8.1 平方根 教学设计 2025-2026学年数学人教版七年级下册
文档属性
| 名称 | 8.1 平方根 教学设计 2025-2026学年数学人教版七年级下册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 5.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-03-23 00:00:00 | ||
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文档简介
8.1 平方根
8.1 平方根（第1课时）
1．了解平方根（二次方根）的意义及表示方法，理解平方根的性质．
2．了解平方与开平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根．
平方根的性质与应用．
平方根的性质与应用．
新课导入
【问题】如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？
【师生活动】学生作答即可．
【答案】因为32＝9，所以这个数可以是3．
【设计意图】从所学的平方入手，为下文探究平方根做准备．
新知探究
一、探究学习
【问题】除了3以外，还有没有别的数的平方也等于9呢？
【师生活动】学生作答即可．
【答案】因为(－3)2＝9，所以这个数也可以是－3．
如果一个数的平方等于9，那么这个数是3或－3．
【新知】一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根．
例如，3和－3是9的平方根．通常把3和－3合在一起简记为“±3”，则±3是9的平方根．
平方与开平方互为逆运算．
【设计意图】直接进入主题，让学生感受平方等于9的数有两个，为归纳平方根的概念进行铺垫．
【问题】正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？
【师生活动】教师引导，学生作答，然后教师给出新知讲解．
【答案】可以看出，正数有两个平方根，它们互为相反数．
因为02＝0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根是0．
正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0的平方是0，即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根．
【新知】正数有两个平方根，它们互为相反数；
0的平方根是0；
负数没有平方根．
正数a的正的平方根记为“”，读作“根号a”，a叫作被开方数；正数a的负的平方根可以用“－”表示，故正数a的平方根可以用“±”表示，读作“正、负根号a”．例如，表示9的平方根，．特别地，0的平方根记为.
【设计意图】通过讨论，使学生对平方根有比较全面的认识，并体会分类思想．
二、典例精讲
【例1】求下列各数的平方根：
（1）64； （2）； （3）0.01．
【答案】解：（1）因为(±8)2＝64，所以64的平方根是±8；
（2）因为，所以的平方根是；
（3）因为(±0.1)2＝0.01，所以0.01的平方根是±0.1．
【设计意图】检验学生对平方根概念的理解和掌握情况．
【例2】求下列各数的平方根：
（1）； （2）0.000 4；
（3）(－25)2； （4）11．
【答案】解：（1）因为，所以有两个平方根．
又因为，所以的平方根是，即；
（2）因为(±0.02)2＝0.000 4，所以0.000 4的平方根是±0.02，即＝±0.02；
（3）因为(±25)2＝(－25)2，所以(－25)2的平方根是±25，即＝±25；
（4）11的平方根是±．
【归纳】求一个数的平方根，注意三点免出错：
（1）求一个正数的平方根，不能只考虑正的平方根而把负的平方根遗漏．
（2）如果被开方数为带分数，要先把它化成假分数．
（3）若一个正数a不能写成一个数的平方的形式，则可以将a的平方根表示为±．
【设计意图】进一步检验学生对平方根概念的理解和掌握情况，并提示学生需要注意的出错点．
三、课堂活动
观察下列动图，巩固理解平方根的意义．
课堂小结
8.1 平方根（第2课时）
1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个非负数的算术平方根．
2．了解求一个非负数的平方运算与求一个非负数的算术平方根互为逆运算的关系，会通过平方运算求某些非负数的算术平方根．
通过平方运算求某些非负数的算术平方根．
通过平方运算求某些非负数的算术平方根．
知识回顾
1.一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根．
2.正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
3.正数a的正的平方根记为“”，读作“根号a”，a叫作被开方数．
新知探究
一、探究学习
