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课前自主学习
课堂合作探究
课堂学业达标
6.2.4 向量的数量积
素养目标 思维导图
1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.(数学抽象、数学运算) 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.(直观想象) 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(数学运算)
课前自主学习
问题1.如图,一个物体在力F的作用下产生位移s,据此回答下列问题:
(1)力F对物体所做的功是多少
提示:根据物理知识知W=|F||s|cos θ.
(2)力做的功的大小与哪些量有关
提示:与力的大小、位移大小及它们之间的夹角有关.
(3)力F在位移s向上的分力大小是多少
提示:由题图知力F在位移s向上的分力是|F|cos θ.
问题2.已知两个非零向量a,b,θ为a与b的夹角,e为单位向量,回答下列问题:
(1)若a·b=0,则a与b有什么关系
提示:由a·b=|a||b|cos θ=0得cos θ=0.
所以θ=90°,则a⊥b.
(2)a·e与e·a是否相等
提示:相等.a·e=e·a=|a|cos
.
(3)a·a等于什么
提示:a·a=|a|·|a|cos 0°=|a|2.
(4)a·b与|a||b|有怎样的大小关系
提示:由a·b=|a||b|cos θ.-1≤cos θ≤1得-|a||b|≤a·b≤|a||b|.
(5)如何由向量的数量积公式求其夹角
提示:由a·b=|a|·|b|cos θ得,cos θ=,再由三角函数确定其夹角.
非零向量
∠AOB
同向
反向
2.平面向量的数量积的定义
定义 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量_________叫做a
与b的数量积(或内积)
记法 记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ
规定 零向量与任一向量的数量积为__
|a||b|cos θ
0
4.两个向量数量积的性质
设a,b都是非零向量,它们的夹角为θ,e是与b向相同的单位向量,则:
(1)a·e=e·a=_______.
(2)a⊥b ______.
(3)当a与b同向时,a·b=_____;当a与b反向时,a·b=_____.特别地,a·a=___=____或|a|=.
(4)|a·b|≤_____.
5.平面向量数量积的运算律
已知向量a,b,c和实数λ.
(1)交换律:a·b=____.
(2)结合律:(λa)·b=______=______.
(3)分配律:(a+b)·c=_______.
|a|cos θ
a·b=0
|a||b|
-|a||b|
a2
|a|2
|a||b|
b·a
λ(a·b)
a·(λb)
a·c+b·c
课堂合作探究
探究点一 平面向量的数量积
【典例1】(1)已知|a|=1,|b|=2,a与b之间的夹角为,则a·b=( )
A.1 B. C. D.
(2)(2022·国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b= .
【思维导引】(1)(2)根据向量数量积公式求解.
【解析】(1)选B.a·b=|a||b|cos=1×2×=.
(2)由题意可得a·b=1×3×=1,b2=9,
则(2a+b)·b=2a·b+b2=2+9=11.
答案:11
√
【类题通法】
1.求平面向量数量积的法
(1)直接利用公式:a·b=|a||b|cos θ.
(2)利用运算律:化简计算.
2.求向量数量积的注意事项
(1)要牢记数量积的运算公式.
(2)要注意确定两个向量的夹角.
(3)对于平行向量要注意两向量是同向还是反向.
√
2.已知|a|=4,|b|=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹角为60°时,分别求a与b的数量积.
【解析】(1)因为a∥b,若a与b同向,则θ=0°,
所以a·b=|a||b|cos 0°=4×5=20;
若a与b反向,则θ=180°,
所以a·b=|a||b|cos 180°=4×5×(-1)=-20.
(2)当a⊥b时,θ=90°,所以a·b=|a||b|cos 90°=0.
(3)当a与b夹角为60°时a·b=|a||b|cos 60°=4×5×=10.
探究点二 投影向量
【典例2】(1)已知非零向量a,b满足|a|=3|b|,向量a在向量b向上的投影向量是b,则
a与b夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【思维导引】根据投影向量可得a·b=b2,再结合向量夹角公式运算.
【解析】选A.因为向量a在向量b向上的投影向量是()b=b,所以=,
即a·b=b2.由|a|=3|b|,
可得cos===,
所以a与b夹角的余弦值为.
√
(2)已知|a|=2,|b|=3,且a与b的夹角为60°,与b同向的单位向量为e,则向量a在向量b上
的投影向量为 .
【思维导引】根据向量a在向量b上的投影向量的定义计算.
【解析】记a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ e=
2cos 60°e=e.
