9.1 用坐标描述平面内点的位置 教学设计（2课时）2025-2026学年数学人教版七年级下册

9.1　用坐标描述平面内点的位置
9.1　用坐标描述平面内点的位置（第1课时）
　　1．理解平面直角坐标系的相关概念．
　　2．掌握平面直角坐标系内的点与坐标是一一对应的，会由点的位置写出点的坐标，由点的坐标确定点的位置．
　　平面直角坐标系的相关概念．
　　由点的位置写出点的坐标，由点的坐标确定点的位置．
新课导入
　　【问题】1．什么是数轴？请画出一条数轴．
　　【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答．
　　【答案】数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线．
　　【问题】2．如图，A，B两点所表示的数分别是什么？在数轴上描出“5”表示的点．
　　【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答．
　　【答案】A，B两点所表示的数分别是－4和2．点C（如图）是“5”表示的点．
　　【总结】数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫作这个点在数轴上的坐标．例如，点A的坐标为－4，点B的坐标为2，点C的坐标为5．
　　【问题】3．在数轴上已知点能说出它的坐标，由坐标能在数轴上找到对应点的位置．那么数轴上的点与坐标有怎样的关系？
　　【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答，教师总结．
　　【答案】数轴上的点与坐标一一对应．
　　【设计意图】从学生熟悉的数轴出发，给出数轴上点的坐标的定义．建立点与坐标的一一对应关系，为新课“平面直角坐标系”作铺垫．
新知探究
一、探究学习
　　【思考】类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种办法来确定平面内一点A的位置呢（如图）？
　　【师生活动】教师提出问题，学生分小组讨论．
　　教师提示：可以借助已学过的有序数对、数轴知识进行思考．
　　学生根据提示，小组讨论并派代表回答．
　　如图，约定“列数在前，排数在后”，点A在“第3列第4排”，记为(3，4)．
　　教师追问：你能用同样的方法来确定点B，C的位置吗？
　　学生回答：点B记为(－3，3)，点C记为(－2，－3)．
　　【新知】如图，我们可以在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向．竖直的数轴称为y轴或纵轴，习惯上取向上为正方向；两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点．
有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了．如图，由点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足M在x轴上的坐标是3，垂足N在y轴上的坐标是4，我们说点A的横坐标是3，纵坐标是4，有序数对(3，4)就叫作点A的坐标，记作“A(3，4)”．类似地，点B，C的坐标：B(－3，3)，C(－2，－3)．原点O的坐标为(0，0)．
　　【设计意图】通过问题串的形式，引导学生利用学过的有序数对、数轴知识解决问题．让学生在解决具体问题过程中，自然而然地建立平面直角坐标系，并理解相关概念．
二、典例精讲
　　【例1】下列说法正确的是（　　）．
　　A．在平面内两条互相垂直的数轴组成了平面直角坐标系
　　B．在平面内两条原点互相重合的数轴组成了平面直角坐标系
　　C．组成平面直角坐标系的x轴与y轴的单位长度必须是一致的
　　D．组成平面直角坐标系的同一坐标轴上的单位长度必须是一致的
　　【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答．
　　教师分析：因为两条数轴必须同时满足互相垂直和原点重合这两个条件，才能组成平面直角坐标系，所以选项A，B错误；根据实际需要，x轴与y轴的单位长度可以不相同，所以选项C错误；同一坐标轴上的单位长度必须是一致的，所以选项D正确．
　　【答案】D
　　【归纳】平面直角坐标系必须具备的三个条件：
　　（1）两条坐标轴互相垂直；
　　（2）两条坐标轴原点重合；
　　（3）每条坐标轴都符合数轴的特征．
　　【例2】在平面直角坐标系中描出下列各点：
A(4，5)，B(－2，3)，C(－2.5，－2)，D(4，－2)，E(0，－4)．
　　【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答，教师总结．
　　【答案】解：如图，先在x轴上找出表示4的点，再在y轴上找出表示5的点，过这两个点分别作x轴和y轴的垂线，垂线的交点就是点A．
类似地，点B，C，D，E的位置如图所示．
　　【归纳】在平面直角坐标系中确定坐标(a，b)所表示的点P的具体步骤：
　　第1步：在x轴上找出表示数a的点，过该点作x轴的垂线；
　　第2步：在y轴上找出表示数b的点，过该点作y轴的垂线．
　　两条垂线的交点就是已知坐标表示的点P．
　　类比数轴上的点与实数是一一对应的．对于坐标平面内任意一点M，都有唯一的一个有序实数对(x，y)（即点M的坐标）和它对应；反过来，对于任意一个有序实数对(x，y)，在坐标平面内都有唯一的一点M（即坐标为(x，y)的点）和它对应．也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．
　　【设计意图】通过例题的讲解与练习，巩固学生对所学知识的理解及应用．
三、拓展提升
　　【探究】请说出点A，B，C，D到坐标轴的距离，你从中发现了什么规律？
　　【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答，教师总结．
