山西省太原市山西大学附属中学校2025-2026学年第二学期3月月考高二数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 山西省太原市山西大学附属中学校2025-2026学年第二学期3月月考高二数学试题（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 156.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-23 00:00:00 | ||
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文档简介
山西大学附中 2025~2026 学年第二学期 3 月月考 高二数学试题
考查时间:120分钟 满分:150分
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的)
1. 两个焦点的坐标分别为 ， 的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为 8，则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
2. 设 是递增等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
3. 函数 的导函数 图象如左图所示,则该函数 图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
4. 设等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知数列 满足 ,设 ,则数列 的前 2026 项和 ( )
A. B. C. D.
6. 已知 是椭圆 的左、右焦点,点 为抛物线 准线上一点,若 是底角为 的等腰三角形,则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,离心率为 ,过点 且与该双曲线的一条渐近线平行的直线与 相交于点 ,则 ( )
A. B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知 ，则 的大小关系正确的一项是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个 选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有 选错的得 0 分)
9. 下列命题正确的有( )
A. 若 ,则
B. 已知函数 ,若 ,则
C. 若 ,则
D. 曲线 上点 处切线的倾斜角 的取值范围是
10. 为抛物线 上一点， 为 的焦点，直线 的方程为 ，则()
A. 若 ，则 的最小值为 3
B. 点 到直线 的距离的最小值为
C. 若存在点 ,使得过点 可作两条相互垂直的直线与圆 都相切, 则 的取值范围为
D. 过直线 上一点 作抛物线的两条切线,切点分别为 ,则 到直线 距离的最大值为 √13
11. 如图,曲线 上的点 与 轴非负半轴上的点 构成一系列斜边在 轴上的等腰直角三角形,记为 为坐标原点). 设 的斜边长为 ,点 的面积为 ,则下列说法中正确的是( )
A. 数列 的通项公式 B. 数列 的通项公式
C.
D.
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知方程 表示椭圆，则实数 的取值范围为_____.
13. 已知直线 与函数 的图象相切,则实数 _____.
14. 抛物线镜面有如下光学性质: 过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点. 已知抛物线 的焦点为 ，一条平行于 轴的光线从点 射入，经过抛物线上的点 反射后,再经过抛物线上的另一点 反射后,平行于入射光线射出,则 _____.
四、解答题 (本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤)
15. 已知数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和.
16. 已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .
(1)求 的方程；
(2)若 为坐标原点，过点 且斜率不为 0 的直线 与 交于 两点，求 面积的最大值.
17. 已知函数 .
(1)求函数 的单调性；
(2)若函数 在 上单调递减，求 的取值范围.
18. 已知数列 满足: .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ；
(3)设 ，记数列 的前 项和 ，求证: .
19. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性, 并给出了圆锥曲线的统一定义, 只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明. 古希腊数学家帕普斯完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义, 并对这一定义进行了证明. 他指出, 到定点的距离与到定直线的距离的比是常数 (离心率) 的点的轨迹叫作圆锥曲线: 当 时,轨迹为椭圆; 当 时,轨迹为双曲线. 已知曲线 .
(1)分别求出曲线 表示椭圆、双曲线时 的取值范围.
(2)已知曲线 的离心率为 ，曲线 向右平移. 个单位长度得到曲线 .
(i) 求曲线 的方程;
(ii) 已知 为坐标原点, 是曲线 上 3 个不同的点, ,求 的面积.
1. B
因为两个焦点的坐标分别是 ,所以椭圆的焦点在横轴上,并且 , 所以由椭圆的定义可得: ,即 ,所以由 的关系解得 , 所以椭圆方程是 .
故选: B.
2. B
设 的前三项为 ,则由等差数列的性质,可得 , 所以 ,
解得 ,由题意得 ,解得 或 ,因为 是递增的等差数列,所以 ,故选 B.
考点: 等差数列的性质.
3. B
由图可知: 当 或 时, ,所以 的单调减区间为 ,
当 或 时, ,所以 的单调增区间为 ,
故选: B.
4. B
解法一: 因为等比数列 的前 项和为 ,
则公比 ,否则 ,不符题意;
所以 ,解得 ,
所以 .
所以 .
解法二: 由 ,不妨设 ,而 也成等比数列,
则 ,即 ,
求得 ,故 ,所以 .
