2025-2026人教版八年级数学分层精练精析21.2.1平行四边形及其性质（含解析）

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2025-2026学年人教版八年级数学下精练精析
21.2.1平行四边形及其性质
知识点1 平行四边形边、角的性质
1．在中，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将沿AC所在直线折叠，点B恰好落在BA延长线上的点处，交AD于点E．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在中，平分交边于点E，，，则的周长是（ ）
A．14 B．16 C．28 D．32
6．如图，在中，是的延长线上的一点．若，则的度数为 ．
7．如图，在中，于点，于点．若，求的度数．
8．如图，平行四边形中，的平分线交于的平分线交于点．求证：．
知识点2 平行线间的距离
1．如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知 中，点D 是上且离点C较近的一个点，连接， 点E 是的中点， 连接， 过点E 作交于点 F， 连接 ， 若 面积等于4，则 的面积为 ，四边形 的面积为 ．
3．如图，点E是梯形下底的中点，与阴影部分面积相等的三角形（包括阴影部分本身）一共有 个．
4．如图，中，，，直线、、分别通过、、三点，且若与的距离为，与的距离为，则的面积为 ．
5．如图所示，直线，，是上的两点，，是上的两点．与的面积相等吗？请说明理由．
6．如下图，在四边形中，，与相交于点．求证：．
知识点3 平行四边形对角线互相平分
1．如图，已知的对角线与相交于点．若，，则的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作的垂线交于点，连接．已知的周长是，则平行四边形的周长是 ．
3．如图，在中，对角线AC，BD交于点O．若，，，则BC的长为 ．
4．如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，为上一点，连接，，．若，，，则的面积为 ．
5．如下图，在中，，，对角线，交于点，为边上一点，连接，．若，，求的长．
6．如下图，的对角线，相交于点，点在上，点在上，连接，使恰好经过点．
(1)求证：．
(2)若，，，求的长．
(3)记四边形的面积为，的面积为，用等式表示和的关系为 ．
1．在平面直角坐标系中，已知．若第一象限内的点M与A，B，C构成平行四边形，则M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点，在的对角线上，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于．
(1)求证：；
(2)若，，则与之间的距离为____________；
(3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________．
5．在中，以线段为斜边作等腰．使得，；连接，再以为直角边作等腰，使得，．
(1)如图1，当时，表示线段，之间的数量关系与位置关系；
(2)如图2，以线段，为边构造，连接．用等式表示线段，之间的数量关系，并证明．
6．如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点在伞柄上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，，，三点重合（即，），点与点重合，四边形和四边形都是平行四边形，，．
(1)求的长度；
(2)若，，，求，两点之间的距离．
7．（1）已知：如图1，的对角线和相交于点．求证：，．
（2）如图2，在中，对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．求证：．
8．如图，在中，，，垂足为E，，垂足为F，求，的度数．
9．如图，分别以中的，为边向外作正方形和正方形，连接，是的中点．求证：．
10．【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．易证：（不需要证明）．
(1)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．求证：．
(2)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______．
1．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动，若其中一点到达终点时，则另一点随之停止运动.从运动开始，经过多少时，
2．如图，的对角线和相交于点，，分别为，的中点，过点任意作直线，分别交，于点，，连接，．求证：．
13．如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，连接，．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由．
(2)若，求的长．
14．如图，在平行四边形中，，的平分线交于E，，交于F．求的大小．
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21.2.1平行四边形及其性质（解析版）
知识点1 平行四边形边、角的性质
1．在中，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
由平行四边形的性质可知，，，，，，即可得出结论．
【详解】解：如图，四边形是平行四边形，
，，，，，
观察四个选项，选项D符合题意．
故选：D．
2．如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质及四边形内角和；由折叠的性质及平行四边形的性质，，，由四边形内角和即可求解．
【详解】解：由折叠知，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
在四边形中，，
∴，
∴，
故选：A．
3．如图，将沿AC所在直线折叠，点B恰好落在BA延长线上的点处，交AD于点E．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，掌握翻折前和翻折后对应角相等是解题的关键．
由平行四边形的性质可得，，再由，可得，再由折叠的性质和平行线的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
由折叠的性质可知，，
∵，
∴．
故选：A．
4．如图，在中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是利用平行四边形对角相等、邻角互补的性质来建立角度关系进行计算．
