苏科版七年级数学下册 7.2 幂的乘方与积的乘方 同步训练（含答案）

7.2 幂的乘方与积的乘方
一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分)
1．若为正整数，则表示的是（ ）
A．3个相乘 B．4个相加
C．3个相加 D．5个相乘
2．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．计算：的值为（ ）
A． B．6 C． D．
5．计算：等于（ ）
A． B． C． D．
6．若的运算结果为S，则S不能被下列哪个数整除（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
7．已知，，a，b均为正整数，则＝（　　）
A．mn2 B．m2n C． D．m2n2
8．学校的黑板报上写着两个励志的数学式子：“”，“”，这两个式子表明：每天比前一天进步，一年后所得终值约是初值的倍；反之，每天比前一天退步，一年后所得终值约是初值的！如果每天比前一天进步，则两年后所得终值最接近下面数值中的（ ）
A．75 B．500 C．750 D．1500
9．下列命题中正确的有（ ）
①为奇数时，一定有等式；
②无论为何值，等式都成立；
③三个等式，，都成立；
④若，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．《庄子》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是：一根一尺长的木棒，今天取它的一半，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……，这样取下去，永远也取不完．如果将这根木棒的长度看成单位“1”，用两种不同的方法表示被取走木棒长度的总和，即：被取走木棒长度的总和＝1－剩余木棒的长度，例如：取第一次得；取第二次得；取第三次得；……若，则用含m的式子表示为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．计算的结果为 ．
12．已知，则 ．
13．已知，则 ．
14．当时，则 ．
15． ．
16．计算： ；
17．（已知，，则 ．
18．规定：如果两数a、b满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，则，故，则，即．如果，那么（3， ）．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）计算：
(1)； (2)．
20．（8分）在幂的运算中规定：若（且，、均是正整数），则，利用上面结论解答下列问题：
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
21．（10分）计算：
(1)； (2)；
22．（10分）观察以下等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第7个等式：_______________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
23．（10分）李老师在习题课上出了一道题目，下面是小明同学的解题过程．
计算：．
(1)请根据小明的批注补全解题过程；
(2)请利用小明的解题方法计算：．
24．（12分）【概念学习】
我们规定a，b两数之间的一种运算，记作，如果，那么；例如，记作．
【初步探究】
（1）根据以上规定直接写出结果： ； ；
【深入思考】
对于同底数的幂的乘除法运算，我们有，例如．
小颖发现也成立，并证明如下：
设，，则，，
因为，所以，
所以，
（2）仿照以上证明，计算，写出计算过程．
参考答案
一、选择题
1．A
解：若为正整数，则表示的是3个相乘，
故选：A
2．D
解：．
故选：D
3．A
解：∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
，选项A正确；
∵ 积的乘方等于乘方的积，
，选项B错误；
∵ 合并同类项，系数相加，字母部分不变，
，选项C错误；
∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘，
，选项D错误．
故选：A．
4．C
解：
，
故选：C．
5．C
解：
，
故选：C．
6．D
解：原式=
故原式可以被5，7，9整除．
故选：D ．
7．D
【分析】先利用幂的乘方法则的逆用对已知条件进行整理，再利用同底数幂的乘法法则的逆用及幂的乘方法则的逆用对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
∵，
∴．
∴
．
故选：D．
8．D
解：根据幂的乘方性质，得．
已知，则需估算．
计算，，因在30和40之间，
故在900到1600之间．
对比选项，只有选项D符合要求．
故选：D．
9．B
解：①当为奇数时，一定有等式，故①正确；
②当为奇数时，等式成立，故②错误；
③，，都成立，故③正确；
④若，，由则，即，解得，故④错误．
正确的共有2个．
故选B．
10．B
解：∵，
∴，
∴
；
故选B．
二、填空题
11．
解：．
故答案为：．
12．
解：∵ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：．
13．
解：因为，
所以，
因此，
因为，
所以，
故答案为：．
14．81
解：∵，，
∴，
又∵ ，
∴ ，
∴，
故答案为：81
15．
先计算积的乘方，再利用同底数幂相乘的法则进行运算．
．
故答案为：．
16．
解：
故答案为：．
17．
解：
∵，，
∴原式
故答案为：．
18．128
由题意可得，解得，再由，结合规定即可求解．
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：128．
三、解答题
19．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．
（1）解：，，
，
，
解得：，
的值是；
（2）解：，，
，
，
解得：，
的值是．
21．
（1）解：
．
（2）解：
．
22．
（1）解：第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；
∴第7个等式：.
（2）解：猜想：；
证明如下：左边，
右边，
∴左边右边，
∴成立.
23．
（1）解：原式
；
（2）
24．
解 ：（1），，
又如果，那么
；
故答案为：4，；
（2）设，，
则，，
，
又如果，那么，
；
故答案为：32．