6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
素养目标 思维导图
1.会用坐标表示平面向量的数乘运算.(数学运算) 2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.(直观想象) 3.会根据坐标表示的平面向量共线的条件解决问题.(数学运算)
课前自主学习
问题1.(1)已知a=(x,y),则3a的坐标是多少
提示:3a=a+a+a=(3x,3y).
(2)向量的线性运算顺序是否和实数的运算顺序类似
提示:类似.先算数乘,再算加减,有括号的先算括号里的.
问题2.已知下列几组向量:
①a=(0,3),b=(0,6).
②a=(2,3),b=(4,6).
③a=(-1,4),b=(3,-12).
④a=(,1),b=(-,-1).
(1)上面几组向量中,能用向量a表示b吗
提示:①②中b=2a,③中b=-3a,④中b=-a.
(2)以上几组向量中,a,b共线吗 a,b的坐标满足什么条件
提示:共线,向量a,b的横纵坐标成比例.
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则向量共线定理如何用a,b的坐标表示呢
提示:由于a=λb,故(x1,y1)=λ(x2,y2),
即当x2,y2≠0时,λ==,
即x1y2-x2y1=0.
【核心概念】
1.平面向量的数乘运算的坐标表示
项目 数学公式 文字语言表述
向量 数乘 若a=(x1,y1), 则λa=(λx1,λy1) 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
2.向量共线的坐标表示
a=(x1,y1),b=(x2,y2),当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a,b(b≠0)共线.
(快速记忆:交叉相乘相等)
有关结论:
(1)向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一实数λ,使b=λa.
(2)若A,B,C三点共线,则向量与共线,即存在唯一实数λ,使=λ.
(3)定比分点坐标式:设P(x,y)(分点),P1(x1,y1)(起点),P2(x2,y2)(终点).
点P为中点时,中点坐标公式:,
点P为三分点时,若2=,则,
若=2,则.
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探究点一 向量线性运算的坐标表示
【典例1】(1)已知平面向量a=(1,1),b=(2,3),则向量2a-3b= ( )
A.(-7,-4) B.(-3,-7)
C.(-4,-2) D.(-4,-7)
【思维导引】由向量的坐标线性运算即可求解.
【解析】选D.由题意a=(1,1),b=(2,3),
因为2×1-3×2=-4,2×1-3×3=-7,
所以2a-3b=(-4,-7).
(2)设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为 ( )
A.(2,6) B.(-2,6)
C.(2,-6) D.(-2,-6)
【思维导引】根据向量线性运算的坐标表示,结合题意求解即可.
【解析】选D.由题可知:4a+4b-2c+2a-2c+d=0,
即d=-6a-4b+4c=(-6,18)+(8,-16)+(-4,-8)=(-2,-6).
【类题通法】
向量数乘坐标运算的三个关注点
(1)准确记忆数乘向量的坐标表示,利用加法、减法、数乘运算法则进行;
(2)能与线性运算的几何意义结合解题;
(3)若是给出向量的坐标,则在解题过中要注意思想的运用及正确使用运算法则.
【定向训练】
1.已知向量a=(2,-3),b=(1,2),c=(9,4),若正实数m,n满足c=ma+nb,则+的值为 ( )
A. B. C. D.
【思维导引】利用向量线性运算的坐标表示求得m,n,从而得解.
【解析】选A.因为a=(2,-3),b=(1,2),c=(9,4),所以c=ma+nb=(2m+n,-3m+2n)=(9,4),所以,解得,所以+=+=.
2.(多选)已知点A(3,5),B(-2,1),C(-3,-2),D(7,6),则下列式子中正确的是 ( )
A.-=(4,1) B.+=(-1,-3)
C.=-2 D.=2
【解析】选BC.因为A(3,5),B(-2,1),C(-3,-2),D(7,6),
所以=(-5,-4),=(-1,-3),则-=(-4,-1),故A不正确;
=(4,1),+=(-1,-3),故B正确;
=(10,8)=-2,故C正确;
=(-6,-7),=(9,5),≠2,故D不正确.