【新知】我们知道，正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根．正数a的算术平方根用来表示．
【思考】由和思考：
（1）a的取值范围是什么？
（2）算术平方根x的取值范围是什么？
【师生活动】教师引导，小组讨论，然后找学生代表回答．
【答案】（1）a是非负数，即a≥0．
（2）是非负数，即≥0，x≥0．
【新知】非负数的算术平方根是非负数．
负数不存在算术平方根，即当a＜0时，无意义．
【设计意图】通过回顾平方数和算术平方根的概念，得出被开方数和算术平方根的非负性，巩固学生对新知的理解．
二、典例精讲
【例1】求下列各数的算术平方根：
（1）100；（2）；（3）0.000 1．
【答案】解：（1）因为，所以100的算术平方根是10，即．
（2）因为，所以的算术平方根是，即．
（3）因为，所以0.000 1的算术平方根是0.01，即．
【归纳】被开方数越大，对应的算术平方根就越大．这个结论对所有正数都成立．
【思考】通过上面的例题，大家思考一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？
【答案】平方运算
【新知】求一个数的算术平方根与求一个非负数的平方恰好是互逆的运算．因此，求一个数的算术平方根的运算实际上可以转化为求一个非负数的平方的运算．
【设计意图】检验学生对算术平方根的掌握情况，让学生知道求一个数的算术平方根与求一个非负数的平方恰好是互逆的运算．
【例2】求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）．
【答案】解：（1）；（2）；（3）．
【新知】（1）在求a的算术平方根时，若a是有理数的平方，则a的算术平方根就不带根号；若a不是有理数的平方，则a的算术平方根就带有根号，如．
（2）求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算．熟记常用平方数对求一个数的算术平方根有着事半功倍的效果．
【设计意图】进一步检验学生对算术平方根的掌握情况，总结求算术平方根的规律和技巧．
【例3】计算：(－1)2 023－|－5|×(－6)＋．
【答案】解：原式＝－1－5×(－6)＋7
＝－1＋30＋7
＝36．
【新知】综合计算题的运算顺序：
解决综合计算题要从高级运算到低级运算，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
【设计意图】通过该例，让学生清楚综合计算的运算顺序．
【例4】已知，求x＋y＋z的值．
【答案】解：，
由绝对值、平方及算术平方根的非负性知
，y＋2＝0，，
得x＝，y＝－2，z＝，
所以x＋y＋z＝－2－＝－3．
【新知】“几个非负数的和为0”问题的解决方法：
目前学过的典型的非负数有a2，|b|，三种．根据非负数的性质，知若几个非负数的和为0，则每一个非负数均为0，即若a2＋|b|＋＝0，则a2＝0，|b|＝0，＝0．
【设计意图】检验学生对算术平方根非负性的掌握情况，总结“几个非负数的和为0”问题的解决方法．
课堂小结
8.1 平方根（第3课时）
1．通过学习用逼近法估计的大小，感受并了解无限不循环小数的特征，建立初步的数感，发展抽象思维．
2．会使用计算器求一个非负数的算术平方根．
3．培养估值意识，感受逼近的数学思想，在活动中学会思考、讨论、交流与合作．
4．理解被开方数小数点的位置与它的算术平方根中小数点位置对应的规律．
用逼近法估计的大小，被开方数小数点的位置与它的算术平方根中小数点位置对应的规律．
用逼近法估计的大小，被开方数小数点的位置与它的算术平方根中小数点位置对应的规律．
知识回顾
1．一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的 平方根或二次方根 ．
2．正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
3．正数a的正的平方根记为“ ”，读作“ 根号 a ”，a叫作 被开方数 ．
4．正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根．正数a 的算术平方根记为 ．
5．规定：0的算术平方根是 0 ．
若x2＝a（x≥0），则x＝.
6．非负数的算术平方根是 非负数 ．
负数不存在算术平方根，即当a＜0时， 无意义 ．
7．被开方数越大，对应的算术平方根 也越大 ．这个结论对所有 正数 都成立．
8．求一个数的算术平方根与 求一个非负数的平方 恰好是互逆的运算．因此，求一个数的算术平方根的运算实际上可以转化为 求一个非负数的平方的运算 ．
9．综合计算题的运算顺序：
解决综合计算题要从 高级 运算到 低级 运算，即先算 乘方、开方 ，再算 乘除 ，最后算 加减 ，有括号的要先算 括号里面的 ，同级运算要按照 从左到右 的顺序进行．
10．“几个非负数的和为0”问题的解决方法：
目前学过的典型的非负数有a2，|b|，三种．根据非负数的性质，知若几个非负数的和为0，则 每一个非负数均为0 ，即若a2＋|b|＋＝0，则 ．