5. C
因为 ①,
当 时, ②,
由①-②得到 ，得到 ，
又 时, ,满足 ,
所以 ,则 ,
所以 ,
则数列 的前 2026 项和为 . 故选: C.
6. A
解: 如图,抛物线的准线与 轴的交点为
因为 是椭圆 的左、右焦点,所以
抛物线 准线为: 直线 ,所以
因为 是底角为 的等腰三角形,则
则
则 ,整理得:
所以离心率 .
故答案为: A.
7. C
已知双曲线 离心率 ,所以: ,
又 ,代入 得: ,
故渐近线方程为 ,
取右焦点 ,并作平行于渐近线 的直线: ,
联立直线与双曲线方程得: ,
化简: ,
分子: ,
所以 ,
,
代入直线方程求 ,
因此 ,点 位于双曲线右支,
故 ,
由双曲线定义 ,得: ,
故 .
故选:
8.
因为 ,
则 ,
设 ,
则 ,
设 ,
则 ,
当 时, ,所以 在 上单调递减,
则 ,所以 ,即 在 上单调递增,
因为 ,所以 ,即 ,
即 ,所以 .
故选: D
9.
对于 ,易得 ,故 错误;
对于 ,令 ,解得 ,故 正确;
对于 ,则 ,解得 ,故 正确;
对于 ,即 ,而 ,则 ,故 错误.
故选: BC
10. ACD
由 可得: ,焦点 ,准线方程为 ,
过点 作准线的垂线,垂足为 ,
则 ,故 A 正确;
设抛物线 上的动点 ,则由点到直线的距离公式可得:
,故 B 错误;
设存在点 ,使得过点 可作两条垂直的直线与圆 相切,圆心 ,
则 ,即 ,
从而把问题转化为抛物线上存在点 到点 的距离为 ,设 ,
则 ,
即 ,故 正确;
设 ,切点 的斜率为 ,
由题意知切线斜率存在,设为 ,
联立得 ,
,即
原方程为 ,
,
所以切线 方程为: ,即 ,
同理切线 方程为: ,
由于切线 与切线 相交于点 ,
所以有: 与 成立,
由于切点 满足直线方程 ,
即直线 方程为: ,因为 ,
则 ,即 ,
所以直线 恒过定点 ,
故 到直线 距离的最大值为 ,故 D 正确. 故选: ACD.
11. ABD
已知 ,设 ,因为 为等腰直角三角形, 则直线 的斜率为 ,直线 的方程为 ,
联立 ,解得 ,则 ,即 ,则 ,
设 ,则 ,
则 ,
可得 ,即 ,
由 ,可得 ,故得 ,
所以数列 是以 2 为首项,以 2 为公差的等差数列,
则 ,故 正确;
对于 ,则 ,故 正确;
对于 ,因为 是等腰直角三角形,其面积 ,
则
由平方和公式 ,
可得 ,故 错误;
对于 ,因为 ,
当 时, ,
则 ,故 正确.
12.
因为方程 表示椭圆,
则 ,解得 且 ,
所以实数 的取值范围为 .
故答案为: .
13.
设函数 在点 处的切线为 ,
函数 的定义域为 .
由 ,得 ,所以 ,
所以 ,解得 (舍去) 或 .
又 ，所以切点为 ，
又切点在直线 上,所以 ,解得 .
故答案为: .
14.
令 ,得 ,即 .
由抛物线的光学性质可知直线 经过焦点 ,设直线 的方程为 ,
代入 ，消去 得 ，则 ，
所以 ,所以 .
故答案为: .
15. (1)
(2) .
( 1 )( 1 )解:由 ，
得 ,得 ,
则 ,
因为 ,所以 ,满足上式,
所以
又 ,所以数列 是以 6 为首项,3 为公比的等比数列.
所以 .
(2)(2)由(1)得
所以
即 .
16. ;
(2)1.
(1)由椭圆 的离心率为 ,得 ,则 , 由点 在 ,得 ,联立解得 , 所以椭圆 的方程为 .
(2)设直线 的方程为 ， ， ，
由 消去 得 ,
,则 的面积
,当且仅当 ,即 时取等号,
所以 面积的最大值为 1 .
