(共29张PPT)
课前自主学习
课堂合作探究
课堂学业达标
6.2.3 向量的数乘运算
素养目标 思维导图
通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义.(数学抽象、直观想象)
课前自主学习
问题1.(1)已知非零向量a,作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a),它们的长度和向分别是怎
样的
提示:作出a+a+a为:
a+a+a的长度为a的3倍,向与a的向相同.
作出(-a)+(-a)+(-a)为:
(-a)+(-a)+(-a)的长度为a的3倍,向与a的向相反.
(2)在整式运算中,我们可以将x+x+x用乘法简写为3x,对于非零向量a+a+a,(-a)+
(-a)+(-a)我们可以怎样简写呢
提示:a+a+a=3a;(-a)+(-a)+(-a)=-3a.
问题2.(1)如果两个向量共线,则这两个向量具有哪几种情况
提示:向相同或向相反或其中一个为零向量.
(2)若b=2a,b与a共线吗 λa与a(λ≠0,a≠0)的向有何关系
提示:a与b共线,λa与a的向相同或相反.
(3)若两个非零向量a,b共线,是否一定存在实数λ使得b=λa
提示:一定存在,且是唯一的.
【核心概念】
1.向量的数乘
一般地,实数λ与向量a的乘积是一个_____,这种运算叫做向量的数乘,记作λa.
2.向量的数乘的长度与向
(1)长度:|λa|=|λ||a|.
(2)λa(a≠0)的向
特别地,当λ=0时,λa=0,当λ=-1时,(-1)a=-a.
(3)几何意义:λa中的实数λ,叫做向量a的_____.λa可以看作是把向量a沿着a的向
(λ>0时)或a的反向(λ<0时)扩大或缩小得到的.
向量
系数
3.向量的数乘运算律
设λ,μ为实数,则
(1)λ(μa)=(λμ)a.
(2)(λ+μ)a=λa+μa.
(3)λ(a+b)=λa+λb(分配律).
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),λ(a-b)=λa-λb.
4.向量的线性运算
向量的加法运算、减法运算、数乘向量运算统称为向量的线性运算,向量的线性运算的
结果仍是向量.对于任意向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
5.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使_____.
b=λa
课堂合作探究
探究点一 向量的线性运算
【典例1】化简:(1)2(a-b)+3(a+b);
(2)(a+b)+(a-b);
(3)3(a+2b)-2(a+3b)-2(a+b).
【思维导引】利用平面向量的线性运算的运算律求解即可.
【解析】(1)2(a-b)+3(a+b)=2a-2b+3a+3b=5a+b;
(2)(a+b)+(a-b)=a+b+a-b=a;
(3)3(a+2b)-2(a+3b)-2(a+b)=3a+6b-2a-6b-2a-2b=-a-2b.
【类题通法】
1.类比多项式运算:向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
2.列:向量也可以通过列来解,把所求向量当作未知数,利用代数的法求解,同时在运算过中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
【定向训练】
1.求式子中的未知向量x:3(a+2b)-4(b-x)=0.
【解析】由3(a+2b)-4(b-x)=0得3a+6b-4b+4x=0,所以x=-a-b.
2.化简式子:4(2a+3b)+3(a-b)-b.
【解析】4(2a+3b)+3(a-b)-b=8a+12b+3a-3b-b=11a+8b.
【类题通法】
证明三点共线的关键与步骤
(1)关键:用向量法证明三点共线时,关键是能否找到一个实数λ,使得b=λa(a,b为这三点构成的其中任意两个向量).
(2)步骤:证明步骤是先证明向量共线,然后再由两向量有公共点,证得三点共线.
√
【知识延拓】
向量共线与线段共线的区别以及作用
(1)向量共线与线段共线的区别:向量共线时,两向量所在的线段可能平行,也可能共线;而两条线段共线时,这两条线段必定在同一条直线上.
(2)向量共线定理的作用:向量共线定理可以证明线段平行,也可以证明三点共线.
探究点三 用向量的线性运算表示未知向量
【典例3】(一题多问)
古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响.图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗.如图2,在正八边形ABCDEFGH中,其中OA=1,解决下列问题:
【类题通法】
用已知向量表示其他向量的两种法
(1)直接法
(2)法
当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的.
√
√
√
课堂学业达标
1.已知非零向量a,b满足a=4b,则 ( )
A.|a|=|b|
B.4|a|=|b|
C.a与b的向相同
D.a与b的向相反
【解析】选C.因为a=4b,4>0,所以|a|=4|b|.