新知探究
一、探究学习
【问题】怎样用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形？
【师生活动】教师提出问题，学生思考后作答．
【答案】如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2 dm2的大正方形．
【追问】你知道这个大正方形的边长吗？
【师生活动】学生小组讨论，教师给出引导．
【答案】设大正方形的边长为x dm，则
．
由边长的实际意义可知
，
所以大正方形的边长为 dm．
【设计意图】通过简单的拼接问题引出大正方形的边长为，为下面探究的大小作铺垫．
【问题】有多大呢？
【师生活动】教师提示可以从平方入手，学生小组讨论，然后一起探究．
【答案】因为，，12＜2＜22，
所以；
因为，，1.42＜2＜1.52，
所以；
因为，，1.412＜2＜1.422，
所以；
因为，，1.4142＜2＜1.4152，
所以；
……
【新知】如此进行下去，可以得到的更精确的估计范围．
事实上，，它是一个无限不循环小数．
【追问】无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数．你以前见过这样的数吗？
【新知】像π，0.001 000 100 001…这样的数就是无限不循环小数．
实际上，很多正有理数的算术平方根（例如，，等）都是无限不循环小数．
大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根（或其近似值）．
【设计意图】让学生知道可以用夹逼法求等无限不循环小数的近似值，引出用计算器求算术平方根的相关例题．
二、典例精讲
【例1】用计算器求下列各式的值：
（1）； （2）（结果保留小数点后三位）．
【答案】解：（1）依次按键3 136，
显示：56．
所以＝56．
（2）依次按键2，
显示：1.414 213 562．
所以≈1.414．
【归纳】（1）不同品牌的计算器，按键顺序有所不同．
（2）计算器上显示的1.414 213 562是的近似值．
【设计意图】让学生学会用计算器求算术平方根，以及检验学生根据要求取近似值的能力．
三、探究新知
【问题】（1）用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？
… …
… …
【师生活动】学生独立用计算器计算，然后小组讨论其中的规律，教师给出正确答案并口述理由．
【答案】0.25 0.790 6 2.5 7.906 25 79.06 250
从运算结果可以发现，被开方数的小数点向右或向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位．
【设计意图】让学生掌握被开方数和算术平方根小数点的位置移动对应情况，更加理解被开方数和算术平方根之间的关系．
【问题】（2）用计算器计算（结果保留小数点后三位），并利用你在（1）中发现的规律求出，，的近似值，你能根据的值求出的近似值吗？
【师生活动】学生作答，教师纠正．
【答案】由，得，，．
不能根据的值求出是多少．
【设计意图】检验学生对被开方数和算术平方根小数点的位置移动对应情况的理解．
四、典例精讲
【例2】小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长与宽的比为3∶2，但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！” 你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？
【答案】解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm．
根据边长与面积的关系，得
，
，
．
由边长的实际意义，得．
因此长方形纸片的长为 cm．
因为，所以．
由上可知，即长方形纸片的长应该大于21 cm．
因为，所以正方形纸片的边长只有20 cm，这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长．
答：不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片．
【设计意图】纠正一些学生错误的认识，让学生意识到有据可依的重要性，不能自己主观作出判断．
课堂小结
8.1 平方根（第4课时）
1．理解平方根的概念，能运用平方根进行计算求值．
2．理解算术平方根的概念，掌握算术平方根的非负性，能够区分它与平方根的不同之处，并能解决相关问题．
平方根与算术平方根的应用．
平方根与算术平方根的应用．
新课导入
本节我们学方根和算术平方根，并通过开平方认识了不同于有理数的无限不循环小数．随着数的扩充，数的运算也有了新的发展，不仅能进行加、减、乘、除四则运算，而且对0和任意正数能进行开平方运算．
本课时，主要对前面所学的内容进行复习巩固，进一步提高同学们对平方根和算术平方根问题的解决能力．
新知探究