利用平行四边形“对角相等”的性质，得出，再根据“邻角互补”的性质，计算出．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，，
∴．
故选：B．
5．如图，在中，平分交边于点E，，，则的周长是（ ）
A．14 B．16 C．28 D．32
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等角对等边，由角平分线的定义可得，由平行四边形的性质可得，，，再结合平行线的性质可得，由等角对等边得出，求出，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵平分交边于点E，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的周长是，
故选：C．
6．如图，在中，是的延长线上的一点．若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，邻补角的定义知识点，掌握平行四边形对角相等的性质是解题的关键．
先利用邻补角的定义求出的度数，再根据平行四边形对角相等的性质得到的度数．
【详解】解：∵ 四边形是平行四边形，
∴
∵ 点在的延长线上，
∴
∵
∴
∴．
故答案为：．
7．如图，在中，于点，于点．若，求的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查四边形内角和，平行四边形的性质，掌握以上知识是关键，根据四边形的内角和得到，再根据平行四边形的性质得到，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
在四边形中，，且，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴．
8．如图，平行四边形中，的平分线交于的平分线交于点．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边．由平行四边形的性质得到，，再由角平分线的定义和平行线的性质得到，则，同理可得，由此即可证明结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，即．
知识点2 平行线间的距离
1．如图，，平行四边形、三角形、梯形放置于和之间，它们的面积分别记为，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了平行线之间的距离，设和之间的距离为h，然后表示出，进而求解即可．
【详解】解：∵
∴设和之间的距离为h，
∴，，，
∴．
故选：D．
2．如图，已知 中，点D 是上且离点C较近的一个点，连接， 点E 是的中点， 连接， 过点E 作交于点 F， 连接 ， 若 面积等于4，则 的面积为 ，四边形 的面积为 ．
【答案】 8 4
【分析】本题考查三角形中线的性质以及平行线之间三角形面积的等量关系，掌握相关知识点是解题的关键．
由点E 是的中点，判断出，即可得出的面积，由，可得，故通过等量关系可证出．
【详解】解：∵点为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；．
3．如图，点E是梯形下底的中点，与阴影部分面积相等的三角形（包括阴影部分本身）一共有 个．
【答案】4
【分析】本题主要考查了求三角形的面积，
先标注图形，再根据等（同）底同（等）高的两个三角形面积相等得出答案．
【详解】解：因为点E是梯形下底的中点，
所以，与平行，
所以和和和的面积相等．
所以与阴影部分面积相等的三角形一共有4个．
故答案为：4．
4．如图，中，，，直线、、分别通过、、三点，且若与的距离为，与的距离为，则的面积为 ．
【答案】
【分析】先过点作，交于，交于，由于，，易知，那么，，而，可得，根据同角的余角相等可得，根据可证，于是，，在中利用勾股定理可求，进而可求的面积．
【详解】过点作，交于，交于，如图，
，，
，
，，
又，
，
，
在和中，
，
，
，，
在中，，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线之间的距离，作辅助线，构造全等三角形，并证明是解题的关键．
5．如图所示，直线，，是上的两点，，是上的两点．与的面积相等吗？请说明理由．
【答案】与的面积相等．理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线间的距离性质和三角形面积公式，熟练掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键．
通过作两条平行线间的高，利用平行线间距离处处相等的性质，结合三角形面积公式，证明两个三角形面积相等．
【详解】解：与的面积相等，理由如下，
过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、，
，，
∵直线，，，
∴，
∴．
6．如下图，在四边形中，，与相交于点．求证：．
【答案】见解析
【分析】先过作的高，利用得到这两条高相等；再结合同底的条件，证明与面积相等；最后减去它们的公共部分的面积，即可得到与的面积相等．
【详解】证明：如图，过点作于点，过点作于点．
，
．
，．
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形面积与平行线间距离的性质，掌握同底等高的三角形面积相等，通过减去公共部分面积推导目标三角形面积相等是解题的关键．
知识点3 平行四边形对角线互相平分
1．如图，已知的对角线与相交于点．若，，则的长度可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的三边关系，解题的关键是得出的长．
直接利用平行四边形对角线互相平分得出的长，再利用三角形三边关系得出答案．
【详解】解：四边形是平行四边形，
,
,
,
在中，的取值范围是，即．
故选：D．
2．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作的垂线交于点，连接．已知的周长是，则平行四边形的周长是 ．
【答案】18
【分析】本题考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质．由平行四边形对角线互相平分和可知，由的周长是，即可推导出，即可解答．
【详解】解：在平行四边形中，，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵的周长是，
∴，
∵在平行四边形中，，
∴．
故答案为：18．
3．如图，在中，对角线AC，BD交于点O．若，，，则BC的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行四边形的性质定理，勾股定理，勾股逆定理，熟练掌握相关定理是解题的关键；
利用平行四边形的性质求得、的长，再根据勾股逆定理判断形状并求边长即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
