(共30张PPT)
课前自主学习
课堂合作探究
课堂学业达标
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
素养目标 思维导图
1.掌握平面向量的正交分解及坐标表示. (直观想象) 2.会用坐标表示平面向量的加、减运算. (数学运算)
课前自主学习
【核心概念】
1.平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解:把一个向量分解为两个互相_____的向量,叫做把向量作正交分解.
(2)平面向量的坐标表示
前提:在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴向相同的两个_________分别为i,j,取
{i,j}作为基底.
条件:对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数
x,y,使得a=xi+yj.平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定.
结论:我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=_____.
特例:在直角坐标平面中,i=_____,j=_____,0=_____.
垂直
单位向量
(x,y)
(1,0)
(0,1)
(0,0)
课堂合作探究
探究点一 平面向量的坐标表示
【典例1】(1)(多选)下面说法中正确的有( )
A.相等向量的坐标相同
B.平面上一个向量对应平面上唯一的坐标
C.一个坐标对应唯一的一个向量
D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量对应
【思维导引】根据向量的定义和坐标的定义,可判断.
【解析】选ABD.对于A,相等向量的坐标相同,故A正确;
对于B,根据向量坐标的定义,可知平面上一个向量对应平面上唯一的坐标,故B正确;
对于C,由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量,故C错误;
对于D,平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量对应,故D正确.
√
√
√
√
(3)如图所示,{e1,e2}为单位正交基底,则向量a,b的坐标分别是 ( )
A.(3,4),(2,-2) B.(2,3),(-2,-3)
C.(2,3),(2,-2) D.(3,4),(-2,-3)
【思维导引】由平面向量基本定理得到a=2e1+3e2,b=2e1-2e2,从而求出两向量的坐
标.
【解析】选C.根据平面直角坐标系,可知a=2e1+3e2,b=2e1-2e2,所以a=(2,3),b=(2,-2).
√
【类题通法】
求点、向量坐标的常用法
(1)求一个点的坐标:可利用已知条件,先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标,该坐标就等于相应点的坐标.
(2)求一个向量的坐标:首先求出这个向量的始点、终点坐标,然后运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.
【类题通法】
平面向量坐标的线性运算的法
(1)用运算法则:若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.
(2)先求再运算:若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.
(3)类比数的运算:向量的线性坐标运算可完类比数的运算进行.
√
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√
2.已知向量a=(0,1),b=(2,1),则a-b= ( )
A.(0,-2) B.(2,0)
C.(-2,0) D.(2,2)
【解析】选C.因为a=(0,1),b=(2,1),所以a-b=(-2,0).
√
√
4.(多选)已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是A(3,7),B(4,6),C(1,-2).则第四个顶点的坐标为 ( )
A.(0,-1) B.(6,15)
C.(2,-3) D.(2,3)
√
√
√6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
素养目标 思维导图
1.掌握平面向量的正交分解及坐标表示.(直观想象) 2.会用坐标表示平面向量的加、减运算.(数学运算)
课前自主学习
问题1.(1)在平面内,e1,e2是两个互相垂直的单位向量,这个平面内的任一向量是否都能用这两个向量来表示 表示法是否唯一
提示:由平面向量基本定理可知,平面内的任一向量都可以用一组不共线基底来表示,且表示法是唯一的.
(2)在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴向相同的两个单位向量i,j作为基底,任作一向量,根据平面向量基本定理,=xi+yj,那么(x,y)与A点的坐标相同吗
提示:相同.
(3)设i,j分别为x轴、y轴向上的单位向量,若=xi+yj,那么(x,y)与点B的坐标是否相同
提示:不一定,只有点A与坐标原点O重合时才相同.
问题2.设i,j是分别与x轴、y轴同向的两个单位向量,若设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=x1i+y1j,b=x2i+y2j,根据向量的线性运算性质,向量a+b,a-b如何用基底i,j表示
提示:a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+x2)i+(y1+y2)j,a-b=(x1i+y1j)-(x2i+y2j)=
(x1-x2)i+(y1-y2)j.