类型一、平方根的概念理解
【例1】下列说法错误的是（ ）．
A．1的平方根是±1 B．－1没有平方根
C．是2的平方根 D．－3是的平方根
【师生活动】学生作答，小组讨论得出正确答案．
【答案】D
【解析】选项A：1的平方根是±1，说法正确，故本选项不符合题意；
选项B：－1没有平方根，说法正确，故本选项不符合题意；
选项C：是2的平方根，说法正确，故本选项不符合题意；
选项D：是的平方根，原说法错误，故本选项符合题意．
【归纳】（1）平方根的性质：
①正数有两个平方根，它们互为相反数；
②0的平方根是0；
③负数没有平方根．
（2）如果正数a不能写成有理数的平方的形式，那么可以将a的平方根表示成±．
【设计意图】通过该例，让学生回顾平方根的性质等知识．
【跟踪训练1】下列说法正确的是（ ）．
A．＝±5 B．－42的平方根是±4
C．64的平方根是8 D．
【答案】D
【解析】选项A：＝5，原说法错误，故此选项不符合题意；
选项B：因为－42＝－16，所以－42没有平方根，原说法错误，故此选项不符合题意；
选项C：64的平方根是±8，原说法错误，故此选项不符合题意；
选项D：，原说法正确，故此选项符合题意．
类型二、求平方根
【例2】求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）．
【师生活动】学生代表板书，然后教师和学生一起纠正．
【答案】解：（1）因为62＝36，所以；
（2）因为0.92＝0.81，所以；
（3）因为，所以．
【归纳】当a≥0时，，和的区别：
（1）：表示一个非负数的算术平方根．
（2）：表示一个非负数的算术平方根的相反数．
（3）：表示一个非负数的平方根．
【设计意图】通过该例，巩固学生对平方根的求解能力和对，和三者区别的掌握．
【跟踪训练2】下列各式中，正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】选项A：，故正确；
选项B：，故不正确；
选项C：，故不正确；
选项D：，故不正确．
类型三、利用平方根解方程
【例3】求下列各式中x的值：
（1）4x2－12＝0； （2）48－3(x－2)2＝0．
【师生活动】学生作答，小组讨论得出正确答案．
【答案】解：（1）4x2－12＝0，
4x2＝12，
x2＝3，
x＝±；
（2）48－3(x－2)2＝0，
3(x－2)2＝48，
(x－2)2＝16，
x－2＝±4，
x＝6或x＝－2．
【归纳】利用平方根的定义解方程的一般步骤：
（1）移项，使含未知数的项在等号的一边，常数项在等号的另一边；
（2）系数化为1，将方程化为x ＝a的形式；
（3）根据平方根的定义求出未知数x的值（一般有两个解）．
【设计意图】通过该例，让学生能够解形式为x ＝a的方程．
【跟踪训练3】求满足下列各式x的值．
（1）169x2－100＝0； （2）(2x－1)2＝(－5)2．
【答案】解：（1）∵169x2－100＝0，
∴．
由，
可得．
（2）由(2x－1)2＝(－5)2，得2x－1＝±5，
解得x＝3或x＝－2．
类型四、算术平方根的概念
【例4】的算术平方根是（ ）．
A．±3 B．3 C．－3 D．
【师生活动】学生作答，教师给出正确答案和解析．
【答案】D
【解析】∵＝3，
∴的算术平方根是．
【归纳】算术平方根的性质：
（1）正数的算术平方根是一个正数；
（2）0的算术平方根是0；
（3）负数没有算术平方根；
（4）被开方数越大，对应的算术平方根也越大．
【设计意图】通过解答本题，让学生回顾算术平方根的相关概念与性质．
【跟踪训练4】下列说法正确的是（ ）．
A．－5是25的平方根 B．±4是16的算术平方根
C．2是－4的算术平方根 D．1的平方根是它本身
【答案】A
【解析】选项A：－5是25的平方根，故该项符合题意；
选项B：4是16的算术平方根，故该项不符合题意；
选项C：2是4的算术平方根，故该项不符合题意；
选项D：1的平方根是±1，故该项不符合题意．
类型五、利用算术平方根的非负性解题
【例5】若x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）．
A．9 B．12 C．15 D．12或15
【师生活动】学生作答后小组讨论得出正确答案．
【答案】C
【解析】∵x，y满足|3－x|＋＝0，
∴x＝3，y＝6．
当3为腰长时，三边长为3，3，6，
而3＋3＝6，则以3，3，6为边长不能组成三角形；
当3为底边长时，三边长分别为3，6，6，
∴等腰三角形的周长为3＋6＋6＝15．
【归纳】算术平方根和绝对值都是非负数，当几个非负数的和等于0时，每一个非负数都为0．
【设计意图】通过该例巩固学生对算术平方根非负性的理解．
【跟踪训练5】若，则（ ）．
A．1 B．－1 C．－3 D．－5
【答案】D
【解析】∵，
∴且，
解得，
所以．
类型六、估计算术平方根的取值范围
【例6】估计＋1的运算结果应在（ ）两个连续自然数之间．
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