答案:e
√
2.已知向量a,b满足|a|=1,b在a向上的投影向量为a,则|a+b|的最小值为 .
【解析】由题意,b在a向上的投影数量为1,故==1,则a·b=1.设向量夹角为
θ,a·b=|a||b|cos θ=1,则|b|=≥1(cos θ≠0),所以(a+b)2=a2+2a·b+b2=|b|2+3≥4,故
|a+b|的最小值为2.
答案:2
【题后反思】由题设有==1,结合数量积的定义得|b|=≥1(cos θ≠0),应用数
量积的运算律有(a+b)2=|b|2+3,即可求模长的最小值.
探究点三 用向量的数量积解决与模有关的问题
【典例3】(一题多解)
已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为.求|a+b|,|a-b|.
【思维导引】(1)将|a-b|与|a+b|都平即可发现向量a与b的关系.利用公式|a|=求解.
(2)利用向量的几何意义画图求解.
【解析】法一:因为a2=|a|2=25,b2=|b|2=25,a·b=|a||b|cos θ=5×5×cos=,
所以|a+b|====5.
同样可求|a-b|====5.
【类题通法】
求模的法
(1)模长公式转化:
①a2=a·a=|a|2或|a|=,
②|a±b|=.由关系式a2=|a|2,可使向量的长度与向量的数量积互相转化.因此欲求|a+b|,可求,将此式展开.
(2)几何转化法:利用向量线性运算的几何意义就转化到求平面几何中长度的计算上来了.
【定向训练】
1.(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|=( )
A. B. C. D.1
【解析】选B.将|a+2b|=2平得1+4a·b+4b2=4,由(b-2a)⊥b得b2-2a·b=0,
所以b2=,|b|=.
√
2.已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=2,|b|=1,若c=2a-b,d=a+2b,求:
(1)c·d;
(2)|c+2d|.
【解析】(1)c·d=(2a-b)·(a+2b)=2a2+3a·b-2b2=2×22+3×2×1×cos 60°-2×12=9;
(2)因为c+2d=2a-b+2(a+2b)=4a+3b,
则|c+2d|2=(4a+3b)2=16a2+9b2+24a·b
=16×22+9+24×2cos 60°=64+9+24=97,
故|c+2d|=.
【题后反思】求向量的模长,常使用平运算,如本题(2)将向量平再开,利用模
长和数量积求解即可.
探究点四 向量的夹角与垂直问题
【典例4】(1)设a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a-b|,则a与b夹角的大小为( )
A.120° B.90° C.60° D.30°
(2)已知平面向量a,b满足|b|=2|a|=2,a与b的夹角为120°,若(λa+b)⊥(a-b)(λ∈R),
则λ=( )
A.0 B.1 C. D.
【思维导引】(1)根据数量积的运算律即可判断.
(2)先计算平面向量a,b的数量积,再利用(λa+b)·(a-b)=0列式解得即可.
√
√
【解析】(1)选B.因为|a+b|=|a-b|,所以|a+b|2=|a-b|2,所以(a+b)·(a+b)=(a-b)·(a-b),
所以可得a·b=0,因为a,b是非零向量,所以a⊥b,a与b夹角的大小为90°.
(2)选D.由题意,得a·b=|a||b|cos120°=1×2×(-)=-1,由(λa+b)⊥(a-b),得(λa+b)·
(a-b)=0,即λa2+(1-λ)a·b-b2=0,所以λ-(1-λ)-4=0,解得λ=.
【定向训练】
1.(2020·国Ⅱ卷)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是( )
A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b
【解析】选D.由已知可得:a·b=|a|·|b|·cos60°=1×1×=.
A:因为(a+2b)·b=a·b+2b2=+2×1=≠0,所以本选项不符合题意;
B:因为(2a+b)·b=2a·b+b2=2×+1=2≠0,所以本选项不符合题意;
C:因为(a-2b)·b=a·b-2b2=-2×1=-≠0,所以本选项不符合题意;
D:因为(2a-b)·b=2a·b-b2=2×-1=0,所以本选项符合题意.
√
2.已知|a|=,|b|=1,且a-b与a+2b互相垂直,则向量a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由题意得(a-b)·(a+2b)=a2+a·b-2b2=0,|a|=,|b|=1,
所以a·b=0,即向量a与b的夹角为.
√
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1.已知e1,e2是单位向量,若|e1-4e2|=,则e1与e2的夹角为( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
【解析】选B.因为|e1-4e2|=,
所以=13,即-8e1·e2+16=13.
