项正确.
函数 在 上单调递增,
函数 的开口向下,对称轴为 ,
所以 关于直线 对称, 选项正确.
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，B 选项错误.
当 时, 取得最大值为 ,所以 选项正确.
故选: ACD
10. BD
对于 ,由题 ,故 错;
对于 ,因为 ,所以有 ,整理得 ,故 正确;
对于 ,因为 ,所以 ,故 错误;
对于 在 上的投影向量为
,故 D 正确. 故选: BD.
11. -1
由题设 ,可得 ,则 或 , 当 ,则 为奇函数,满足题设;
当 ,则 为偶函数,不满足题设.
所以 .
故答案为: -1
12. 必要不充分
由题意知: “攻破楼兰”未必“返回家乡”, 充分性不成立; “返回家乡”则必然“攻破楼兰”，必要性成立；
“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.
故答案为:必要不充分.
13.
画出函数 的图像,如图所示
再画出直线 ,之后上下移动,直线与函数图像有两个交点,即方程 有两个解,也就是函数 有两个零点,此时满足 ,即 ,
故答案为: .
14. (1)
(2)
(1) 由 .
当 时, ,则 或 ,
所以 .
(2)若 是 的必要不充分条件，则集合 是集合 的真子集，
由( 1 )问可知: ，
所以 且等号不同时成立,解得 ,
故实数 的取值范围为 .
15. (I) (II)
(I) 的最小正周期为 .
(II)
故当 即 时，
当 即 时,
本题主要考查的是向量的数量积运算和三角函数的周期, 最值问题. 正确运用公式
若 ,则 以及函数 图像性质的熟练运用是解答关键.本题属于高考的常考类型, 需要多加练习, 关注三角函数和定积分的结合也是热点之一.
16.
(2)6
(1)由正弦定理得: ，
,
,
.
(2)由 ，得 .
由余弦定理 ,得 .
即 ,
的周长为 .
17. (1)1 (2)①2 (2)2.
(1)
.
(2)由题意可得:
,则 ,
因为 是第三象限角，所以 .
② 是第三象限角， ，
.
.