【师生活动】小组讨论后作答，教师给出正确答案和解析．
【答案】C
【解析】∵，即，
∴．
【归纳】估计算术平方根的取值范围的一般步骤：
第1步：将算术平方根平方：
第2步：找出其结果在哪两个相邻的完全平方数之间；
第3步：确定算术平方根的取值范围．
【设计意图】通过该例，让学生知道并掌握如何估计算术平方根的大小．
【跟踪训练6】估计的值应在（ ）．
A．4和5之间 B．3和4之间
C．2和3之间 D．1和2之间
【答案】B
【解析】∵，，
∴．
∴．
∴．
课堂小结
8.1 平方根（第1课时）
1．了解平方根（二次方根）的意义及表示方法，理解平方根的性质．
2．了解平方与开平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根．
平方根的性质与应用．
平方根的性质与应用．
新课导入
【问题】如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？
【师生活动】学生作答即可．
【答案】因为32＝9，所以这个数可以是3．
【设计意图】从所学的平方入手，为下文探究平方根做准备．
新知探究
一、探究学习
【问题】除了3以外，还有没有别的数的平方也等于9呢？
【师生活动】学生作答即可．
【答案】因为(－3)2＝9，所以这个数也可以是－3．
如果一个数的平方等于9，那么这个数是3或－3．
【新知】一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根．
例如，3和－3是9的平方根．通常把3和－3合在一起简记为“±3”，则±3是9的平方根．
平方与开平方互为逆运算．
【设计意图】直接进入主题，让学生感受平方等于9的数有两个，为归纳平方根的概念进行铺垫．
【问题】正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？
【师生活动】教师引导，学生作答，然后教师给出新知讲解．
【答案】可以看出，正数有两个平方根，它们互为相反数．
因为02＝0，并且任何一个不为0的数的平方都不等于0，所以0的平方根是0．
正数的平方是正数，负数的平方也是正数，0的平方是0，即在我们所认识的数中，任何一个数的平方都不是负数，所以负数没有平方根．
【新知】正数有两个平方根，它们互为相反数；
0的平方根是0；
负数没有平方根．
正数a的正的平方根记为“”，读作“根号a”，a叫作被开方数；正数a的负的平方根可以用“－”表示，故正数a的平方根可以用“±”表示，读作“正、负根号a”．例如，表示9的平方根，．特别地，0的平方根记为.
【设计意图】通过讨论，使学生对平方根有比较全面的认识，并体会分类思想．
二、典例精讲
【例1】求下列各数的平方根：
（1）64； （2）； （3）0.01．
【答案】解：（1）因为(±8)2＝64，所以64的平方根是±8；
（2）因为，所以的平方根是；
（3）因为(±0.1)2＝0.01，所以0.01的平方根是±0.1．
【设计意图】检验学生对平方根概念的理解和掌握情况．
【例2】求下列各数的平方根：
（1）； （2）0.000 4；
（3）(－25)2； （4）11．
【答案】解：（1）因为，所以有两个平方根．
又因为，所以的平方根是，即；
（2）因为(±0.02)2＝0.000 4，所以0.000 4的平方根是±0.02，即＝±0.02；
（3）因为(±25)2＝(－25)2，所以(－25)2的平方根是±25，即＝±25；
（4）11的平方根是±．
【归纳】求一个数的平方根，注意三点免出错：
（1）求一个正数的平方根，不能只考虑正的平方根而把负的平方根遗漏．
（2）如果被开方数为带分数，要先把它化成假分数．
（3）若一个正数a不能写成一个数的平方的形式，则可以将a的平方根表示为±．
【设计意图】进一步检验学生对平方根概念的理解和掌握情况，并提示学生需要注意的出错点．
三、课堂活动
观察下列动图，巩固理解平方根的意义．
课堂小结
8.1 平方根（第2课时）
1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个非负数的算术平方根．
2．了解求一个非负数的平方运算与求一个非负数的算术平方根互为逆运算的关系，会通过平方运算求某些非负数的算术平方根．
通过平方运算求某些非负数的算术平方根．
通过平方运算求某些非负数的算术平方根．
知识回顾
1.一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根．
2.正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
3.正数a的正的平方根记为“”，读作“根号a”，a叫作被开方数．
新知探究
一、探究学习
【新知】我们知道，正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根．正数a的算术平方根用来表示．
【思考】由和思考：
（1）a的取值范围是什么？
（2）算术平方根x的取值范围是什么？
【师生活动】教师引导，小组讨论，然后找学生代表回答．