在中，
∵，，，
∴，
∴是直角三角形，且．
在中，
．
故答案为：．
4．如图，在中，对角线，交于点，过点作于点，为上一点，连接，，．若，，，则的面积为 ．
【答案】56
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
先通过证明，即可得到，进而得到，通过勾股定理求出线段的长度，然后通过线段的和差关系求出线段的长度，进而可求出的面积，即可求出平行四边形的面积．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，．
在与中，
，
，即．
，
，
．
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
5．如下图，在中，，，对角线，交于点，为边上一点，连接，．若，，求的长．
【答案】
【分析】利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理和勾股定理，求解OB的长度；
本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，熟练掌握相关内容是解题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，．
又，
，，
．
，
，
，
．
，
，，
，
，
．
6．如下图，的对角线，相交于点，点在上，点在上，连接，使恰好经过点．
(1)求证：．
(2)若，，，求的长．
(3)记四边形的面积为，的面积为，用等式表示和的关系为 ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由平行四边形的性质推出，，得到，即可证明推出．
（2）求出，由平行四边形的性质推出，由勾股定理求出即可得到．
(3)利用全等，将四边形的面积转化为的面积. 进而得到和的关系.
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，．
又，
，
．
（2）解：，，
，即．
四边形是平行四边形，，
，．
，，
，．
（3）证明：∵四边形是平行四边形，对角线交于点，
，
在和中，
．
在和中，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是熟练掌握知识点.
1．在平面直角坐标系中，已知．若第一象限内的点M与A，B，C构成平行四边形，则M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平面直角坐标系中平行四边形的性质求点的坐标，解题的关键是掌握分类讨论的思想．
利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合中点坐标公式求解，筛选出第一象限内的点M的坐标．
【详解】解：设点M的坐标为
∵平行四边形的对角线互相平分，分三种情况分析：
①以、为邻边时，A与M的中点和B与C的中点重合，
∴，，
解得，，
该点不在第一象限，舍去；
② 以、为邻边时，A与C的中点和B与M的中点重合，
∴，，
解得，，
该点在第一象限，符合条件；
③ 以、为邻边时，A与B的中点和C与M的中点重合，
∴，，
解得，，
该点不在第一象限，舍去；
综上，M的坐标为，
故选：B．
2．如图，点，在的对角线上，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的性质，等边对等角，根据等边对等角，以及三角形的外角的性质，求出的度数，平行线的性质，得到，再利用角的和差关系进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选D．
3．如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于．
(1)求证：；
(2)若，，则与之间的距离为____________；
(3)若的周长是24，，则四边形的周长为____________．
【答案】(1)见解析
(2)4
(3)16
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等，解题的关键是证明．
（1）先由平行四边形的性质得到，，则，，即可证明得到；
（2）由三角形面积公式可得，据此求解即可；
（3）由（1）的结论知，，再利用四边形周长公式即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，O是与的交点，
∴，，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，O是与的交点，
∴，
∴，
∵过点且垂直于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即与之间的距离为4，
故答案为：4；
（3）解：∵四边形是平行四边形，周长是24，
∴，
∵，
∴，
由（1）的结论知，
∴四边形的周长为，
故答案为：16．
4．如下图，在中，，，对角线，交于点，为边上一点，连接，．若，，求的长．
【答案】
【分析】利用平行四边形的性质和等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理和勾股定理，求解OB的长度；
本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，熟练掌握相关内容是解题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，，．
又，
，，
．
，
，
，
．
，
，，
，
，
．
5．在中，以线段为斜边作等腰．使得，；连接，再以为直角边作等腰，使得，．
(1)如图1，当时，表示线段，之间的数量关系与位置关系；
(2)如图2，以线段，为边构造，连接．用等式表示线段，之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)，；
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了等边对等角，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．
（1）根据等边对等角得到，可知B、D、C在一条直线上，进而可知线段，之间的数量关系与位置关系；
（2）连接，延长到G，根据平行四边形的性质得到，即，证明，得到，，即，，根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴B、D、C在一条直线上，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：，证明如下：
如图，连接，延长到G，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
即，
∴．