因为4b与b的向相同,所以a与b的向相同.
√
√
√6.2.3 向量的数乘运算
素养目标 思维导图
通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义.(数学抽象、直观想象)
课前自主学习
问题1.(1)已知非零向量a,作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a),它们的长度和向分别是怎样的
提示:作出a+a+a为:
a+a+a的长度为a的3倍,向与a的向相同.
作出(-a)+(-a)+(-a)为:
(-a)+(-a)+(-a)的长度为a的3倍,向与a的向相反.
(2)在整式运算中,我们可以将x+x+x用乘法简写为3x,对于非零向量a+a+a,(-a)+(-a)+(-a)我们可以怎样简写呢
提示:a+a+a=3a;(-a)+(-a)+(-a)=-3a.
问题2.(1)如果两个向量共线,则这两个向量具有哪几种情况
提示:向相同或向相反或其中一个为零向量.
(2)若b=2a,b与a共线吗 λa与a(λ≠0,a≠0)的向有何关系
提示:a与b共线,λa与a的向相同或相反.
(3)若两个非零向量a,b共线,是否一定存在实数λ使得b=λa
提示:一定存在,且是唯一的.
【核心概念】
1.向量的数乘
一般地,实数λ与向量a的乘积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa.
2.向量的数乘的长度与向
(1)长度:|λa|=|λ||a|.
(2)λa(a≠0)的向
特别地,当λ=0时,λa=0,当λ=-1时,(-1)a=-a.
(3)几何意义:λa中的实数λ,叫做向量a的系数.λa可以看作是把向量a沿着a的向(λ>0时)或a的反向(λ<0时)扩大或缩小得到的.
3.向量的数乘运算律
设λ,μ为实数,则
(1)λ(μa)=(λμ)a.
(2)(λ+μ)a=λa+μa.
(3)λ(a+b)=λa+λb(分配律).
特别地,我们有(-λ)a=-(λa)=λ(-a),
λ(a-b)=λa-λb.
4.向量的线性运算
向量的加法运算、减法运算、数乘向量运算统称为向量的线性运算,向量的线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a,b以及任意实数λ,μ1,μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b.
5.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.
课堂合作探究
探究点一 向量的线性运算
【典例1】化简:(1)2(a-b)+3(a+b);
(2)(a+b)+(a-b);
(3)3(a+2b)-2(a+3b)-2(a+b).
【思维导引】利用平面向量的线性运算的运算律求解即可.
【解析】(1)2(a-b)+3(a+b)=2a-2b+3a+3b=5a+b;
(2)(a+b)+(a-b)=a+b+a-b=a;
(3)3(a+2b)-2(a+3b)-2(a+b)=3a+6b-2a-6b-2a-2b=-a-2b.
【类题通法】
1.类比多项式运算:向量的线性运算类似于代数多项式的运算,实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用,但是在这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数.
2.列:向量也可以通过列来解,把所求向量当作未知数,利用代数的法求解,同时在运算过中要多注意观察,恰当运用运算律,简化运算.
【定向训练】
1.求式子中的未知向量x:3(a+2b)-4(b-x)=0.
【解析】由3(a+2b)-4(b-x)=0得3a+6b-4b+4x=0,所以x=-a-b.
2.化简式子:4(2a+3b)+3(a-b)-b.
【解析】4(2a+3b)+3(a-b)-b=8a+12b+3a-3b-b=11a+8b.
探究点二 向量共线定理及其应用
【典例2】已知两个非零向量a与b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
【思维导引】(1)根据共线向量定理只需证明=λ即可;
(2)根据共线向量定理,由ka+b和a+kb共线,且向量a与b不共线,则存在实数λ满足ka+b=λ(a+kb),建立组求解.
【解析】(1)由=2a+8b,=3(a-b)可得=+=2a+8b+3(a-b)=5a+5b;显然=5(a+b)=5,即,共线,
又因为它们有公共点B,所以可得A,B,D三点共线.
(2)若ka+b和a+kb共线,且向量a与b不共线,
则存在实数λ满足ka+b=λ(a+kb)=λa+kλb,
因此,
解得k=±1;即存在k=±1,使ka+b和a+kb共线.
【类题通法】
证明三点共线的关键与步骤
(1)关键:用向量法证明三点共线时,关键是能否找到一个实数λ,使得b=λa(a,b为这三点构成的其中任意两个向量).