【答案】（1）a是非负数，即a≥0．
（2）是非负数，即≥0，x≥0．
【新知】非负数的算术平方根是非负数．
负数不存在算术平方根，即当a＜0时，无意义．
【设计意图】通过回顾平方数和算术平方根的概念，得出被开方数和算术平方根的非负性，巩固学生对新知的理解．
二、典例精讲
【例1】求下列各数的算术平方根：
（1）100；（2）；（3）0.000 1．
【答案】解：（1）因为，所以100的算术平方根是10，即．
（2）因为，所以的算术平方根是，即．
（3）因为，所以0.000 1的算术平方根是0.01，即．
【归纳】被开方数越大，对应的算术平方根就越大．这个结论对所有正数都成立．
【思考】通过上面的例题，大家思考一下，我们在求算术平方根时是借助于哪一种运算来求的？
【答案】平方运算
【新知】求一个数的算术平方根与求一个非负数的平方恰好是互逆的运算．因此，求一个数的算术平方根的运算实际上可以转化为求一个非负数的平方的运算．
【设计意图】检验学生对算术平方根的掌握情况，让学生知道求一个数的算术平方根与求一个非负数的平方恰好是互逆的运算．
【例2】求下列各式的值：
（1）；（2）；（3）．
【答案】解：（1）；（2）；（3）．
【新知】（1）在求a的算术平方根时，若a是有理数的平方，则a的算术平方根就不带根号；若a不是有理数的平方，则a的算术平方根就带有根号，如．
（2）求一个非负数的算术平方根常借助于平方运算．熟记常用平方数对求一个数的算术平方根有着事半功倍的效果．
【设计意图】进一步检验学生对算术平方根的掌握情况，总结求算术平方根的规律和技巧．
【例3】计算：(－1)2 023－|－5|×(－6)＋．
【答案】解：原式＝－1－5×(－6)＋7
＝－1＋30＋7
＝36．
【新知】综合计算题的运算顺序：
解决综合计算题要从高级运算到低级运算，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
【设计意图】通过该例，让学生清楚综合计算的运算顺序．
【例4】已知，求x＋y＋z的值．
【答案】解：，
由绝对值、平方及算术平方根的非负性知
，y＋2＝0，，
得x＝，y＝－2，z＝，
所以x＋y＋z＝－2－＝－3．
【新知】“几个非负数的和为0”问题的解决方法：
目前学过的典型的非负数有a2，|b|，三种．根据非负数的性质，知若几个非负数的和为0，则每一个非负数均为0，即若a2＋|b|＋＝0，则a2＝0，|b|＝0，＝0．
【设计意图】检验学生对算术平方根非负性的掌握情况，总结“几个非负数的和为0”问题的解决方法．
课堂小结
8.1 平方根（第3课时）
1．通过学习用逼近法估计的大小，感受并了解无限不循环小数的特征，建立初步的数感，发展抽象思维．
2．会使用计算器求一个非负数的算术平方根．
3．培养估值意识，感受逼近的数学思想，在活动中学会思考、讨论、交流与合作．
4．理解被开方数小数点的位置与它的算术平方根中小数点位置对应的规律．
用逼近法估计的大小，被开方数小数点的位置与它的算术平方根中小数点位置对应的规律．
用逼近法估计的大小，被开方数小数点的位置与它的算术平方根中小数点位置对应的规律．
知识回顾
1．一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的 平方根或二次方根 ．
2．正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
3．正数a的正的平方根记为“ ”，读作“ 根号 a ”，a叫作 被开方数 ．
4．正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根．正数a 的算术平方根记为 ．
5．规定：0的算术平方根是 0 ．
若x2＝a（x≥0），则x＝.
6．非负数的算术平方根是 非负数 ．
负数不存在算术平方根，即当a＜0时， 无意义 ．
7．被开方数越大，对应的算术平方根 也越大 ．这个结论对所有 正数 都成立．
8．求一个数的算术平方根与 求一个非负数的平方 恰好是互逆的运算．因此，求一个数的算术平方根的运算实际上可以转化为 求一个非负数的平方的运算 ．
9．综合计算题的运算顺序：
解决综合计算题要从 高级 运算到 低级 运算，即先算 乘方、开方 ，再算 乘除 ，最后算 加减 ，有括号的要先算 括号里面的 ，同级运算要按照 从左到右 的顺序进行．
10．“几个非负数的和为0”问题的解决方法：
目前学过的典型的非负数有a2，|b|，三种．根据非负数的性质，知若几个非负数的和为0，则 每一个非负数均为0 ，即若a2＋|b|＋＝0，则 ．
新知探究
一、探究学习
【问题】怎样用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形？
【师生活动】教师提出问题，学生思考后作答．
【答案】如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2 dm2的大正方形．
【追问】你知道这个大正方形的边长吗？
【师生活动】学生小组讨论，教师给出引导．
【答案】设大正方形的边长为x dm，则