17.(1) 由已知, ,
当 时, ,
令 的图象开口向下,且 ,
所以 时, ,即 ,则 在 上单调递增,
时, ,即 ,则 在 上单调递减;
当 时, ,则 ,
所以 时, ,则 在 上单调递增,
时, ,则 在 上单调递减;
当 时, 的图象开口向上,且 ,
或 时, ,即 ,
则 在 上单调递增,
时, ,即 ,
则 在 上单调递减.
当 时, 的图象开口向上,且 且不恒为 0,
此时 ,即 ,则 在 上单调递增;
综上: 当 时,在 上单调递增,在 上单调递减,
当 时,在 上单调递增,在 上单调递减,
当 时,在 上单调递增,在
上单调递减,
当 时,在 上单调递增;
(2) 在 上单调递减，
时, 恒成立,即 恒成立,
,而 ,
,
,
,故 的取值范围是 .
18.(1)由题设 ,
又 ,
所以数列 是首项为 1,公差为 3 的等差数列,
可得 ,故 .
(2)由(1)知 ，所以 ， 则 .
(3)由(2)得 ，
则 ,
所以 ,
两式相减得: ,
即 ,
所以 ,
因为 ,所以 .
19.
(2) (i) ; (ii)
(1) 因为 ,所以 , 表示点 到原点的距离， 表示点 到直线 的距离. 若曲线 表示椭圆,则 ,解得 ,即 的取值范围为 ; 若曲线 表示双曲线,则 ,解得 ,即 的取值范围为 .
(2)(i)因为曲线 的离心率为 ，所以 ，即 ，
即曲线 的方程为 ，
曲线 向右平移 个单位长度得到曲线 ,
故曲线 的方程为 ,化简可得 .
(ii) 设 .
因为 ,所以 ,
解得 ,则 ,
若直线 的斜率为 0,则由双曲线的对称性可知 ,此时 在 轴上,
所以 不可能在双曲线 上,舍去.
设直线 的方程为 ,由 得 ,
则 且 ,即 ,
又 ,
所以 ,故 ,
代入双曲线 的方程得 ,
化简得 ,又 ,所以 ,
点 到直线 的距离 ,
故 的面积 .
考查时间:120分钟 满分:150分
一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个 选项中, 只有一项是符合题目要求的)
1. 两个焦点的坐标分别为 ， 的椭圆上的任一点到两焦点的距离之和为 8，则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
2. 设 是递增等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
3. 函数 的导函数 图象如左图所示,则该函数 图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
4. 设等比数列 的前 项和为 ,若 ,则 ( )
A. B. C. D.
5. 已知数列 满足 ,设 ,则数列 的前 2026 项和 ( )
A. B. C. D.
6. 已知 是椭圆 的左、右焦点,点 为抛物线 准线上一点,若 是底角为 的等腰三角形,则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,离心率为 ,过点 且与该双曲线的一条渐近线平行的直线与 相交于点 ,则 ( )
A. B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知 ，则 的大小关系正确的一项是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题(本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个 选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有 选错的得 0 分)
9. 下列命题正确的有( )
A. 若 ,则
B. 已知函数 ,若 ,则
C. 若 ,则
D. 曲线 上点 处切线的倾斜角 的取值范围是
10. 为抛物线 上一点， 为 的焦点，直线 的方程为 ，则()
A. 若 ，则 的最小值为 3
B. 点 到直线 的距离的最小值为
C. 若存在点 ,使得过点 可作两条相互垂直的直线与圆 都相切, 则 的取值范围为
D. 过直线 上一点 作抛物线的两条切线,切点分别为 ,则 到直线 距离的最大值为 √13
11. 如图,曲线 上的点 与 轴非负半轴上的点 构成一系列斜边在 轴上的等腰直角三角形,记为 为坐标原点). 设 的斜边长为 ,点 的面积为 ,则下列说法中正确的是( )
A. 数列 的通项公式 B. 数列 的通项公式
C.
D.
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 已知方程 表示椭圆，则实数 的取值范围为_____.
13. 已知直线 与函数 的图象相切,则实数 _____.
14. 抛物线镜面有如下光学性质: 过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点. 已知抛物线 的焦点为 ，一条平行于 轴的光线从点 射入，经过抛物线上的点 反射后,再经过抛物线上的另一点 反射后,平行于入射光线射出,则 _____.
