(共25张PPT)
课前自主学习
课堂合作探究
课堂学业达标
6.2.2 向量的减法运算
素养目标 思维导图
借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量减法运算及理解其几何意义.(直观想象)
课前自主学习
问题1.如图,物体的运动向与火焰的运动向是否一致 在物理中,
体现了哪两种力及它们有哪些关系
提示:不一致,运动向相反,体现了作用力与反作用力.作用力与反
作用力大小相等、向相反.
问题2.在数的运算中,减法是加法的逆运算,其运算法则是“减去一个数等于加上这
个数的相反数”.类比数的减法,向量的减法与加法有什么关系
提示:向量的减法也有类似法则,定义a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个
向量的相反向量.
【核心概念】
1.相反向量
与a长度相等、向相反的向量,叫做a的相反向量,记作-a.
规定:零向量的相反向量仍是零向量.
相反向量
终点
终点
课堂合作探究
【类题通法】
向量减法运算的常用法
【知识延拓】
非零向量的差的三角不等式
(1)当a,b不共线时,根据三角形边长的不等关系知||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.
(2)当a,b共线且同向时,
若|a|>|b|,则a-b与a,b同向,且|a-b|=|a|-|b|;
若|a|<|b|,则a-b与a,b反向,且|a-b|=|b|-|a|.
(3)当a,b共线且反向时,a-b与a同向,与b反向,且|a-b|=|a|+|b|.
综上所述,对于任意两个非零向量,总有下列向量不等式成立:||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
√
【类题通法】
利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意
(1)一个关键:
一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道.
(2)三点注意:
①注意相等向量、相反向量、共线向量与构成三角形三向量之间的关系;
②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律;
③注意在封闭图形中利用多边形法则.
√
探究点三 向量减法几何意义的应用
【典例3】(1)已知|a|=2,|b|=4,且a,b不是向相反的向量,则|a-b|的取值范围是
( )
A.(2,6) B.[2,6)
C.(2,6] D.[2,6]
【思维导引】直接由||a|-|b||≤|a-b|<|a|+|b|求解即可.
【解析】选B.由已知必有||a|-|b||≤|a-b|<|a|+|b|,则所求的取值范围是[2,6).
√
√
【类题通法】
向量a+b,a-b的几何意义的基本思路
(1)先对向量条件化简、转化.
(2)再找(作)图形(三角形或平行四边形),确定图形的形状.
(3)对于平行四边形、菱形、矩形、正形对角线具有的性质要熟悉并会应用.
√
课堂学业达标
√
√
√6.2.2 向量的减法运算
素养目标 思维导图
借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量减法运算及理解其几何意义.(直观想象)
课前自主学习
问题1.如图,物体的运动向与火焰的运动向是否一致 在物理中,体现了哪两种力及它们有哪些关系
提示:不一致,运动向相反,体现了作用力与反作用力.作用力与反作用力大小相等、向相反.
问题2.在数的运算中,减法是加法的逆运算,其运算法则是“减去一个数等于加上这个数的相反数”.类比数的减法,向量的减法与加法有什么关系
提示:向量的减法也有类似法则,定义a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
【核心概念】
1.相反向量
与a长度相等、向相反的向量,叫做a的相反向量,记作-a.
规定:零向量的相反向量仍是零向量.
2.向量的减法
定义 a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
作法 在平面内任取一点O,作=a,=b,则向量a-b=.如图所示
几何 意义 如果把两个向量a,b的起点放在一起,则a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量
课堂合作探究
探究点一 向量的减法运算
【典例1】(一题多解)
化简下列各式:
(1)(+)+(--);
(2)--.
【思维导引】按照向量的运算法则进行运算.
【解析】(1)法一:原式=+++=(+)+(+)=+=;
法二:原式=+++=+(+)+=++=+0=.
(2)法一:原式=-=;
法二:原式=-(+)=-=.
【类题通法】
向量减法运算的常用法
【知识延拓】
非零向量的差的三角不等式
(1)当a,b不共线时,根据三角形边长的不等关系知||a|-|b||<|a-b|<|a|+|b|.
(2)当a,b共线且同向时,
若|a|>|b|,则a-b与a,b同向,且|a-b|=|a|-|b|;
若|a|<|b|,则a-b与a,b反向,且|a-b|=|b|-|a|.
