苏科版八年级数学下册10.3 分式的加减 同步练习 （含答案）

10.3《分式的加减》同步练习
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1．计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级上·福建福州·期末）下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是嘉琪同学在作业中计算的过程，作业是从第几步开始出现错误（ ）
嘉琪的作业 ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步
A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步
4．若，则的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
5．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ABC的三边长分别为，且，则 ABC一定是（ ）
A．等边三角形 B．腰长为的等腰三角形
C．腰长为的等腰三角形 D．腰长为的等腰三角形
7．甲工程队完成一项工程需a天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作一天完成的工作量为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点在数轴上且点A在点B的右侧，它们所对应的数分别是和，若的长为整数，则的值为（ ）
A．1 B．9 C．3或9 D．1或7
9．已知，将分别用和代入计算后，再根据所得结果规律，计算的结果是（ ）
A． B．0 C． D．1
10．在小学段，我们知道可以将一个分数拆分成两个分数的和（差）的形式，例如，类似地，我们也可以把一个较复杂的分式拆分成两个较简单，并且分子次数小于分母次数的分式的和或者差的形式．例如，仿照上述方法，若分式可以拆分成的形式，那么（ ）
A．49 B． C．9 D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．化简：______．
12．若，则______．
13．若常数M，N满足，则_______．
14．已知，且，则________．
15．已知分式可以表示为的形式，则_______．
16．规定：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标均为正整数，那么称这个点为“正整点”．函数图像上“正整点”的坐标为_______．
17．当x分别取值，，，，…，，0，1，2，…，2021，2022，2023，2024时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于 ___________________．
18．杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组成一列新的数，依次记作，由图可知，则_____，_____．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）计算：
（1）； （2）．
（8分）下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务．计算：
解：原式……第一步
……第二步
．……第三步
任务一：上述计算过程中，第 步出现错误，发生错误的原因是 ；
任务二：请写出该分式正确化简过程．
21．（10分）计算：
（1） （2）
（3） （4）
22．（10分）观察下面的等式：，，，，
（1）写出的结果；
（2）按照上面的规律归纳出一个一般的结论；（用含n的等式表示，n为正整数）
（3）试运用相关知识，推理说明你所得到的结论是正确的．
23．（10分）安安与宁宁相约去爬山，两人从云中湖同时出发，沿同一路线攀登抵达山顶铜鼓包，随后立即从山顶沿原路返回云中湖．安安上山的平均速度为，下山的平均速度为；宁宁借助登山机械骨骼，上下山全程的平均速度为，已知，且、均为正数．
（1）安安往返所需时间为________，宁宁往返所需时间为________；（用含有，的式子表示）
（2）两人谁先返回云中湖？请说明理由．
24．（12分）【发现】观察下列式子：，，，，对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大；
【类比】“已知，，分式的分子、分母都加上后，所得分式的值相比是增大了还是减小了？”小明想到了“用减去，然后判断差的正负性”的思路，请你利用小明的思路，探索解答这个问题．
【拓展】的分子、分母都加上后，得到分式．
（1）当时，______；当时，______；（填“>”“<”）
（2）的分子、分母都加上后，所得分式的值相比是增大了还是减小了？
参考答案
一、选择题
1．C
解：﹒
故选：C﹒
2．A
解：A、，原式变形正确，符合题意；
B、当时，，原式变形错误，不符合题意；
C、，原式变形错误，不符合题意；
D、当时，，原式变形错误，不符合题意；
故选：A．
3．B
解：
．
所以观察嘉琪的作业步骤，发现从第二步开始出现错误，计算时不应去分母．
故选：B．
4．A
解：∵，，
∴ ，
∴，
故的值为3．
故选：A．
5．C
解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
6．C
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
或，
或，
∴ ABC一定是腰长为的等腰三角形，
故选：C．
7．A
解：因为甲工程队完成一项工程需a天，所以甲的工作效率为，
因为乙工程队完成一项工程需天，所以乙的工作效率为，
所以两队共同工作一天完成的工作量为，
故选：A．
8．C
解：∵点在数轴上且点A在点B的右侧，它们所对应的数分别是和，
∴,
，
∵的长为整数，
∴或9．
故选C．
9．A
解：∵ = ，
= ，

= ，
∴ 原式 = ，
中间项相互抵消，
∴ 原式 = = ，
通分得： = ，
故选：A．
10．D
解：
＝
=
= ，
∵ ，
∴
则 ，
解得： ，
所以．
故选D．
二、填空题
11．
解：
．
12．
解：∵，
∴．
故答案为：．
13.
解：由，左边通分得，
则，
展开得，
即，
比较系数得，
则，
故答案为：．
14．2
解：解析：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
15．
解：
，
∴；
故答案为：．
16．
解：∵函数图像上“正整点”，
∴，为正整数，
当时，无意义，不符合题意；
当时，，即“正整点”的坐标为．
当时，为小于1的正分数，不可能为整数，不符合题意．
综上，函数图像上“正整点”的坐标为．
故答案为：．
17．
解：将，代入，原式，
将，代入，原式，
当时，原式，
当时，，
故当x分别取值，，，，…，，0，1，2，…，2021，2022，2023，2024时，
将所得结果相加，其和等于，
故答案为：．
18． 10
解：∵
∴，，
∴，
∴
；
故答案为：10，．
三、解答题
19．
解：（1）解：原式
；
（2）解：原式
.
20.解：任务一：上述计算过程中，第三步出现错误，发生错误的原因是分式的分母去掉了；
故答案为：三；分式的分母去掉了；
任务二：原式
．
21．
解：（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
22．
解：（1）解：∵，
，
，
，
，
∴；
（2）解：观察上面的等式可得规律（n为正整数）；
（3）证明：
，
因此归纳正确．
23．
解：（1）解：安安往返所需时长：（小时），
宁宁往返所需时长：（小时）．
（2）解：宁宁先返回云中湖，理由如下：
∵，，且，
∴
∴
∴宁宁先返回云中湖．
24．
解：[类比]：
，
∵，，
∴，
∴，
∴；
解：[拓展]
（1）当时，；当时，；
故答案为：；
（2）
，
当时，，
∴
∴；
当时，，
∴
∴；
综上，当时，的值相比是减小了；当时，的值相比是增大了．