8.2 立方根 （2课时） 教学设计 2025-2026学年数学人教版七年级下册

8.2　立方根
8.2　立方根（第1课时）
　　1．了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根．
　　2．会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，了解立方根的性质．
　　3．区分立方根与平方根的不同．
　　求一个数的立方根，立方根的性质．
　　立方根与平方根的不同．
知识回顾
　　1．什么是一个数a的平方根？如何用符号表示数a(a≥0)的平方根？
　　一般地，如果一个数x的平方等于 a，即x2＝a，那么这个数x叫作 a 的平方根或二次方根．
　　数a(a≥0)的平方根用符号表示为±．
　　2．正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？
　　正数有两个平方根，它们互为相反数．
　　3．负数有没有平方根？0的平方根是什么？
　　负数没有平方根，0的平方根是0．
　　4．练一练
　　＝ 7.2 ；＝ 5 ；
　　25的平方根是 ±5 ；－9是 81 的一个平方根．
新知探究
一、探究学习
【问题】如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少？
【师生活动】教师提问，小组讨论．
【答案】因为23＝8，所以这个数可以是2.除2以外，任何一个数的立方都不等于8.因此，如果一个数的立方等于8，那么这个数是2.
　　【设计意图】通过知道一个数的立方，从而得到原数，为下文引入新知作铺垫．
　　【问题】利用一个数的平方运算可以求出一个数的平方根，那么已知一个数的立方，能否求出这个数呢？
　　【师生活动】教师提问，然后仿照平方根的概念给出立方根的概念．
　　【新知】一般地，如果一个数 x 的立方等于 a，即x3＝a，那么这个数 x叫作 a 的立方根或三次方根．
　　例如，因为23＝8，所以2叫做8的立方根；
　　因为(－2)3＝－8，所以－2叫做－8的立方根；
　　因为03＝0，所以0叫做0的立方根．
　　【设计意图】通过类比平方根的概念和举例，让学生更好地理解和掌握立方根的概念．
　　【问题】数的立方根与数的平方根有什么不同？
【师生活动】教师提示与平方根类似，学生猜想表示方法，然后教师给出正确的立方根表示方法．
【新知】类似于平方根，一个数a的立方根记为“”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数．
例如，表示8的立方根，；表示－8的立方根，．中的根指数“3”不能省略．
算术平方根的符号，实际上省略了中的根指数2．因此，也可读作“二次根号a”．
【设计意图】类比平方根给出立方根的定义，使学生更易理解和掌握立方根的概念，并能明确平方根和立方根的区别．
　　【思考】立方运算和求立方根的运算有什么关系？
【师生活动】教师给出开立方的定义，通过举例让学生明白两者互为逆运算．
【新知】求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算，根据这种互逆关系，可以求一个数的立方根．
【设计意图】给出开立方的定义，让学生知道开立方与立方互为逆运算，计算立方根时可以借助立方来求解．
【问题】求出下列各数的立方根.
（1）27； （2）－27； （3）； （4）－0.125．
【师生活动】学生作答，教师纠正．
【答案】解：（1）因为，
所以27的立方根是3，即．
（2）因为，
所以－27的立方根是－3，即．
（3）因为，
所以的立方根是，即．
（4）因为，
所以－0.125的立方根是－0.5，即．
【新知】立方根的性质：
正数的立方根是正数，
负数的立方根是负数，
0的立方根是0．
【设计意图】通过计算几个数的立方根，得出立方根的性质．
　　【问题】因为_____，_____，所以_____；
　　因为_____，_____，所以_____．
【师生活动】学生作答，小组讨论规律，教师给出讲解．
【答案】－2　　－2　　＝　　－3　　－3　　＝
【新知】一般地，．
这样，求一个负数的立方根，可以先求这个负数的绝对值的立方根，再取它的相反数．
【设计意图】通过填空让学生得出的规律，知道求一个负数的立方根时，可以借助这个负数的绝对值的立方根来求解．
二、典例精讲
　　【例题】求下列各式的值：
　　（1）； （2）； （3）．