(3)当a,b共线且反向时,a-b与a同向,与b反向,且|a-b|=|a|+|b|.
综上所述,对于任意两个非零向量,总有下列向量不等式成立:||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.
【定向训练】
(一题多解)
如图所示,O为△ABC内一点,=a,=b,=c,求作:b+c-a.
【解析】法一:以OB,OC为邻边作 OBDC,连接OD,AD,
则=+=b+c,=-=b+c-a.
法二:作==b,
连接AD,则=-=c-a,
=+=c-a+b=b+c-a.
探究点二 利用已知向量表示其他向量
【典例2】如图,向量=a,=b,=c,则向量可以表示为 ( )
A.a+b-c B.a-b+c
C.b-a+c D.b-a-c
【思维导引】根据向量的线性运算法则结合图形可得.
【解析】选C.根据向量运算法则可得=+=-+,
又=a,=b,=c,所以=b-a+c.
【类题通法】
利用已知向量表示其他向量的一个关键及三点注意
(1)一个关键:
一个关键是确定已知向量与被表示向量的转化渠道.
(2)三点注意:
①注意相等向量、相反向量、共线向量与构成三角形三向量之间的关系;
②注意应用向量加法、减法的几何意义以及它们的运算律;
③注意在封闭图形中利用多边形法则.
【定向训练】
已知O是平行四边形ABCD内一点,设=a,=b,=c,则= ( )
A.a+b+c B.-a+b+c
C.a-b+c D.a+b-c
【解析】选C.在平行四边形ABCD中,=,则-=-,
所以=+-=a-b+c.
探究点三 向量减法几何意义的应用
【典例3】(1)已知|a|=2,|b|=4,且a,b不是向相反的向量,则|a-b|的取值范围是 ( )
A.(2,6) B.[2,6)
C.(2,6] D.[2,6]
【思维导引】直接由||a|-|b||≤|a-b|<|a|+|b|求解即可.
【解析】选B.由已知必有||a|-|b||≤|a-b|<|a|+|b|,则所求的取值范围是[2,6).
(2)在四边形ABCD中,=+,则一定有 ( )
A.四边形ABCD是矩形
B.四边形ABCD是菱形
C.四边形ABCD是梯形
D.四边形ABCD是平行四边形
【解析】选D.因为=+,所以=-=,即AD=BC且AD∥BC,
所以四边形ABCD的一组对边平行且相等,所以四边形ABCD是平行四边形.
【类题通法】
向量a+b,a-b的几何意义的基本思路
(1)先对向量条件化简、转化.
(2)再找(作)图形(三角形或平行四边形),确定图形的形状.
(3)对于平行四边形、菱形、矩形、正形对角线具有的性质要熟悉并会应用.
【定向训练】
在△ABC中,若||=||=|-|,则△ABC的形状为 ( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
【思维导引】根据向量的减法法则可得|-|=||,由三边相等关系即可得出结果.
【解析】选A.因为|-|=||,||=||=|-|,所以||=||=||,所以△ABC为等边三角形.
课堂学业达标
1.在△ABC中,=a,=b,则= ( )
A.a-b B.b-a
C.a+b D.-a-b
【解析】选D.=-=--=-a-b.
2.如图所示,已知ABCDEF是一个正六边形,O是它的中心,其中=a,=b,=c, 则等于( )
A.a+b B.b-a
C.c-b D.b-c
【解析】选D.如题干图==-=b-c.
3.在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是( )
A.-=0 B.-=
C.-= D.+=0
【解析】选C.因为=,所以-=0,A正确;因为-=+=,B正确;
因为-=+=,C错误;
因为=,所以=-,所以+=0,D正确.
4.已知A,B,C,D为平面上的四个点,则-++= .
【解析】-++=+++=+=0.
答案:0
5.已知=a,=b,若||=12,||=5,且∠AOB=90°,则|a-b|= .
【解析】因为||=12,||=5,∠AOB=90°,
所以||2+||2=||2,所以||=13.
因为=a,=b,所以a-b=-=,
所以|a-b|=||=13.
答案:13
课时巩固请使用 课时素养检测 三