又因为|e1|=|e2|=1,所以1-8e1·e2+16=13,
所以e1·e2=.设e1与e2的夹角为θ,
则cos θ===.
又因为0°≤θ≤180°,所以θ=60°.
√
2.下列命题正确的是 ( )
A.|a·b|=|a||b|
B.a·b≠0 |a|+|b|≠0
C.a·b=0 |a||b|=0
D.(a+b)·c=a·c+b·c
【解析】选D.选项D是分配律,正确,A,B,C不正确.
√
√
4.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=2,|b|=1,若(a+3b)⊥(a+λb),则λ= .
【解析】因为(a+3b)⊥(a+λb),所以(a+3b)·(a+λb)=0,即|a|2+(3+λ)a·b+3λ|b|2=0,
即4+(3+λ)×2×1×cos120°+3λ=0,
所以4+(3+λ)×2×1×(-)+3λ=0,
即1+2λ=0,因此λ=-.
答案:-
5.设非零向量a和b,它们的夹角为θ.
(1)若|a|=5,|b|=4,θ=150°,求向量a与b的数量积;
(2)若a·b=9,|a|=6,|b|=3,求向量a与b的夹角θ.
【解析】(1)a·b=|a||b|cos θ=5×4×cos 150°=-10.
(2)因为cos θ===,且0°≤θ≤180°,所以θ=60°.6.2.4 向量的数量积
素养目标 思维导图
1.通过物理中功等实例,理解平面向量数量积的概念及其物理意义,会计算平面向量的数量积.(数学抽象、数学运算) 2.通过几何直观了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.(直观想象) 3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.(数学运算)
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问题1.如图,一个物体在力F的作用下产生位移s,据此回答下列问题:
(1)力F对物体所做的功是多少
提示:根据物理知识知W=|F||s|cos θ.
(2)力做的功的大小与哪些量有关
提示:与力的大小、位移大小及它们之间的夹角有关.
(3)力F在位移s向上的分力大小是多少
提示:由题图知力F在位移s向上的分力是|F|cos θ.
问题2.已知两个非零向量a,b,θ为a与b的夹角,e为单位向量,回答下列问题:
(1)若a·b=0,则a与b有什么关系
提示:由a·b=|a||b|cos θ=0得cos θ=0.
所以θ=90°,则a⊥b.
(2)a·e与e·a是否相等
提示:相等.a·e=e·a=|a|cos.
(3)a·a等于什么
提示:a·a=|a|·|a|cos 0°=|a|2.
(4)a·b与|a||b|有怎样的大小关系
提示:由a·b=|a||b|cos θ.-1≤cos θ≤1得-|a||b|≤a·b≤|a||b|.
(5)如何由向量的数量积公式求其夹角
提示:由a·b=|a|·|b|cos θ得,cos θ=,再由三角函数确定其夹角.
【核心概念】
1.向量的夹角与垂直
(1)夹角:已知两个非零向量a和b,O是平面上的任意一点,作=a,=b,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).
当θ=0时,a与b同向;当θ=π时,a与b反向.
(2)垂直:如果a与b的夹角是,则称a与b垂直,记作a⊥b.
2.平面向量的数量积的定义
定义 已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积)
记法 记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ
规定 零向量与任一向量的数量积为0
3.投影向量
如图,设a,b是两个非零向量,=a,=b,变换:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,我们称这个变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量.
4.两个向量数量积的性质
设a,b都是非零向量,它们的夹角为θ,e是与b向相同的单位向量,则:
(1)a·e=e·a=|a|cos θ.
(2)a⊥b a·b=0.
(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=a2=|a|2或|a|=.
(4)|a·b|≤|a||b|.
5.平面向量数量积的运算律
已知向量a,b,c和实数λ.
(1)交换律:a·b=b·a.
(2)结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
(3)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c.
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探究点一 平面向量的数量积
【典例1】(1)已知|a|=1,|b|=2,a与b之间的夹角为,则a·b= ( )
A.1 B. C. D.
(2)(2022·国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b= .
【思维导引】(1)(2)根据向量数量积公式求解.
【解析】(1)选B.a·b=|a||b|cos=1×2×=.
(2)由题意可得a·b=1×3×=1,b2=9,
则(2a+b)·b=2a·b+b2=2+9=11.
答案:11
【类题通法】
1.求平面向量数量积的法
(1)直接利用公式:a·b=|a||b|cos θ.
(2)利用运算律:化简计算.
2.求向量数量积的注意事项
(1)要牢记数量积的运算公式.
(2)要注意确定两个向量的夹角.