四、解答题 (本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤)
15. 已知数列 的前 项和为 ,且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和.
16. 已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .
(1)求 的方程；
(2)若 为坐标原点，过点 且斜率不为 0 的直线 与 交于 两点，求 面积的最大值.
17. 已知函数 .
(1)求函数 的单调性；
(2)若函数 在 上单调递减，求 的取值范围.
18. 已知数列 满足: .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 ；
(3)设 ，记数列 的前 项和 ，求证: .
19. 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性, 并给出了圆锥曲线的统一定义, 只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明. 古希腊数学家帕普斯完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义, 并对这一定义进行了证明. 他指出, 到定点的距离与到定直线的距离的比是常数 (离心率) 的点的轨迹叫作圆锥曲线: 当 时,轨迹为椭圆; 当 时,轨迹为双曲线. 已知曲线 .
(1)分别求出曲线 表示椭圆、双曲线时 的取值范围.
(2)已知曲线 的离心率为 ，曲线 向右平移. 个单位长度得到曲线 .
(i) 求曲线 的方程;
(ii) 已知 为坐标原点, 是曲线 上 3 个不同的点, ,求 的面积.
1. B
因为两个焦点的坐标分别是 ,所以椭圆的焦点在横轴上,并且 , 所以由椭圆的定义可得: ,即 ,所以由 的关系解得 , 所以椭圆方程是 .
故选: B.
2. B
设 的前三项为 ,则由等差数列的性质,可得 , 所以 ,
解得 ,由题意得 ,解得 或 ,因为 是递增的等差数列,所以 ,故选 B.
考点: 等差数列的性质.
3. B
由图可知: 当 或 时, ,所以 的单调减区间为 ,
当 或 时, ,所以 的单调增区间为 ,
故选: B.
4. B
解法一: 因为等比数列 的前 项和为 ,
则公比 ,否则 ,不符题意;
所以 ,解得 ,
所以 .
所以 .
解法二: 由 ,不妨设 ,而 也成等比数列,
则 ,即 ,
求得 ,故 ,所以 .
5. C
因为 ①,
当 时, ②,
由①-②得到 ，得到 ，
又 时, ,满足 ,
所以 ,则 ,
所以 ,
则数列 的前 2026 项和为 . 故选: C.
6. A
解: 如图,抛物线的准线与 轴的交点为
因为 是椭圆 的左、右焦点,所以
抛物线 准线为: 直线 ,所以
因为 是底角为 的等腰三角形,则
则
则 ,整理得:
所以离心率 .
故答案为: A.
7. C
已知双曲线 离心率 ,所以: ,
又 ,代入 得: ,
故渐近线方程为 ,
取右焦点 ,并作平行于渐近线 的直线: ,
联立直线与双曲线方程得: ,
化简: ,
分子: ,
所以 ,
,
代入直线方程求 ,
因此 ,点 位于双曲线右支,
故 ,
由双曲线定义 ,得: ,
故 .
故选:
8.
因为 ,
则 ,
设 ,
则 ,
设 ,
则 ,
当 时, ,所以 在 上单调递减,
则 ,所以 ,即 在 上单调递增,
因为 ,所以 ,即 ,
即 ,所以 .
故选: D
9.
对于 ,易得 ,故 错误;
对于 ,令 ,解得 ,故 正确;
对于 ,则 ,解得 ,故 正确;
对于 ,即 ,而 ,则 ,故 错误.
故选: BC
10. ACD
由 可得: ,焦点 ,准线方程为 ,
过点 作准线的垂线,垂足为 ,
则 ,故 A 正确;
设抛物线 上的动点 ,则由点到直线的距离公式可得:
,故 B 错误;
设存在点 ,使得过点 可作两条垂直的直线与圆 相切,圆心 ,
则 ,即 ,
从而把问题转化为抛物线上存在点 到点 的距离为 ,设 ,
则 ,
即 ,故 正确;
设 ,切点 的斜率为 ,
由题意知切线斜率存在,设为 ,
联立得 ,
,即
原方程为 ,
,
所以切线 方程为: ,即 ,
同理切线 方程为: ,
由于切线 与切线 相交于点 ,
所以有: 与 成立,
由于切点 满足直线方程 ,
即直线 方程为: ,因为 ,
则 ,即 ,
所以直线 恒过定点 ,
故 到直线 距离的最大值为 ,故 D 正确. 故选: ACD.