．
由边长的实际意义可知
，
所以大正方形的边长为 dm．
【设计意图】通过简单的拼接问题引出大正方形的边长为，为下面探究的大小作铺垫．
【问题】有多大呢？
【师生活动】教师提示可以从平方入手，学生小组讨论，然后一起探究．
【答案】因为，，12＜2＜22，
所以；
因为，，1.42＜2＜1.52，
所以；
因为，，1.412＜2＜1.422，
所以；
因为，，1.4142＜2＜1.4152，
所以；
……
【新知】如此进行下去，可以得到的更精确的估计范围．
事实上，，它是一个无限不循环小数．
【追问】无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数．你以前见过这样的数吗？
【新知】像π，0.001 000 100 001…这样的数就是无限不循环小数．
实际上，很多正有理数的算术平方根（例如，，等）都是无限不循环小数．
大多数计算器都有键，用它可以求出一个正有理数的算术平方根（或其近似值）．
【设计意图】让学生知道可以用夹逼法求等无限不循环小数的近似值，引出用计算器求算术平方根的相关例题．
二、典例精讲
【例1】用计算器求下列各式的值：
（1）； （2）（结果保留小数点后三位）．
【答案】解：（1）依次按键3 136，
显示：56．
所以＝56．
（2）依次按键2，
显示：1.414 213 562．
所以≈1.414．
【归纳】（1）不同品牌的计算器，按键顺序有所不同．
（2）计算器上显示的1.414 213 562是的近似值．
【设计意图】让学生学会用计算器求算术平方根，以及检验学生根据要求取近似值的能力．
三、探究新知
【问题】（1）用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律？
… …
… …
【师生活动】学生独立用计算器计算，然后小组讨论其中的规律，教师给出正确答案并口述理由．
【答案】0.25 0.790 6 2.5 7.906 25 79.06 250
从运算结果可以发现，被开方数的小数点向右或向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或向左移动1位．
【设计意图】让学生掌握被开方数和算术平方根小数点的位置移动对应情况，更加理解被开方数和算术平方根之间的关系．
【问题】（2）用计算器计算（结果保留小数点后三位），并利用你在（1）中发现的规律求出，，的近似值，你能根据的值求出的近似值吗？
【师生活动】学生作答，教师纠正．
【答案】由，得，，．
不能根据的值求出是多少．
【设计意图】检验学生对被开方数和算术平方根小数点的位置移动对应情况的理解．
四、典例精讲
【例2】小丽想用一块面积为400 cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 cm2的长方形纸片，使它的长与宽的比为3∶2，但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！” 你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？
【答案】解：设长方形纸片的长为3x cm，宽为2x cm．
根据边长与面积的关系，得
，
，
．
由边长的实际意义，得．
因此长方形纸片的长为 cm．
因为，所以．
由上可知，即长方形纸片的长应该大于21 cm．
因为，所以正方形纸片的边长只有20 cm，这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长．
答：不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片．
【设计意图】纠正一些学生错误的认识，让学生意识到有据可依的重要性，不能自己主观作出判断．
课堂小结
8.1 平方根（第4课时）
1．理解平方根的概念，能运用平方根进行计算求值．
2．理解算术平方根的概念，掌握算术平方根的非负性，能够区分它与平方根的不同之处，并能解决相关问题．
平方根与算术平方根的应用．
平方根与算术平方根的应用．
新课导入
本节我们学方根和算术平方根，并通过开平方认识了不同于有理数的无限不循环小数．随着数的扩充，数的运算也有了新的发展，不仅能进行加、减、乘、除四则运算，而且对0和任意正数能进行开平方运算．
本课时，主要对前面所学的内容进行复习巩固，进一步提高同学们对平方根和算术平方根问题的解决能力．
新知探究
类型一、平方根的概念理解
【例1】下列说法错误的是（ ）．
A．1的平方根是±1 B．－1没有平方根
C．是2的平方根 D．－3是的平方根
【师生活动】学生作答，小组讨论得出正确答案．
【答案】D
【解析】选项A：1的平方根是±1，说法正确，故本选项不符合题意；
选项B：－1没有平方根，说法正确，故本选项不符合题意；
选项C：是2的平方根，说法正确，故本选项不符合题意；
选项D：是的平方根，原说法错误，故本选项符合题意．
【归纳】（1）平方根的性质：
①正数有两个平方根，它们互为相反数；
②0的平方根是0；