(3)对于平行向量要注意两向量是同向还是反向.
【定向训练】
1.在菱形ABCD中,AB=BD=2,则·= ( )
A.6 B.-6
C.4+2 D.4-2
【思维导引】借助数量积的定义及运算律求解.
【解析】选B.在菱形ABCD中,由AB=BD=2,得∠BAD=,
所以·=2×2×cos =2,
所以·=-·(+)=-·-=-2-22=-6.
2.已知|a|=4,|b|=5,当(1)a∥b;(2)a⊥b;(3)a与b的夹角为60°时,分别求a与b的数量积.
【解析】(1)因为a∥b,若a与b同向,则θ=0°,
所以a·b=|a||b|cos 0°=4×5=20;
若a与b反向,则θ=180°,
所以a·b=|a||b|cos 180°=4×5×(-1)=-20.
(2)当a⊥b时,θ=90°,所以a·b=|a||b|cos 90°=0.
(3)当a与b夹角为60°时a·b=|a||b|cos 60°=4×5×=10.
探究点二 投影向量
【典例2】(1)已知非零向量a,b满足|a|=3|b|,向量a在向量b向上的投影向量是b,则a与b夹角的余弦值为 ( )
A. B. C. D.
【思维导引】根据投影向量可得a·b=b2,再结合向量夹角公式运算.
【解析】选A.因为向量a在向量b向上的投影向量是()b=b,所以=,
即a·b=b2.由|a|=3|b|,
可得cos===,
所以a与b夹角的余弦值为.
(2)已知|a|=2,|b|=3,且a与b的夹角为60°,与b同向的单位向量为e,则向量a在向量b上的投影向量为 .
【思维导引】根据向量a在向量b上的投影向量的定义计算.
【解析】记a与b的夹角为θ,则向量a在向量b上的投影向量为|a|cos θ e=2cos 60°e=e.
答案:e
【类题通法】
投影向量
向量b()在向量a()向上的:
(1)投影向量:=|b|cosa0.(a0表示与向量a(a≠0)同向的单位向量)
(2)投影向量的长度:||=||b|cosa0|.
拓展:投影数量:|b|cos==a0·b.
【定向训练】
1.已知△ABC的外接圆圆心为O,且+=2,||=||,则向量在向量上的投影向量为 ( )
A. B.
C.- D.-
【解析】选A.因为2=+,
所以△ABC外接圆圆心O为BC的中点,即BC为外接圆的直径,如图,
又||=||,所以△ABO为等边三角形,
则∠ABC=60°,故||=||cos 60°,
所以向量在向量上的投影向量为:
·=·=.
2.已知向量a,b满足|a|=1,b在a向上的投影向量为a,则|a+b|的最小值为 .
【解析】由题意,b在a向上的投影数量为1,故==1,则a·b=1.设向量夹角为θ,a·b=|a||b|cos θ=1,则|b|=≥1(cos θ≠0),所以(a+b)2=a2+2a·b+b2=|b|2+3≥4,故|a+b|的最小值为2.
答案:2
【题后反思】由题设有==1,结合数量积的定义得|b|=≥1(cos θ≠0),应用数量积的运算律有(a+b)2=|b|2+3,即可求模长的最小值.
探究点三 用向量的数量积解决与模有关的问题
【典例3】(一题多解)
已知|a|=|b|=5,向量a与b的夹角为.求|a+b|,|a-b|.
【思维导引】(1)将|a-b|与|a+b|都平即可发现向量a与b的关系.利用公式|a|=求解.
(2)利用向量的几何意义画图求解.
【解析】法一:因为a2=|a|2=25,b2=|b|2=25,
a·b=|a||b|cos θ=5×5×cos=,
所以|a+b|====5.
同样可求|a-b|====5.
法二:由向量线性运算的几何意义求.
作菱形ABCD,使AB=AD=5,∠DAB=,
设=a,=b,如图所示,
则|a-b|=||=||=5,
|a+b|=||=2||=2××5=5.
【类题通法】
求模的法
(1)模长公式转化:
①a2=a·a=|a|2或|a|=,
②|a±b|=.由关系式a2=|a|2,可使向量的长度与向量的数量积互相转化.因此欲求|a+b|,可求,将此式展开.
(2)几何转化法:利用向量线性运算的几何意义就转化到求平面几何中长度的计算上来了.
【定向训练】
1.(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|= ( )
A. B. C. D.1
【解析】选B.将|a+2b|=2平得1+4a·b+4b2=4,由(b-2a)⊥b得b2-2a·b=0,
所以b2=,|b|=.
