(共33张PPT)
课前自主学习
课堂合作探究
课堂学业达标
6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
素养目标 思维导图
借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运算规则,理解其几何意义.(直观想象)
课前自主学习
问题2.如图,在光滑的平面上,一个物体同时受到两个外力F1与F2的作用,你能作出
这个物体所受合力F吗
提示:我们知道,合力F在以OA,OB为邻边的平行四边形的对角线上,并且大小等于
这条对角线的长.
【核心概念】
1.向量加法的定义
求两个向量_________,叫做向量的加法.
和的运算
课堂合作探究
探究点一 向量加法运算法则的应用
【典例1】(一题多问)
已知如图中向量及点,
按要求解答下列问题.
(1)以A为始点,作出a+b;
(2)以B为始点,作出c+d+e;
(3)若a为单位向量,求|a+b|,|c+d|和|c+d+e|.
(4)中国象棋中的“马”只能走“日”字格,开始下棋时,它位于点A,这只“马”第一步有几种可能的走法 试在图中画出来.它能否用两步从点A走到与它相近的点B 能否用三步走到相近的点B.
【问题解读】(1)根据向量加法的平行四边形法则即可作出a+b;
(2)先将共线向量c+d计算出结果再作出c+d+e;
(3)根据|a|=1利用勾股定理即可计算出各向量的模长;
(4)结合棋盘与向量的概念以及加法即可得出结论.
【解析】(1)将a,b的起点同时平移到A点,利用平行四
边形法则作出a+b,如图所示:
(2)先将共线向量c,d的起点同时平移到B点,计算出c+d,再
将向量e与之首尾相接,利用三角形法则即可作出c+d+e,
如图所示:
【类题通法】
应用三角形法则和平行四边形法则的三个注意点
(1)拓展推广:三角形法则可以推广到n个向量求和,作图时要求“首尾相连”.
(2)应用范围:平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个向量的起点重合.
(3)选择法则:求作三个或三个以上的向量的和时,用三角形法则更简单.
√
探究点二 |a+b|,a,b之间的关系
【典例2】(1)已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,则|a+b|的取值范围是( )
A.[2,3] B.[2,8]
C.[3,5] D.[2,5]
【思维导引】利用向量的加法的几何意义求解.
【解析】选B.向量a,b满足|a|=3,|b|=5,
则|a+b|≤|a|+|b|=8,当且仅当a,b同向时取等号;|a+b|≥||b|-|a||=2,当且仅当a,b反向时
取等号,所以|a+b|的取值范围是[2,8].
√
(2)a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则( )
A.a与b向相同
B.a=b
C.a=-b
D.a与b向相反
【思维导引】由向量模长的三角不等式即可判断.
【解析】选A.由向量模长的三角不等式可得|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b的向相同
时,等号成立.
因为|a+b|=|a|+|b|,所以a与b向相同.
√
【定向训练】
设a,b是非零向量,则“|a+b|=|a|-|b|”是“a∥b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.对于充分性,易知|a+b|=|a|-|b|成立的条件是a,b向相反,且|a|>|b|,
所以由|a+b|=|a|-|b|可得a∥b,所以充分性成立;
对于必要性,若a∥b,且a,b的向相同,此时满足|a+b|=|a|+|b|,因此必要性不成立,
所以“|a+b|=|a|-|b|”是“a∥b”的充分不必要条件.
√
【类题通法】
向量运算中化简的法
(1)转化:借助向量加法的交换律和结合律,将向量转化为“首尾相接”,向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量.
(2)拆分:有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量.
√
√
探究点四 向量加法的实际应用
【典例4】在某地抗震救灾中,一架飞机从A地按北偏东35°的向飞行800 km到达
B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的向飞行800 km送往C地医院,求
这架飞机飞行的路及两次位移的和.
【思维导引】解答本题首先正确画出位图,再根据图形借助于向量求解.
【类题通法】
应用向量加法解决物理学问题的基本步骤
(1)表示:用向量表示相关的量,将所有解决的问题转化为向量的加法问题.
(2)运算:应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则,进行相关运算.
(3)还原:根据向量运算的结果,结合向量共线、相等概念回答原题.
易错警示:在根据实际问题转化为向量问题时,由于对实际问题的审题不准确导致解题错误.