11. ABD
已知 ,设 ,因为 为等腰直角三角形, 则直线 的斜率为 ,直线 的方程为 ,
联立 ,解得 ,则 ,即 ,则 ,
设 ,则 ,
则 ,
可得 ,即 ,
由 ,可得 ,故得 ,
所以数列 是以 2 为首项,以 2 为公差的等差数列,
则 ,故 正确;
对于 ,则 ,故 正确;
对于 ,因为 是等腰直角三角形,其面积 ,
则
由平方和公式 ,
可得 ,故 错误;
对于 ,因为 ,
当 时, ,
则 ,故 正确.
12.
因为方程 表示椭圆,
则 ,解得 且 ,
所以实数 的取值范围为 .
故答案为: .
13.
设函数 在点 处的切线为 ,
函数 的定义域为 .
由 ,得 ,所以 ,
所以 ,解得 (舍去) 或 .
又 ，所以切点为 ，
又切点在直线 上,所以 ,解得 .
故答案为: .
14.
令 ,得 ,即 .
由抛物线的光学性质可知直线 经过焦点 ,设直线 的方程为 ,
代入 ，消去 得 ，则 ，
所以 ,所以 .
故答案为: .
15. (1)
(2) .
( 1 )( 1 )解:由 ，
得 ,得 ,
则 ,
因为 ,所以 ,满足上式,
所以
又 ,所以数列 是以 6 为首项,3 为公比的等比数列.
所以 .
(2)(2)由(1)得
所以
即 .
16. ;
(2)1.
(1)由椭圆 的离心率为 ,得 ,则 , 由点 在 ,得 ,联立解得 , 所以椭圆 的方程为 .
(2)设直线 的方程为 ， ， ，
由 消去 得 ,
,则 的面积
,当且仅当 ,即 时取等号,
所以 面积的最大值为 1 .
17.(1) 由已知, ,
当 时, ,
令 的图象开口向下,且 ,
所以 时, ,即 ,则 在 上单调递增,
时, ,即 ,则 在 上单调递减;
当 时, ,则 ,
所以 时, ,则 在 上单调递增,
时, ,则 在 上单调递减;
当 时, 的图象开口向上,且 ,
或 时, ,即 ,
则 在 上单调递增,
时, ,即 ,
则 在 上单调递减.
当 时, 的图象开口向上,且 且不恒为 0,
此时 ,即 ,则 在 上单调递增;
综上: 当 时,在 上单调递增,在 上单调递减,
当 时,在 上单调递增,在 上单调递减,
当 时,在 上单调递增,在
上单调递减,
当 时,在 上单调递增;
(2) 在 上单调递减，
时, 恒成立,即 恒成立,
,而 ,
,
,
,故 的取值范围是 .
18.(1)由题设 ,
又 ,
所以数列 是首项为 1,公差为 3 的等差数列,
可得 ,故 .
(2)由(1)知 ，所以 ， 则 .
(3)由(2)得 ，
则 ,
所以 ,
两式相减得: ,
即 ,
所以 ,
因为 ,所以 .
19.
(2) (i) ; (ii)
(1) 因为 ,所以 , 表示点 到原点的距离， 表示点 到直线 的距离. 若曲线 表示椭圆,则 ,解得 ,即 的取值范围为 ; 若曲线 表示双曲线,则 ,解得 ,即 的取值范围为 .
(2)(i)因为曲线 的离心率为 ，所以 ，即 ，
即曲线 的方程为 ，
曲线 向右平移 个单位长度得到曲线 ,
故曲线 的方程为 ,化简可得 .
(ii) 设 .
因为 ,所以 ,
解得 ,则 ,
若直线 的斜率为 0,则由双曲线的对称性可知 ,此时 在 轴上,
所以 不可能在双曲线 上,舍去.
设直线 的方程为 ,由 得 ,
则 且 ,即 ,
又 ,
所以 ,故 ,
代入双曲线 的方程得 ,
化简得 ,又 ,所以 ,
点 到直线 的距离 ,
故 的面积 .
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