6．如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点在伞柄上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后，，，三点重合（即，），点与点重合，四边形和四边形都是平行四边形，，．
(1)求的长度；
(2)若，，，求，两点之间的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质，三线合一定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据题意求出的长，再根据，即可解答；
（2）根据平行四边的性质得出，则，连接，过点G作于点P，易得，根据平行四边形的性质得出，则，进而得出，则，，根据勾股定理可得：，即可解答．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
连接，过点G作于点P，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
由勾股定理可得，
∴．
7．（1）已知：如图1，的对角线和相交于点．求证：，．
（2）如图2，在中，对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．求证：．
【答案】（1）证明见解析（2）见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．
（1）由平行四边形的性质得出，，则，，再由证得，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出，，则，，再由证得，即可得出结论；
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
，
，；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
在和中，
，
，
．
8．如图，在中，，，垂足为E，，垂足为F，求，的度数．
【答案】=，=
【分析】本题考查了平行四边形的性质．
首先根据平行四边形的性质得到，根据可求得和的度数为，再求得，即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴在和中，，
∴．
9．如图，分别以中的，为边向外作正方形和正方形，连接，是的中点．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握延长中线构造平行四边形，结合正方形性质证明全等三角形是解题的关键．
延长中线构造平行四边形，结合正方形的性质证明三角形全等，从而推导线段与的数量关系．
【详解】证明：如图，延长到点，使，连接，．
是的中点，
，
四边形为平行四边形，
，．
由题意可知，，，
，，
．
在和中，
，
．
，
．
10．【感知】如图1，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，于点E，F．易证：（不需要证明）．
(1)【探究】如图2，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．求证：．
(2)【应用】如图3，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交边，的延长线于点E，F．连接，，若，的面积为1，则的面积为______，四边形的面积为______．
【答案】(1)见解析
(2)3，12
【分析】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
（1）根据平行四边形的性质得到，证得，进而得到；
（2）根据题意易得，进而得到，由（1）知，则，同理可得，再利用解答即可．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形
、
在和中
；
（2）解：、
由（1）知
同理可得
故答案为：3；12．
1．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发，以的速度向点运动，若其中一点到达终点时，则另一点随之停止运动.从运动开始，经过多少时，
【答案】经过或时，
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先确定两点运动的时间，设经过时，，分两种情况：当四边形为平行四边形时，，，当四边形为等腰梯形时，，讨论求解即可．
【详解】解：根据题意，点运动到点需要24秒，点运动到点需要秒，
设经过时，，
①当四边形为平行四边形时，，，
∴，
解得；
②当四边形为等腰梯形时，，
过点作，交于点，过点作，交于点，则，
∴，
∴，
∵，，即，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
∴，
解得；
综上所述，经过或时，．
2．如图，的对角线和相交于点，，分别为，的中点，过点任意作直线，分别交，于点，，连接，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质与判定方法是解题的关键．
可证四边形为平行四边形，需证其对角线互相平分，即证且，先证得，再由中点及得．
【详解】证明：如图，连接，．
四边形是平行四边形，
，，，
．
在和中，
，
．
，分别为和的中点，
，．
，
，
四边形为平行四边形，
．
13．如图，在中，，，为边的中点，过点作交的延长线于点，平分交于点，连接，．
(1)试判断四边形的形状，并说明理由．
(2)若，求的长．
【答案】(1)四边形是平行四边形．理由见解析
(2)2
【分析】（1）通过证明三角形全等得到边和角的关系，进而判定四边形的形状；
（2）利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质求出相关线段长度，再结合平行四边形的性质得出结果.
【详解】（1）四边形是平行四边形．理由如下：
，，．
，，．
平分，，．
为边的中点，．
在和中，
，，
四边形是平行四边形．
（2）平分，，
易证得，
，．
，，
，．
四边形是平行四边形，
．
【点睛】本题主要运用等腰直角三角形的性质、角平分线的性质，全等三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质来求解.
14．如图，在平行四边形中，，的平分线交于E，，交于F．求的大小．
【答案】
【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的有关计算，三角形内角和定理.
根据平行四边形的性质可得，由角平分线可得，由可得，最后根据三角形内角和求出的度数．
【详解】解：∵在平行四边形中，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
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