探究点二 分点坐标的计算
【典例2】(1)已知A(2,-3),B(-4,1),则线段AB中点的坐标为 ( )
A.(-3,2) B.(3,-2)
C.(1,1) D.(-1,-1)
【思维导引】根据A,B两点的坐标,利用平面向量的坐标表示计算可得.
【解析】选D.设线段AB中点的坐标为M(x,y),取O(0,0),则=(2,-3),=(-4,1).
由向量的坐标表示可得2=+,即2x=2-4,2y=-3+1,解得x=-1,y=-1,所以线段AB中点的坐标为(-1,-1).
(2)(多选)已知O为坐标原点,向量=(2,3),=(6,-3),P是线段AB的三等分点,则P点的坐标可能为 ( )
A.(,1) B.(,5)
C.(,-1) D.(-,7)
【思维导引】根据向量的坐标运算求解,注意三等分点有两种可能.
【解析】选AC.由=(2,3),=(6,-3),可得=-=(4,-6).因为点P是线段AB的三等分点,则==(,-4)或==(,-2),所以=+=(,-1)或=+=(,1),即P点的坐标为(,-1)或(,1).
【类题通法】
线段定比分点公式:如图,设=λ.(注:起→分,分→终)
(1)定比分点向量式:=+;
(2)定比分点坐标式:设P(x,y)(分点),P1(x1,y1)(起点),P2(x2,y2)(终点).
则
常见结论:三角形的重心坐标公式:△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
重心坐标G(,).
探究点三 向量共线的判定及应用
角度一 向量共线的判定及解决点共线问题
【典例3】(1)(2025·保定高一检测)已知A(2,-1),B(1,4),C(sin ,cos ),O为坐标原点,则下列说法正确的是 ( )
A.=(1,-5) B.A,O,C三点共线
C.A,B,C三点共线 D.+=3
(2)已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量与平行吗 直线AB平行于直线CD吗
【思维导引】
(1)根据向量的坐标运算判断A,D,根据共线向量得三点共线判断B,C.
(2)判定向量与平行
两向量上的相关点不共线
【解析】(1)选B.由题意A(2,-1),B(1,4),C(-1,),所以=(-1,5),A错误;
因为=(-1,),=(2,-1),
所以=-2,所以O,A,C三点共线,B正确;
又=(-1,5),=(-3,),而-1×-5×(-3)≠0,所以,不共线,从而A,B,C三点不共线,C错误;
+=(3,3)≠3=(-3,),D错误.
(2)因为=(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(2-1,7-5)=(1,2).又2×2-4×1=0,所以∥.
又=(2,6),=(2,4),所以2×4-2×6≠0,
所以A,B,C不共线,所以AB与CD不重合,所以AB∥CD.
【类题通法】
向量共线的判定法
提醒:向量共线的坐标表达式极易写错,如写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不对的,因此要理解并记熟这一公式,可简记为:纵横交错积相减.
【定向训练】
1.已知点A(3,-2),B(-5,-1),且=,则点P的坐标为 .
【解析】设P(m,n),则由=得(m-3,n+2)=(-8,1),
所以,解得,
故点P的坐标为(-1,-).
答案:(-1,-)
2.已知A(1,-3),B(8,),C(9,1).
求证:A,B,C三点共线.
【证明】=(8-1,+3)=(7,),=(9-1,1+3)=(8,4),因为7×4-×8=0,所以∥,且,有公共点A,所以A,B,C三点共线.
角度二 利用向量共线求参数
【典例4】已知平面内的三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(1,-1).
(1)若a=λb+μc(λ,μ∈R),求λ+μ的值;
(2)若向量a+kb与向量2b-c共线,求实数k的值.
【思维导引】(1)由条件列组求解λ,μ;
(2)由平面向量共线的坐标表示求解.
【解析】(1)因为λb=(-λ,2λ),μ c=(μ,-μ),所以λb+μ c=(-λ+μ,2λ-μ),
又a=λb+μ c,所以解得所以λ+μ=13;
(2)因为a+kb=(3-k,2+2k),2b-c=(-3,5),又a+kb与2b-c共线,所以5×(3-k)=-3×(2+2k),解得k=-21.
