(共15张PPT)
第二章
方程（组）与不等式（组）
第5
节
一次方程（组）及其应用
知识梳理
过教材
考点1)等式的基本性质（贵州3年1考）
文字表达
数学表达
在解方程中的应用
等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得
如果a=b,那么a±c=b±c
移项
结果仍是等式
等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不
如果u=b,那么ac=bc
去分母
为0的数)，所得结果仍是等式
如果a=b(c≠0)，那么”-b
系数化为1
考点2)一元一次方程及其解法（贵州3年1考）
1.概念：在一个方程中，只含有①一个未知数，且未知数的次数都是②1，这样的方程叫
做一元一次方程。
2.解法及注意事项：
一般步骡
例：解方程：1
2x-53-x
注意事项
6
4
去分母
解：312-2(2x-5)=3(3-x)
方程两边同乘各分母的最小公倍数，不要漏乘常数项
去括号
④12-4x+10=9-3x
去括号时，注意是否需要变号
移项
5-4x+3x=9-12-10
移项一定要变号
合并同类项
6-x=-13
系数相加，未知数及其指数不变
未知数的系数化为1
⑦x=13
分子和分母的位置不要颠倒
考点3)二元一次方程组及其解法（贵州3年2考）
1.基本思路：消元一把“二元”变为“一元”.
2.解法：
步骤
适用情况
(1)变：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未
(1)一个方程的常数项
代入消元法
知数的代数式表示出来；(2)代：将(1)中代数式代入另一
为0；(2)某个未知数的
(代入法)
个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一
系数为1或-1
元一次方程；(3)解：解一元一次方程
(1)变：方程变形，使两个二元一次方程中同一未知数的系数
(1)某一个未知数的系数
加减消元法
相反或相等；(2)加减：两个方程的两边分别相加（减）消去
相反或相等；(2)易变形为
(加减法)
其中一个未知数，得一元一次方程；(3)解：解一元一次方程
系数相等或相反的形式
消元
*三元一次方程组的解法：三元一次方程组
消元二元一次方程组
，一元一次方程.
考点4)一次方程（组）的应用（贵州3年4考）
1.常见类型及等量关系：
常见类型
等量关系
变化率问题
增长（下降）率=
增（减）量×1O0%,增长（下降）后的数量=基数×[1±增长（下降）率]
基数
配套问题
m件八产品和n件B产品配成一套，则A产品数_B产品数
m
销售问题
售价=标价×折扣，销售额=售价×销量，总利润=（售价-进价）×销量，利润率=
利润
×100%
进价(共22张PPT)
考点1)一元二次方程
只含有一个未知数x的整式方程，并且可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的形式，这
概念
样的方程叫做一元二次方程
把ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a①≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2,bx,c分别称
一般形式
为二次项、一次项和常数项，，b分别称为二次项系数和一次项系数
考点2)一元二次方程的解法（贵州3年2考）
解法
适用形式
方程的根
注意
直接开
x2=p
x=±Wp
p≥0
平方法
（x+n)2=p
x=±Wp-n
p≥0
所有一元二次方程，一般用于：
二次项系数化为1后一次项系
配方法
x=±√n+m2-m
n+m2≥0
数是偶数的方程，形如x2+2x
-n=0
所有一元二次方程：x2+bx+c=
先将一元二次方程化为一般形式，
公式法
-b±√J2-4ac
x=2
0
2a
再确定a,b,c,且a≠0，b2-4c≥0
(x-a）(x-b)=0
X1=0,x2=b
对于方程两边含有相同因式的一元
因式分解法
b
二次方程，切勿直接约去公因式求
x(ax+b)=O
x1=0,x2=-
2
解，以免丢根
考点3
一元二次方程的根的判别式（贵州3年1考）
概念
把b2-4ac叫做一元二次方程a2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示
根的情况与
(1)△>0一方程有两个不相等的实数根；(2)△=0一方程③有两个相等的实数根；(3)△<0
根的判别式
方程④没有
实数根
的关系
提分指南
根的判别式的作用：（1)直接判断或证明一元二次方程根的情况；(2)根据方程根的情况，确定字母的值
或取值范围（注意：二次项系数不为0）
考点4
一元二次方程的根与系数的关系
根与系数
的关系
如果方程aw+br+c=0(a≠0)有两个实数根1,2，那么，+，=⑤-万
比，七2=6C
2
特别提醒
使用一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数的关系的前提：△≥0且u≠0.