③负数没有平方根．
（2）如果正数a不能写成有理数的平方的形式，那么可以将a的平方根表示成±．
【设计意图】通过该例，让学生回顾平方根的性质等知识．
【跟踪训练1】下列说法正确的是（ ）．
A．＝±5 B．－42的平方根是±4
C．64的平方根是8 D．
【答案】D
【解析】选项A：＝5，原说法错误，故此选项不符合题意；
选项B：因为－42＝－16，所以－42没有平方根，原说法错误，故此选项不符合题意；
选项C：64的平方根是±8，原说法错误，故此选项不符合题意；
选项D：，原说法正确，故此选项符合题意．
类型二、求平方根
【例2】求下列各式的值：
（1）； （2）； （3）．
【师生活动】学生代表板书，然后教师和学生一起纠正．
【答案】解：（1）因为62＝36，所以；
（2）因为0.92＝0.81，所以；
（3）因为，所以．
【归纳】当a≥0时，，和的区别：
（1）：表示一个非负数的算术平方根．
（2）：表示一个非负数的算术平方根的相反数．
（3）：表示一个非负数的平方根．
【设计意图】通过该例，巩固学生对平方根的求解能力和对，和三者区别的掌握．
【跟踪训练2】下列各式中，正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】选项A：，故正确；
选项B：，故不正确；
选项C：，故不正确；
选项D：，故不正确．
类型三、利用平方根解方程
【例3】求下列各式中x的值：
（1）4x2－12＝0； （2）48－3(x－2)2＝0．
【师生活动】学生作答，小组讨论得出正确答案．
【答案】解：（1）4x2－12＝0，
4x2＝12，
x2＝3，
x＝±；
（2）48－3(x－2)2＝0，
3(x－2)2＝48，
(x－2)2＝16，
x－2＝±4，
x＝6或x＝－2．
【归纳】利用平方根的定义解方程的一般步骤：
（1）移项，使含未知数的项在等号的一边，常数项在等号的另一边；
（2）系数化为1，将方程化为x ＝a的形式；
（3）根据平方根的定义求出未知数x的值（一般有两个解）．
【设计意图】通过该例，让学生能够解形式为x ＝a的方程．
【跟踪训练3】求满足下列各式x的值．
（1）169x2－100＝0； （2）(2x－1)2＝(－5)2．
【答案】解：（1）∵169x2－100＝0，
∴．
由，
可得．
（2）由(2x－1)2＝(－5)2，得2x－1＝±5，
解得x＝3或x＝－2．
类型四、算术平方根的概念
【例4】的算术平方根是（ ）．
A．±3 B．3 C．－3 D．
【师生活动】学生作答，教师给出正确答案和解析．
【答案】D
【解析】∵＝3，
∴的算术平方根是．
【归纳】算术平方根的性质：
（1）正数的算术平方根是一个正数；
（2）0的算术平方根是0；
（3）负数没有算术平方根；
（4）被开方数越大，对应的算术平方根也越大．
【设计意图】通过解答本题，让学生回顾算术平方根的相关概念与性质．
【跟踪训练4】下列说法正确的是（ ）．
A．－5是25的平方根 B．±4是16的算术平方根
C．2是－4的算术平方根 D．1的平方根是它本身
【答案】A
【解析】选项A：－5是25的平方根，故该项符合题意；
选项B：4是16的算术平方根，故该项不符合题意；
选项C：2是4的算术平方根，故该项不符合题意；
选项D：1的平方根是±1，故该项不符合题意．
类型五、利用算术平方根的非负性解题
【例5】若x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）．
A．9 B．12 C．15 D．12或15
【师生活动】学生作答后小组讨论得出正确答案．
【答案】C
【解析】∵x，y满足|3－x|＋＝0，
∴x＝3，y＝6．
当3为腰长时，三边长为3，3，6，
而3＋3＝6，则以3，3，6为边长不能组成三角形；
当3为底边长时，三边长分别为3，6，6，
∴等腰三角形的周长为3＋6＋6＝15．
【归纳】算术平方根和绝对值都是非负数，当几个非负数的和等于0时，每一个非负数都为0．
【设计意图】通过该例巩固学生对算术平方根非负性的理解．
【跟踪训练5】若，则（ ）．
A．1 B．－1 C．－3 D．－5
【答案】D
【解析】∵，
∴且，
解得，
所以．
类型六、估计算术平方根的取值范围
【例6】估计＋1的运算结果应在（ ）两个连续自然数之间．
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
【师生活动】小组讨论后作答，教师给出正确答案和解析．
【答案】C
【解析】∵，即，
∴．
【归纳】估计算术平方根的取值范围的一般步骤：
第1步：将算术平方根平方：
第2步：找出其结果在哪两个相邻的完全平方数之间；
第3步：确定算术平方根的取值范围．
【设计意图】通过该例，让学生知道并掌握如何估计算术平方根的大小．
【跟踪训练6】估计的值应在（ ）．
A．4和5之间 B．3和4之间
C．2和3之间 D．1和2之间
【答案】B
【解析】∵，，
∴．
∴．
∴．
课堂小结
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