【定向训练】
一艘船在水中航行,水流速度与船在静水中航行的速度均为5 km/h.如果此船实际向南偏西30°向行驶2 km,然后又向西行驶2 km,你知道此船在整个过中的位移吗
课堂学业达标
√
√6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
素养目标 思维导图
借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运算规则,理解其几何意义.(直观想象)
课前自主学习
问题1.如图,某质点从点A经过点B到点C,这个质点的位移如何表示
提示:这个质点两次位移,的结果,与从点A直接到点C的位移结果相同,因此位移可以看成是位移与合成的.
问题2.如图,在光滑的平面上,一个物体同时受到两个外力F1与F2的作用,你能作出这个物体所受合力F吗
提示:我们知道,合力F在以OA,OB为邻边的平行四边形的对角线上,并且大小等于这条对角线的长.
【核心概念】
1.向量加法的定义
求两个向量和的运算,叫做向量的加法.
2.向量求和法则
三 角 形 法 则 原理 已知非零向量a,b,在平面上任取一点A,作=a,=b,则向量叫做a与b的和,记作a+b,即a+b=+=
图示
适用范围 两向量共线或不共线均可
续表
平 行 四 边 形 法 则 前提 已知两个不共线的向量a,b,在平面内任取一点O
作法 作=a,=b,以OA,OB为邻边作 OACB
结论 以O为起点的向量就是向量a与b的和,即=a+b
图形
适用范围 两向量不共线的情况
规定 对于零向量与任一向量a相加:a+0=0+a=a
3.|a+b|,|a|,|b|之间的关系
一般地,我们有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b中有一个是零向量或a,b是向相同的非零向量时,等号成立.
4.向量的加法运算满足交换律:a+b=b+a
向量加法的三角形法则和平行四边形法则实际上就是向量加法的几何意义.
推广:当首尾依次相接的向量构成封闭的“向量链”时,各向量的和为0,即在(n+1)边形A0A1…An中,有++…++=0.
课堂合作探究
探究点一 向量加法运算法则的应用
【典例1】(一题多问)
已知如图中向量及点,
按要求解答下列问题.
(1)以A为始点,作出a+b;
(2)以B为始点,作出c+d+e;
(3)若a为单位向量,求|a+b|,|c+d|和|c+d+e|.
(4)中国象棋中的“马”只能走“日”字格,开始下棋时,它位于点A,这只“马”第一步有几种可能的走法 试在图中画出来.它能否用两步从点A走到与它相近的点B 能否用三步走到相近的点B.
【问题解读】(1)根据向量加法的平行四边形法则即可作出a+b;
(2)先将共线向量c+d计算出结果再作出c+d+e;
(3)根据|a|=1利用勾股定理即可计算出各向量的模长;
(4)结合棋盘与向量的概念以及加法即可得出结论.
【解析】(1)将a,b的起点同时平移到A点,利用平行四边形法则作出a+b,如图所示:
(2)先将共线向量c,d的起点同时平移到B点,计算出c+d,再将向量e与之首尾相接,利用三角形法则即可作出c+d+e,如图所示:
(3)由a是单位向量可知|a|=1,根据作出的向量利用勾股定理可知,|a+b|==;
由共线向量的加法运算可知|c+d|=|-c|=|c|=1;
利用(2)图中的向量和勾股定理可知,|c+d+e|==.
(4)由图可知有4种走法,即,,,;能,若用两步从A到达相近的点B,即=+;不能用三步从A到达相近的点B.
【类题通法】
应用三角形法则和平行四边形法则的三个注意点
(1)拓展推广:三角形法则可以推广到n个向量求和,作图时要求“首尾相连”.
(2)应用范围:平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个向量的起点重合.
(3)选择法则:求作三个或三个以上的向量的和时,用三角形法则更简单.
【定向训练】
如图所示的格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+= ( )
A. B. C. D.
【解析】选B.以OP,OQ为邻边作平行四边形,可知OF为所作平行四边形的对角线,故由平行四边形法则可知OF对应的向量即为所求向量.
【题后反思】平行四边形法则应用注意点:确定两向量共起点,通过作平行线构造平行四边形.
探究点二 |a+b|,a,b之间的关系
【典例2】(1)已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,则|a+b|的取值范围是 ( )
A.[2,3] B.[2,8]
C.[3,5] D.[2,5]
【思维导引】利用向量的加法的几何意义求解.
【解析】选B.向量a,b满足|a|=3,|b|=5,
则|a+b|≤|a|+|b|=8,当且仅当a,b同向时取等号;|a+b|≥||b|-|a||=2,当且仅当a,b反向时取等号,所以|a+b|的取值范围是[2,8].