问题3.已知点A(x1,y1),B(x2,y2),那么向量的坐标是什么 一般地,一个任意向量的坐标如何计算
提示:=(x2-x1,y2-y1),任意一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.
【核心概念】
1.平面向量的正交分解及坐标表示
(1)正交分解:把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
(2)平面向量的坐标表示
前提:在平面直角坐标系中,设与x轴、y轴向相同的两个单位向量分别为i,j,取{i,j}作为基底.
条件:对于平面内的任意一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x,y,使得a=xi+yj.平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定.
结论:我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y).
特例:在直角坐标平面中,i=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).
2.平面向量加、减运算的坐标表示
(1)数学公式:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2).
(2)文字语言:两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差).
3.有向线段对应向量
(1)数学公式:已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1).
(2)文字语言:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
课堂合作探究
探究点一 平面向量的坐标表示
【典例1】(1)(多选)下面说法中正确的有 ( )
A.相等向量的坐标相同
B.平面上一个向量对应平面上唯一的坐标
C.一个坐标对应唯一的一个向量
D.平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量对应
【思维导引】根据向量的定义和坐标的定义,可判断.
【解析】选ABD.对于A,相等向量的坐标相同,故A正确;
对于B,根据向量坐标的定义,可知平面上一个向量对应平面上唯一的坐标,故B正确;
对于C,由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量,故C错误;
对于D,平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量对应,故D正确.
(2)如图,分别取与x轴,y轴正向相同的两个单位向量{i,j}作为基底,若|a|=,θ=,则向量a的坐标为 ( )
A.(,) B.(,) C.(,) D.(,)
【解析】选A.设向量a的起点为A,终点为B,由题意得,=i+(cos )i+j+
(sin )j=i+(1+)j=(,1+),=(1,1),所以a=-=(,1+)-(1,1)=(,).
(3)如图所示,{e1,e2}为单位正交基底,则向量a,b的坐标分别是 ( )
A.(3,4),(2,-2) B.(2,3),(-2,-3)
C.(2,3),(2,-2) D.(3,4),(-2,-3)
【思维导引】由平面向量基本定理得到a=2e1+3e2,b=2e1-2e2,从而求出两向量的坐标.
【解析】选C.根据平面直角坐标系,可知a=2e1+3e2,b=2e1-2e2,所以a=(2,3),b=(2,-2).
【类题通法】
求点、向量坐标的常用法
(1)求一个点的坐标:可利用已知条件,先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标,该坐标就等于相应点的坐标.
(2)求一个向量的坐标:首先求出这个向量的始点、终点坐标,然后运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标.
【定向训练】
1.如图,在正形ABCD中,O为中心,且=(-1,-1),则= ;= ;= .
【解析】如题干图,=-=-(-1,-1)=(1,1),
由正形的对称性可知,B(1,-1),
所以=(1,-1),同理=(-1,1).
答案:(1,-1) (1,1) (-1,1)
2.已知O是坐标原点,点A在第一象限,||=
4,∠xOA=60°.
(1)求向量的坐标;
(2)若B(,-1),求的坐标.
【解析】(1)设点A(x,y),则x=4cos 60°=2,
y=4sin 60°=6,即A(2,6),=(2,6).
(2)=(2,6)-(,-1)=(,7).
探究点二 平面向量的坐标运算
【典例2】(一题多问)
已知平行四边形ABCD的三个顶点A,B,C的坐标分别是(-2,1),(-1,3),(3,4).解决下列问题:
(1)向量的坐标是多少 +的坐标是多少
(2)若将有向线段OC绕着O点逆时针旋转得到,则的坐标是多少 -的坐标是多少
(3)△ADB中BD边上的中线AE对应向量的坐标是多少
(4)若AC与BD交于N点,那么+,的坐标分别是多少
【问题解读】(1)设顶点D的坐标为(x1,y1),表示出,的坐标,根据=得到组进而求解.
(2)将点C和C'在坐标系中表示出来,利用旋转后的角度关系即可.