2.已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=2,|b|=1,若c=2a-b,d=a+2b,求:
(1)c·d;
(2)|c+2d|.
【解析】(1)c·d=(2a-b)·(a+2b)=2a2+3a·b-2b2=2×22+3×2×1×cos 60°-2×12=9;
(2)因为c+2d=2a-b+2(a+2b)=4a+3b,
则|c+2d|2=(4a+3b)2=16a2+9b2+24a·b
=16×22+9+24×2cos 60°=64+9+24=97,
故|c+2d|=.
【题后反思】求向量的模长,常使用平运算,如本题(2)将向量平再开,利用模长和数量积求解即可.
探究点四 向量的夹角与垂直问题
【典例4】(1)设a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a-b|,则a与b夹角的大小为 ( )
A.120° B.90° C.60° D.30°
(2)已知平面向量a,b满足|b|=2|a|=2,a与b的夹角为120°,若(λa+b)⊥(a-b)(λ∈R),则λ= ( )
A.0 B.1 C. D.
【思维导引】(1)根据数量积的运算律即可判断.
(2)先计算平面向量a,b的数量积,再利用(λa+b)·(a-b)=0列式解得即可.
【解析】(1)选B.因为|a+b|=|a-b|,所以|a+b|2=|a-b|2,所以(a+b)·(a+b)=(a-b)·(a-b),所以可得a·b=0,因为a,b是非零向量,所以a⊥b,a与b夹角的大小为90°.
(2)选D.由题意,得a·b=|a||b|cos120°=1×2×(-)=-1,由(λa+b)⊥(a-b),得(λa+b)·(a-b)=0,即λa2+(1-λ)a·b-b2=0,所以λ-(1-λ)-4=0,解得λ=.
【定向训练】
1.(2020·国Ⅱ卷)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是 ( )
A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b
【解析】选D.由已知可得:a·b=|a|·|b|·cos60°=1×1×=.
A:因为(a+2b)·b=a·b+2b2=+2×1=≠0,所以本选项不符合题意;
B:因为(2a+b)·b=2a·b+b2=2×+1=2≠0,所以本选项不符合题意;
C:因为(a-2b)·b=a·b-2b2=-2×1=
-≠0,所以本选项不符合题意;
D:因为(2a-b)·b=2a·b-b2=2×-1=0,
所以本选项符合题意.
2.已知|a|=,|b|=1,且a-b与a+2b互相垂直,则向量a与b的夹角为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.由题意得(a-b)·(a+2b)=a2+a·b-2b2=0,|a|=,|b|=1,
所以a·b=0,即向量a与b的夹角为.
课堂学业达标
1.已知e1,e2是单位向量,若|e1-4e2|=,则e1与e2的夹角为 ( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
【解析】选B.因为|e1-4e2|=,
所以=13,即-8e1·e2+16=13.
又因为|e1|=|e2|=1,所以1-8e1·e2+16=13,
所以e1·e2=.设e1与e2的夹角为θ,
则cos θ===.
又因为0°≤θ≤180°,所以θ=60°.
2.下列命题正确的是 ( )
A.|a·b|=|a||b|
B.a·b≠0 |a|+|b|≠0
C.a·b=0 |a||b|=0
D.(a+b)·c=a·c+b·c
【解析】选D.选项D是分配律,正确,A,B,C不正确.
3.已知△ABC的三边长为3,4,5,其外心为O,则·+·+·的值为 ( )
A.-25 B.- C.0 D.25
【解析】选A.设AB的中点为D,则OD⊥AB,
即·=0;
因为·=(+)·=·+·=-,
同理可得·=-,·=-,
因此·+·+·
=-(++)=-25.
4.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=2,|b|=1,若(a+3b)⊥(a+λb),则λ= .
【解析】因为(a+3b)⊥(a+λb),所以(a+3b)·(a+λb)=0,即|a|2+(3+λ)a·b+3λ|b|2=0,
即4+(3+λ)×2×1×cos120°+3λ=0,
所以4+(3+λ)×2×1×(-)+3λ=0,
即1+2λ=0,因此λ=-.
答案:-
5.设非零向量a和b,它们的夹角为θ.
(1)若|a|=5,|b|=4,θ=150°,求向量a与b的数量积;
(2)若a·b=9,|a|=6,|b|=3,求向量a与b的夹角θ.
【解析】(1)a·b=|a||b|cos θ=5×4×cos 150°=-10.
(2)因为cos θ===,且0°≤θ≤180°,所以θ=60°.
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