(2)a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则( )
A.a与b向相同
B.a=b
C.a=-b
D.a与b向相反
【思维导引】由向量模长的三角不等式即可判断.
【解析】选A.由向量模长的三角不等式可得|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b的向相同时,等号成立.
因为|a+b|=|a|+|b|,所以a与b向相同.
【定向训练】
设a,b是非零向量,则“|a+b|=|a|-|b|”是“a∥b”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选A.对于充分性,易知|a+b|=|a|-|b|成立的条件是a,b向相反,且|a|>|b|,
所以由|a+b|=|a|-|b|可得a∥b,所以充分性成立;
对于必要性,若a∥b,且a,b的向相同,此时满足|a+b|=|a|+|b|,因此必要性不成立,所以“|a+b|=|a|-|b|”是“a∥b”的充分不必要条件.
探究点三 向量加法运算律的应用
【典例3】设A,B,C,D是平面上的任意四点,试化简:
(1)++;
(2)++;
(3)++++.
【思维导引】首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连,然后利用向量加法的结合律求和.
【解析】(1)++=(+)+=+=.
(2)++=(+)+=0+=.
(3)++++=(+)+++=(+)++=(+)+=+=0.
【类题通法】
向量运算中化简的法
(1)转化:借助向量加法的交换律和结合律,将向量转化为“首尾相接”,向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量.
(2)拆分:有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量.
【定向训练】
1.已知四边形ABCD为菱形,则下列等式中成立的是 ( )
A.+= B.+=
C.+= D.+=
【解析】选C.对于A,+=,故A错误;
对于B,因为+=,所以+=2+,故B错误;
对于C,+=+==,故C正确;
对于D,因为+=,所以+=2+,故D错误.
2.(+)+(+)+= ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.(+)+(+)+=++++=.
【题后反思】平面向量的加法运算时,注意交换律的应用,以便利用首尾相接,进行化简.
探究点四 向量加法的实际应用
【典例4】在某地抗震救灾中,一架飞机从A地按北偏东35°的向飞行800 km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55°的向飞行800 km送往C地医院,求这架飞机飞行的路及两次位移的和.
【思维导引】解答本题首先正确画出位图,再根据图形借助于向量求解.
【解析】如图所示,设,分别表示飞机从A地按北偏东35°的向飞行800 km,从B地按南偏东55°的向飞行800 km.
则飞机飞行的路指的是||+||;两次飞行的位移的和指的是+=.
依题意,有||+||=800+800=1 600(km).
又α=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90°.
所以||===800(km).
所以飞机飞行的路是1 600 km,两次飞行的位移和的大小为800 km.
【类题通法】
应用向量加法解决物理学问题的基本步骤
(1)表示:用向量表示相关的量,将所有解决的问题转化为向量的加法问题.
(2)运算:应用向量加法的平行四边形法则或三角形法则,进行相关运算.
(3)还原:根据向量运算的结果,结合向量共线、相等概念回答原题.
易错警示:在根据实际问题转化为向量问题时,由于对实际问题的审题不准确导致解题错误.
【定向训练】
一艘船在水中航行,水流速度与船在静水中航行的速度均为5 km/h.如果此船实际向南偏西30°向行驶2 km,然后又向西行驶2 km,你知道此船在整个过中的位移吗
【解析】用表示船的第一次位移,用表示船的第二次位移,
根据向量加法的三角形法则知:=+,
所以可表示两次位移的和位移.
由题意知,在Rt△ABC中,∠BAC=30°,则BC=AC=1 km,AB= km,
在等腰△ACD中,AC=CD=2 km,所以∠D=∠DAC=∠ACB=30°,
所以∠BAD=60°,AD=2AB=2 km,
所以两次位移的和位移的向是南偏西60°,位移的大小为2 km.
课堂学业达标
1.已知正六边形ABCDEF,则++=( )
A.0 B. C. D.
【解析】选B.如图所示,=,
++=++=.
2.下列等式错误的是 ( )
A.a+0=0+a=a
B.++=0
C.+=
D.+=++
【解析】选B.由向量加法可知++=+≠0.
3.在矩形ABCD中,若AB=3,BC=2,则|+|= .
【解析】因为+=,且AC==,所以|+|=.
答案:
4.已知向量a,b,c,如图,求作a+b+c.
【解析】在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,如图,
则由向量加法的三角形法则,得
=a+b,=a+b+c,即为所求作向量.
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