考点5
一元二次方程的实际应用
常见类型
等量关系
设a为原来的量，b为变化后的量
变化率问题
(1)若平均增长率为x,增长次数为2，则a(1+x)2=b;
(2)若平均下降率为x,下降次数为2，则⑦a(1-x)2=b
在矩形ABCD中，设阴影部分的宽均为x,则图①中S空白=⑧(a-2x)(b-2x),图②中S空白=9(a-
x)(b-x),图③中S空白=10(a-x)(b-x)
A
D
面积问题
a
①
②
③(共11张PPT)
考点1)分式方程及其解法
分式方程的概念
①分母中含有未知数的方程叫做分式方程
解分式方程
将分式方程化为整式方程
的基本思路
最简公分母为0
去分母
解整式方程
检验
x=a不是分式方程的根
解分式方程
分式方程
整式方程
X=
乘最简
最简公分母不为0
的一般步骤
公分母
w=u是分式方程的根
口诀：一化、二解、三检验、四写根
特别提醒
解分式方程的注意事项：(1)常数项不要漏乘最简公分母；(2)分式的分母与最简公分母互为相反数时，
去分母后分子要变号；(3)不要忘记检验：
考点2)分式方程的应用（贵州3年1考）
1.列分式方程解决实际问题的步骡：
找等量关系
实际问题
列分式方程
解分式方程
双检验
答
设未知数
双检验：(1)检验是否是分式方程的根；(2)检验是否符合实际意义.
2.常见类型及等量关系：
常见类型
等量关系
第一次总费用第二次总费用
购买问题
数量差（或两次数量之间的和差倍分关系）
第一次单价
第二次单价
工作总量
工作总量
工程、生产问题
提前完成的天数
原计划每天完成的数量提高工作效率后每天完成的数量
总路程总路程
行程问题
=乙比甲提前到的时间
甲的速度乙的速度
3
X
例1
答题规范
解方程
2x-2
5=
x-1
解：方程两边都乘
2(x-1)
得
3+10(x-1)=2x
7
解这个方程，得x=
8
7
经检验，x=
是原方程的根，
8
变式训练
(2025·浙江)解分式
3
方程：
=0d
x+1x-1
解：x=2.
例2
一题多解某学校准备购买A,B两种图书，A种图书每本单价是B种图书每本单价的
1.2倍，并且用600元购买A种图书的数量比用180元购买B种图书的数量多64本.A,B两
种图书的单价各是多少元？
(1)根据题意，甲、乙两名同学分别列出如下方程：设x表示B种图书的单价，则甲同学所列
600180
方程为①
+64；设y表示②购买A种图书的数量，则乙同学所列方程
1.2xx
为00
180
×1.2.
y-64
(2)任选(1)中一种方法，求A,B两种图书的单价.
解：A,D两种图书的单价分别为6元和5元.
考点1》分式方程及其解法
2
1.（2025·湖南)将分式方程
去分母后，
X
x+1
得到的整式方程为
(A）
A.x+1=2x
B.X+2=1
.1=2x
D.x=2（x+1)
4
2.（2025·武汉)方程
x-1-x2-1
的解是
x=3
x-2
3.（2025·威海改编)方程
-1=
x-111-2x
的解是
x=(共19张PPT)
考点1)不等式及其基本性质
不等式
般地，用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”）连接的式子叫做不等式
概
不等式的解
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解
念
不等式的解集
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集
基
基本性质1
不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向①不变
本
基本性质2
不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向②不变
性
质
基本性质3
不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向③改变
考点2)一元一次不等式（组）的解法（贵州3年2考）
1.一元一次不等式的解法：
一般步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项：⑤系数化为1（特别注意基本性质3的变号）
数轴上
解集的
的表示
表示
解集
④x
⑤x>a
6x≤a
⑦x≥a
在数轴上表示解集时，要注意“两定”：一定边界点，二定方向.定边界点时，“≥”或“≤”是
总结
实心圆点，“>”或“<”是空心圆圈；定方向的原则为小于向左，大于向右
2.一元一次不等式组的解法：
(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；
一般步骤
(2)将每个不等式的解集在同一个数轴上表示出来，找出它们的公共部分；
(3)根据公共部分写出不等式组的解集，如果没有公共部分，那么不等式组无解
类型
解集在数轴上的表示
确定解集的口诀
解集
x>0,
同大取大
8x>b
x>b
解集的类型
及其在数轴
X<,
同小取小
9xlx上的表示
(b>a)
大小小大中间找
10axx大大小小找不到
①无解
lx>b
考点3)一元一次不等式的应用（贵州3年2考）
(1)找：找出题目中的不等关系；(2)设：设未知数；(3)列：根据不等关系，列出不等式（组）；
般步骤
(4)解：解不等式（组）；(5)验：检验是否符合题意及实际意义；(6)答：根据题意作答
(1)见到“大于、多于、超过、高于”用12>
(2)见到“小于、少于、不足、低于”用13<
常用关键词
(3)见到“至少、不低于、不小于、不少于”用4≥
(4)见到“至多、不超过、不大于、不高于”用⑤≤
例(1)(2025·达州)解不等式
3x-1=2x
≤
并把解集
2
3
表示在如图所示的数轴上.
-4-3-2-101
4
解：x≤1.图略.
(2)(2024·贵州改编)为增强学生的劳动意识，养成劳动
的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践.经学校
与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两
种作物.已知种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27
名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学
生（亩是我国市制土地面积单位）.