　　【答案】解：（1）；
　　（2）；
　　（3）．
【设计意图】检验学生对立方根概念及性质的掌握情况．
三、课堂活动
观察下列动图，巩固对立方根相关知识的理解．
课堂小结
8.2　立方根（第2课时）
　　1．会用计算器求立方根，会用计算器比较两数大小．
　　2．经历运用计算器探求数学规律的活动，发展合情推理能力．
　　3．在解决问题的过程中，体会用计算器计算给解决问题带来的方便，增强学习数学的兴趣．
　　用计算器求立方根．
用计算器求立方根．
计算器．
知识回顾
　　1．一般地，如果一个数x的立方等于a，即 x3＝a，那么这个数x叫作a的 立方根或三次方根 ．
　　2．类似于平方根，一个数a的立方根记为“ ”，读作“ 三次根号a ”，其中a是 被开方数 ，3是 根指数 ．
　　3．算术平方根的符号，实际上省略了 中的根指数 2 ．因此，也可读作“ 二次根号a ”．
　　4．求一个数的立方根的运算，叫做 开立方 ．
　　5．正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算，我们可以根据这种关系 求一个数的立方根 ．
　　6．立方根的性质：
　　正数的立方根是 正数 ，
　　负数的立方根是 负数 ，
　　0的立方根是 0 ．
　　7．一般地， ．
新知探究
一、探究学习
　　【问题】前面我们学习了是一个无限不循环小数，你能再列举出几个无限不循环小数的例子吗？
　　【师生活动】教师提问，学生作答，然后教师讲解新知．
　　【新知】实际上，很多有理数的立方根（如， ）是无限不循环小数．我们可以用有理数近似地表示它们．
　　【设计意图】通过举例让学生了解有理数的立方根是无限不循环小数，无限不循环小数可以用有理数近似表示，为继续讲解计算器的使用作铺垫．
　　【问题】怎样可以得到这些无限不循环小数的具体数值呢？
　　【师生活动】教师讲解，引导学生用自己的计算器按键计算相关数值．
　　【新知】一些计算器设有键，用它可以求出一个数的立方根（或其近似值）．
　　例如，用计算器求，可以按照下面的步骤进行：
　　依次按键2197，显示：13．
　　所以＝13．
　　有些计算器需要调用备用功能求一个数的立方根.
　　【设计意图】让学生掌握用计算器求立方根的按键顺序，为后文的用计算器计算立方根探索规律做准备．
　　【问题】用计算器计算，，，，…，你能发现什么规律？
　　【师生活动】小组合作探讨得出结论，教师补充．
【答案】用计算器算得
，
，
，
．
　　可以发现被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位．
　　【追问】用计算器计算（结果保留小数点后三位），并利用你发现的规律求，，的近似值．
【答案】由，得
，
，
．
【新知】被开方数与立方根小数点的移动规律：
求一个数的立方根时，被开方数的小数点每移动三位，其立方根的小数点就会向相应的方向移动一位．也就是说，当被开方数的小数点每向左或向右移动3n位时，其立方根的小数点向左或向右移动n位；反之，也成立．
【设计意图】通过用计算器计算得出小数点移动对立方根和被开方数的影响规律．
　　【问题】任意找一个非零正数，利用计算器对它不断进行开立方运算，你发现了什么？
　　【师生活动】教师提问，学生作答．
【答案】计算的结果越来越接近1．
【追问】任意找一个非零负数，利用计算器对它不断进行开立方运算，你发现了什么？
【答案】计算的结果越来越接近－1．
　　【新知】任意一个非零正数（或负数），利用计算器对它不断进行开立方运算，其计算的结果越来越接近1或－1．
　　【设计意图】进一步发现开立方运算的规律．
二、典例精讲
【例1】利用计算器求下列各式的值（精确到0.001）：
（1）； （2）．
【答案】解：（1）依次按键()－472，
显示：－3.613937739．
按精确到0.001取近似值，．
（2）依次按键()35，
显示：0.8434326653．
按精确到0.001取近似值，．
【设计意图】检验学生熟练操作计算器求立方根的能力．
【例2】用计算器比较和的大小．
【答案】解：依次按键()3，
　　显示：1.44224957．
依次按键()2，
　　显示：1.414213562．
　　所以．
　　【新知】用计算器比较两数大小时：
　　先用科学计算器求出各个数的近似值，再通过比较近似值进而得出答案．
【设计意图】让学生进一步熟练用计算器得到无限不循环小数的近似值，并能够进行大小比较．
课堂小结