　　【答案】A(4，5)到x轴的距离是5，B(－2，3)到x轴的距离是3，C(－2.5，－2)到x轴的距离是2，D(4，－2)到x轴的距离是2．
　　A(4，5)到y轴的距离是4，B(－2，3)到y轴的距离是2，C(－2.5，－2)到y轴的距离是2.5，D(4，－2)到y轴的距离是4．
　　【归纳】点(a，b)到x轴的距离是|y|；点(a，b)到y轴的距离是|x|．
课堂小结
9.1　用坐标描述平面内点的位置（第2课时）
　　1．进一步理解平面直角坐标系的相关概念．
　　2．掌握坐标系中各象限内、坐标轴上等特殊点的坐标特征，进一步体会数形结合的数学思想．
　　坐标系中各象限内、坐标轴上等特殊点的坐标特征．
　　坐标系中各象限内、坐标轴上等特殊点的坐标特征．
知识回顾
　　在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点．
　　【设计意图】带领学生复习已学过的平面直角坐标系的知识，为新课“坐标平面内点的坐标特征”作铺垫．
新知探究
一、探究学习
　　【新知】建立平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成了Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，每个部分称为象限，它们分别叫作第一象限、第二象限、第三象限和第四象限．坐标轴上的点不属于任何象限．
　　【问题】（1）已知平面直角坐标系，写出图中点A，B，C，D的坐标．
　　【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答．
　　A(5，5)，B(3，－2)，C(－4，2)，D(－2，－3)．
　　教师追问：观察一下，各象限的点的坐标分别有什么特点？
　　学生小组交流并派一名代表回答，教师总结．
点的位置 横坐标的符号 纵坐标的符号
第一象限 ＋ ＋
第二象限 － ＋
第三象限 － －
第四象限 ＋ －
　　【问题】（2）在平面直角坐标系中，点E，F，G，H的坐标分别是什么？
　　【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答．
　　E(4，0)，F(－1，0)，G(0，3)，H(0，－2)．
　　教师追问：观察一下，坐标轴上的点的坐标分别有什么特点？
　　学生小组交流并派一名代表回答，教师总结．
　　x轴上的点可表示为(x，0)；
　　y轴上的点可表示为(0，y)．
点的位置 横坐标的特点 纵坐标的特点
x轴 正半轴 ＋ 0
负半轴 － 0
y轴 正半轴 0 ＋
负半轴 0 －
　　【设计意图】利用数形结合的方法，引导学生分析、解决问题，从而得出象限内或坐标轴上的点的坐标特点．
二、典例精讲
　　【例1】在平面直角坐标系中，点P(－2，－3)所在的象限是（　　）．
　　A．第一象限 B．第二象限
　　C．第三象限 D．第四象限
　　【师生活动】教师提出问题，学生思考并回答．
　　∵－2＜0，－3＜0，
　　∴点P(－2，－3)所在的象限是第三象限．
　　【答案】C
　　【例2】在平面直角坐标系中，点A(x，y)的坐标满足以下条件：
　　（1）若xy＞0，则点A在第________象限；
　　（2）若xy＜0，则点A在第________象限；
　　（3）若xy＝0，则点A在________上．
　　【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流并回答．
　　（1）若xy＞0，则x，y同正或者同负，所以点A在第一、三象限．
　　（2）若xy＜0，则x，y一正一负，所以点A在第二、四象限．
　　（3）若xy＝0，则x，y中至少有一个为0，所以点A在x轴或者y轴上，也可以写为点A在坐标轴上．
　　【答案】一、三　　二、四　　坐标轴
　　【例3】已知点P(2m－4，m＋1)，请根据以下条件求出点P的坐标．
　　（1）点P在x轴上；
　　（2）点P在y轴上；
　　（3）点P的横坐标比纵坐标大3．
　　【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流并回答，教师板书．
　　【答案】解：（1）∵点P在x轴上，∴m＋1＝0，解得m＝－1．
把m＝－1代入横坐标，得2m－4＝－6．
∴P(－6，0)．
　　（2）∵点P在y轴上，
　　∴2m－4＝0，解得m＝2．
　　把m＝2代入纵坐标，得m＋1＝3．
　　∴P(0，3)．
　　（3）由题意，得2m－4＝m＋1＋3，解得m＝8．
　　把m＝8代入横、纵坐标，得2m－4＝12，m＋1＝9．
　　即P(12，9)．
　　【设计意图】通过例题的讲解与练习，巩固学生对所学知识的理解及应用．
三、拓展提升
　　【探究】如图，正方形ABCD的边长为6，如果以点A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，那么以哪条线为y轴？写出正方形的顶点A，B，C，D的坐标．
　　【师生活动】教师提出问题，学生分小组交流并回答，教师总结．
　　如图，A(0，0)，B(6，0)，C(6，6)，D(0，6)．
　　教师提示：分别观察A，B，C，D的横、纵坐标，总结你的发现．
　　学生在教师的提示下，小组交流，并派代表回答，教师总结．
　　点A，D的横坐标相等；点B，C的横坐标相等；
　　点A，B的纵坐标相等；点C，D的纵坐标相等．
　　教师追问：另建立一个平面直角坐标系，这时正方形的顶点A，B，C，D的坐标又分别是什么？与同学交流一下．
　　学生独立作图后，组内进行交流，并尝试说出自己的发现，教师总结．
　　【归纳】平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等．
　　【设计意图】通过拓展提升，让学生理解平行于坐标轴的直线上的点的坐标特点．
课堂小结