(3)由(1)得D的坐标,即可求出BD的中点E的坐标,从而求出的坐标.
(4)先化简+,再写出+的坐标,先用,表示再计算.
【解析】(1)设顶点D的坐标为(x1,y1).
因为A(-2,1),B(-1,3),C(3,4),所以=(-1-(-2),3-1)=(1,2),
=(3-x1,4-y1),又=,所以(1,2)=(3-x1,4-y1).
即解得所以顶点D的坐标为(2,2).
故=(2,2),又=(-2,1),所以+=(0,3).
(2)依题意作图,如图.
设OC与x轴的夹角为α,C'(x2,y2),则有sin α=,cos α=,x2=5cos(α+)
=5(cos αcos -sin αsin )=,y2=5sin(α+)=5(sin αcos +cos αsin )=,
综上,C'的坐标为(,).又=(3,4),故=(,),-=(,).
(3)由(1)得D(2,2),所以BD的中点E(,),所以=(,).
(4)由+=,又B(-1,3),C(3,4).
所以=(4,1),又=(-1,-2),所以=+=(4,1)+(-1,-2)=(3,-1).
【类题通法】
平面向量坐标的线性运算的法
(1)用运算法则:若已知向量的坐标,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行.
(2)先求再运算:若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算.
(3)类比数的运算:向量的线性坐标运算可完类比数的运算进行.
【定向训练】
1.如图,在平面直角坐标系xOy中,P是函数y=sin x图象的最高点,Q是y=sin x的图象与x轴的交点,则+的坐标是 ( )
A.(,1) B.(π,0) C.(-π,0) D.(2π,0)
【思维导引】由向量加法以及正弦函数对称中心(零点)即可得解.
【解析】选B.由题意以及题图可知Q(π,0),O(0,0),所以+==(π,0).
2.已知点A(-1,4),B(2,6),C(3,0),则满足++=0的G的坐标为 .
【解析】设G的坐标为(x,y),且A(-1,4),B(2,6),C(3,0),
因为++=0,可得(-1-x,4-y)+(2-x,6-y)+(3-x,-y)=(0,0)
(-1+2+3-3x,4+6-3y)=(0,0) ,
所以G的坐标为(,).
答案:(,)
课堂学业达标
1.若点A(1,-1),B(-1,2),则= ( )
A.(2,-3) B.(-2,3)
C.(0,1) D.(2,1)
【解析】选B.因为A(1,-1),B(-1,2),
所以=(-1,2)-(1,-1)=(-2,3).
2.已知向量a=(0,1),b=(2,1),则a-b= ( )
A.(0,-2) B.(2,0)
C.(-2,0) D.(2,2)
【解析】选C.因为a=(0,1),b=(2,1),所以a-b=(-2,0).
3.若向量==(2,0),=(1,1),则+等于 ( )
A.(3,1) B.(4,2) C.(5,3) D.(4,3)
【解析】选B.=+=(3,1),又=-=(-1,1),则=+=(1,1),所以+=(4,2).
4.(多选)已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是A(3,7),B(4,6),C(1,-2).则第四个顶点的坐标为 ( )
A.(0,-1) B.(6,15)
C.(2,-3) D.(2,3)
【解析】选ABC.设第四个顶点为D(x,y),
当=时,(x-3,y-7)=(-3,-8),
解得x=0,y=-1,此时第四个顶点的坐标为(0,-1);
当=时,(x-3,y-7)=(3,8),
解得x=6,y=15,此时第四个顶点的坐标为(6,15);
当=时,(1,-1)=(x-1,y+2),
解得x=2,y=-3,此时第四个顶点的坐标为(2,-3).所以第四个顶点的坐标为(0,-1)或(6,15)或(2,-3).
5.已知平行四边形OABC,其中O为坐标原点,若A(2,1),B(1,3),则点C的坐标为 .
【解析】设C的坐标为(x,y),则由已知得=,所以(x,y)=(-1,2).
答案:(-1,2)
课时巩固请使用 课时素养检测 七
