(共27张PPT)
课前自主学习
课堂合作探究
课堂学业达标
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
素养目标 思维导图
了解平面向量基本定理及其意义.(数学抽象)
课前自主学习
问题.在物理学中,我们学习了力的分解,即一个力可以分解为两个不同向的力,
观察下图,回答问题.
(1)能否用图中对应的向量a,b表示其余的向量c,d,e,f
提示:可以,c=a+b,d=2a-4b,
e=-3a-2b,f=-4a.
(2)能否用图中对应的向量a,f表示其余的向量c,b,d,e
提示:不可以.
(3)若平面内的所有向量都能用一组向量e1,e2表示,这组向量满足的条件是什么
提示:非零向量且不共线.
【核心概念】
平面向量基本定理
1.平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个_______向量,那么对于这一平面内的
_____向量a,_____________实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
2.基底:若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内_____向量的一个基底.
思考:
(1)0能与另外一个向量a构成基底吗
(2)平面向量的基底是唯一的吗
提示:(1)不能.基向量是不共线的,而0与任意向量是共线的.
(2)不是.平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底,基底一旦确定,平面内任何一向
量都可以用这一基底唯一表示.
不共线
任一
有且只有一对
所有
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√
【类题通法】
1.判断两个非零向量能否构成基底的关键是看这两个向量是否共线,若共线,则不能作为基底,反之,则可以作为基底.
2.用基底表示向量的三个依据和两个“模型”
(1)依据:①向量加法的三角形法则和平行四边形法则;②向量减法的几何意义;③数乘向量的几何意义.
(2)模型:
√
2.若e1,e2为平面内所有向量的一组基底,且a=3e1-4e2,b=6e1+ke2不能作为一组基底,
则k的值为 .
【思维导引】根据题意得到a=λb,即3e1-4e2=6λe1+kλe2,得到,解得答案.
【解析】a=3e1-4e2,b=6e1+ke2不能作为一组基底,则a=λb,即3e1-4e2=λ(6e1+ke2)=
6λe1+kλe2,,解得k=-8.
答案:-8
【类题通法】
1.平面向量基本定理中“唯一性”的理解
条件一 平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1,e2
条件二 a=λ1e1+μ1e2且a=λ2e1+μ2e2
结论
2.平面向量基本定理中“唯一性”的应用
平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1,e2的线性组合λ1e1+λ2e2.在具体求λ1,λ2时有两种法:
(1)数形结合法:直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理.
(2)待定系数法:利用定理中λ1,λ2的唯一性列组求解.
√
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√
2.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(2x+y)e1+(3x+2y)e2=0,则x+y= .
【解析】因为e1,e2不共线,所以
解得所以x+y=0.
答案:0
3.设向量m=2a-3b,n=4a-2b,p=3a+2b,若用m,n表示p,则p= .
【解析】设p=xm+yn,则有p=x(2a-3b)+y(4a-2b)=(2x+4y)a+(-3x-2y)b,
得
因此p=-m+n.
答案:-m+n
4.设a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,a-b共线,则t= .
【解析】因为b-ta与a-b共线,
所以b-ta=λ(a-b),b-ta=a-b,
又a,b是两个不共线的向量,所以,
解得t=.
答案:6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
素养目标 思维导图
了解平面向量基本定理及其意义.(数学抽象)
课前自主学习
问题.在物理学中,我们学习了力的分解,即一个力可以分解为两个不同向的力,观察下图,回答问题.
(1)能否用图中对应的向量a,b表示其余的向量c,d,e,f
提示:可以,c=a+b,d=2a-4b,
e=-3a-2b,f=-4a.
(2)能否用图中对应的向量a,f表示其余的向量c,b,d,e
提示:不可以.
(3)若平面内的所有向量都能用一组向量e1,e2表示,这组向量满足的条件是什么
提示:非零向量且不共线.
【核心概念】
平面向量基本定理
1.平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
2.基底:若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
思考:
(1)0能与另外一个向量a构成基底吗
(2)平面向量的基底是唯一的吗
提示:(1)不能.基向量是不共线的,而0与任意向量是共线的.
(2)不是.平面内任何不共线的两个向量都可以作为基底,基底一旦确定,平面内任何一向量都可以用这一基底唯一表示.
课堂合作探究
探究点一 对平面向量基本定理的理解
【典例1】(1)如图所示,点O为正六边形ABCDEF的中心,则可作为基底的一对向量是 ( )
A., B.,
C., D.,
【解析】选B.由题中图形可知:与,与,与共线,不能作为基底,与不共线,可作为基底.
(2)如图,已知在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E,F分别是DC,AB的中点,设=a,=b,试用a,b表示,,.
【思维导引】用基底表示平面向量,要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则.
【解析】因为DC∥AB,AB=2DC,E,F分别是DC,AB的中点,
所以==a,===b.
=++=--+
=-b-a+b=b-a.
【类题通法】
1.判断两个非零向量能否构成基底的关键是看这两个向量是否共线,若共线,则不能作为基底,反之,则可以作为基底.
2.用基底表示向量的三个依据和两个“模型”
(1)依据:①向量加法的三角形法则和平行四边形法则;②向量减法的几何意义;③数乘向量的几何意义.