(2)步骤:证明步骤是先证明向量共线,然后再由两向量有公共点,证得三点共线.
【定向训练】
O为△ABC内一点,且2++=0,=t,若B,O,D三点共线,则t的值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.由=t得-=t(-),所以=t+(1-t),
因为B,O,D三点共线,所以可设=λ,
则2+=λt+(1-t)λ,
所以[2-(1-t)λ]=(λt-1).
因为,不共线,故解得t=.
【知识延拓】
向量共线与线段共线的区别以及作用
(1)向量共线与线段共线的区别:向量共线时,两向量所在的线段可能平行,也可能共线;而两条线段共线时,这两条线段必定在同一条直线上.
(2)向量共线定理的作用:向量共线定理可以证明线段平行,也可以证明三点共线.
探究点三 用向量的线性运算表示未知向量
【典例3】(一题多问)
古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国的建筑有一定影响.图1是受“八卦”启示设计的正八边形的八角窗.如图2,在正八边形ABCDEFGH中,其中OA=1,解决下列问题:
(1)化简:+++++++.
(2)化简:++++.
(3)求|-|的值.
(4)若=x+y(x,y∈R),求x+y的值.
(5)若+=λ,则λ的值是多少
【问题解读】(1)(2)根据图形关系,根据向量线性运算的运算法则依次判断.
(3)(4)根据题意结合向量的线性运算分析运算.
(5)在BE上取一点C1,使得=,根据C1点的位置,从而求得+=+=2,找到与的关系即可求得参数.
【解析】(1)+++++++=(+)+(+)+(+)+(+)=0.
(2)++++=-+-+++=.
(3)|-|=||=.
(4)如图,连接CH,则AB∥CH,不妨设AB=2,则CH=2+2,即=(+1),所以=+=(+1)+,则x=+1,y=1,故x+y=+2.
(5)连接GD,BE,HC,且GD∩BE=B1,在BE上取一点C1,使得=,则四边形BC1GH为平行四边形,=.
设||=m,则||=||=m+m+m=(2+)m,
由图可知,+=+=2=2×=·,故λ=.
【类题通法】
用已知向量表示其他向量的两种法
(1)直接法
(2)法
当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的.
【定向训练】
1.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA,记=m,=n,则= ( )
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
【解析】选B.因为点D在边AB上,BD=2DA,所以=2,即-=2(-),
所以=3-2=3n-2m=-2m+3n.
2.(多选)已知D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,给出下列结论,其中正确的有 ( )
A.=-b B.=a-b
C.=a+b D.=a
【思维导引】利用相反向量判断A;利用向量加法法则计算判断B,C;利用向量共线判断D.
【解析】选AC.因为D,E,F分别为△ABC的边BC,CA,AB的中点,且=a,=b,
所以=-=-b,A正确;
=+=a+b,B不正确;
=+=a+b,C正确;
==-=-a,D不正确.
课堂学业达标
1.已知非零向量a,b满足a=4b,则 ( )
A.|a|=|b|
B.4|a|=|b|
C.a与b的向相同
D.a与b的向相反
【解析】选C.因为a=4b,4>0,所以|a|=4|b|.
因为4b与b的向相同,所以a与b的向相同.
2.在△ABC中,点P为AC中点,点D在BC上,且=3,则= ( )
A.+ B.--
C.- D.-+
【解析】选B.因为点P为AC中点,所以=
,=3,所以-=3(-),所以=+,所以=-=
--=--.
3.已知=a+4b,=2b-a,=2(a+b),则 ( )
A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线
【解析】选B.因为+=a+4b,即+=,所以=,即存在λ=1使=λ,所以,共线.
又因为两向量有公共点B,所以A,B,D三点共线.
4.如图,在△ABC中,延长CB到D,使BD=BC,当点E在线段AD上移动时,若=λ+μ,则t=λ-μ的最大值是 .
【解析】设=k,0≤k≤1,则=k(+2)=k[+2(-)]=2k -k,因为=λ+μ,所以所以t=λ-μ=3k.
又0≤k≤1,所以当k=1时,t取最大值3.
故t=λ-μ的最大值为3.
答案:3
5.已知两个非零向量e1,e2不共线,若=2e1+3e2,=6e1+23e2,=4e1-8e2.
求证:A,B,D三点共线.
【证明】因为=++
=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1-8e2
=12e1+18e2=6(2e1+3e2)=6,所以∥.
又因为AD和AB有公共点A,所以A,B,D三点共线.
课时巩固请使用 课时素养检测 四