(2)模型:
【定向训练】
1.(2025·北京高一检测)如图,在平行四边形ABCD中,M是AB的中点,DM与AC交于点N,设=a,=b,则= ( )
A.-a+b B.a-b
C.-a+b D.a-b
【解析】选A.依题意在平行四边形ABCD中,AM∥CD,又M是AB的中点,则AM=AB=CD,又DM与AC交于点N,所以△ANM∽△CND,则==,所以=,
又=a,=b,所以=-=-=(+)-=-+=-a+b.
2.若e1,e2为平面内所有向量的一组基底,且a=3e1-4e2,b=6e1+ke2不能作为一组基底,则k的值为 .
【思维导引】根据题意得到a=λb,即3e1-4e2=6λe1+kλe2,得到,解得答案.
【解析】a=3e1-4e2,b=6e1+ke2不能作为一组基底,则a=λb,即3e1-4e2=λ(6e1+ke2)=6λe1+kλe2,,解得k=-8.
答案:-8
探究点二 平面向量基本定理的应用
【典例2】(一题多问)
如图所示,在△OAB中,=a,=b,点M是线段AB上一点,点N是线段OA上的点.设OM与BN相交于点P,解决下列问题:
(1)若点M是AB上靠近B的一个三等分点,点N是OA上靠近A的一个四等分点,用向量a,b表示.
(2)若点N是线段OA的中点,P是线段BN上靠近B的三等分点,试用,表示.
(3)若点M是AB上靠近A的一个三等分点,点N为OA的中点,求BP∶PN的值为多少.
(4)若点N为OA上靠近A的一个三等分点,P为线段BN的中点,则线段OP与线段PM的长度之比为多少
【问题解读】(1)由O,P,M三点共线和B,P,N三点共线,将用a,b表示,结合平面向量基本定理建立等量关系,即可求解.
(2)利用向量的加减运算求解即可.
(3)用向量a,b表示,,再利用平面向量基本定理求解.
(4)根据O,P,M共线,求得与,的关系,再根据B,M,A共线,求得与,的关系,利用向量相等求解.
【解析】(1)点M是AB上靠近B的一个三等分点,=,所以-=(-),
所以=+=a+b,因为与共线,故可设=t=a+b,
又,共线,可设=s,=+s=+s(-)=(1-s)a+sb,
所以解得所以=a+b.
(2)据题意,=-=+=++=++=+.
(3)=-=a-b,=+=+=+(-)=+=a+b,
因为O,P,M和B,P,N分别共线,所以存在实数λ,μ使=λ=a-λb,=μ=a+b,所以=+=-=(-)a+(+λ)b,又=b,所以
解得所以=,即BP∶PN=4∶1.
(4)O,P,M共线,设=m,在△OBN中,P为BN的中点,
所以=+=+,所以m=+,
所以=+,因为B,M,A共线,
所以设=n,则-=n-n,求得=n+(1-n),
所以解得m=,所以=5.
【类题通法】
1.平面向量基本定理中“唯一性”的理解
条件一 平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1,e2
条件二 a=λ1e1+μ1e2且a=λ2e1+μ2e2
结论
2.平面向量基本定理中“唯一性”的应用
平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1,e2的线性组合λ1e1+λ2e2.在具体求λ1,λ2时有两种法:
(1)数形结合法:直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理.
(2)待定系数法:利用定理中λ1,λ2的唯一性列组求解.
【定向训练】
(一题多解)在平行四边形ABCD中,=,F为CD的中点,G为EF的中点,若=λ+μ,λ∈R,μ∈R,则λ和μ的值分别为 ( )
A., B.,
C., D.,
【解析】选D.法一:因为F为CD的中点,G为EF的中点,
所以==,=,又=,
故=++=++
=++(-)=++
(-+)=+.
故λ=,μ=.
法二:因为F为CD的中点,G为EF的中点,=,所以=(+)=(+++)=(+++)=+,故λ=,μ=.
课堂学业达标
1.设D为△ABC所在平面内一点,若=3,则 ( )
A.=-+
B.=-
C.=+
D.=-
【解析】选A.因为=3,所以-=
3(-)=3-3,所以3=4-,所以=-=-+.
2.已知向量e1,e2不共线,实数x,y满足(2x+y)e1+(3x+2y)e2=0,则x+y= .
【解析】因为e1,e2不共线,所以
解得所以x+y=0.
答案:0
3.设向量m=2a-3b,n=4a-2b,p=3a+2b,若用m,n表示p,则p= .
【解析】设p=xm+yn,则有p=x(2a-3b)+y(4a-2b)=(2x+4y)a+(-3x-2y)b,
得
因此p=-m+n.
答案:-m+n
4.设a,b是两个不共线的向量,向量b-ta,a-b共线,则t= .
【解析】因为b-ta与a-b共线,
所以b-ta=λ(a-b),b-ta=a-b,
又a,b是两个不共线的向量,所以,
解得t=.
答案:
5.如图,在长形ABCD中,E为边DC的中点,F为边BC上一点,且=.设=a,=b.
(1)试用基底表示,;
(2)若G为长形ABCD内部一点,且=a+b.求证:E,G,F三点共线.
【解析】(1)由题可知:=+=+=+=b+a,
=+=+=-=a-b;
(2)=a+b,=-=a-b,
=a-b=2,所以,共线,且,有一公共点E,所以E,G,F三点共线.
课时巩固请使用 课时素养检测 六