【类题通法】
利用向量平行的条件处理求值问题的思路
(1)利用共线向量定理a=λb(b≠0)列组求解.
(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.
【定向训练】
1.已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,),若a-2b与c共线,则k= ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【思维导引】根据向量的坐标运算求得a-2b的坐标,利用向量共线的坐标表示列出,求得答案.
【解析】选D.由题意向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,),则a-2b=(,3),
由于a-2b与c共线,则-3k=0,所以k=1.
2.若向量=(x,2x-3),=(-1,2),且∥,则实数x的值为 .
【解析】因为向量=(x,2x-3),=(-1,2),且∥,所以x·2-(2x-3)·(-1)=0,解得x=.
答案:
探究点四 向量线性坐标运算的综合应用
【典例5】(一题多解)
平面内三个向量,,,其中 , =120°, , =30°,且|=||=1,||=2,用,表示.
【思维导引】法一,用平行四边形法则,建立向量关系;法二,利用平面向量基本定理及数量积公式;法三,建立直角坐标系,利用坐标法.
【解析】法一:如图,过C作CM∥OB,CN∥OA,分别交直线OA,OB于M,N,则四边形OMCN是平行四边形,由向量加法的平行四边形法则,得
=+,在△OMC中,||=2,∠OCM=90°,∠COM=30°,
所以||=2,||=4,又||=||=2,
所以=4,=2,所以=4+2.
法二:根据平面向量基本定理,设=λ+μ,(λ,μ∈R).
则
所以
所以所以
所以=4+2.
法三:以O为原点建立如图所示的坐标系Oxy,
则A(1,0),B(-,),C(3,),所以=(1,0),=(-,),=(3,).
设=λ+μ,(λ,μ∈R),则(3,)=λ(1,0)+μ(-,),
所以所以所以=4+2.
【类题通法】
解决综合应用问题的三步骤
(1)依据图形建立坐标系.
(2)确定点的坐标.
(3)利用坐标运算解决问题.
【定向训练】
1.设向量a,b满足a=(a,1),b=(2-b,1)(a,b>0),且a∥b,则+的最小值为 ( )
A. B.2 C.4 D.1
【解析】选B.因为a=(a,1),b=(2-b,1)且a∥b,所以1×a=1×(2-b),即a+b=2,
因为a>0,b>0,所以+=(+)(a+b)=(2++)≥(2+2)=2,当且仅当=,即a=b=1时取等号.
2.如图所示,已知△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),=,=,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.
【解析】因为==(0,5)=(0,),所以C(0,).
因为==(4,3)=(2,),所以D(2,).
设M(x,y),则=(x,y-5),=(2-0,-5)=(2,-).
因为∥,所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.①
又=(x,y-),=(4,),因为∥,所以x-4(y-)=0,
即7x-16y=-20.②
联立①②解得x=,y=2,故点M的坐标为(,2).
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1.若向量a=(,1),b=(0,-2),则与a+2b共线的向量可以是 ( )
A.(,-1) B.(-1,-)
C.(-,-1) D.(-1,)
【解析】选D.因为a+2b=(,-3)=-(-1,),所以向量a+2b与(-1,)是共线向量.
2.已知向量a=(cos α,-2),b=(sin α,1),且a∥b,则2sin αcos α等于 ( )
A.3 B.-3 C.- D.
【解析】选C.因为a∥b,所以cos α×1-(-2)sin α=0,即cos α=-2sin α,tan α=-,
所以2sin αcos α==
==-.
3.已知a=,B(1,0),b=(3,4),c=(-1,1),且a=3b-2c,则点A的坐标为 ( )
A.(12,10) B.(12,-10)
C.(-10,10) D.(-10,-10)
【解析】选D.a=3b-2c=3(3,4)-2(-1,1)=(11,10),即=(11,10),设O为坐标原点,由B(1,0)可得出=+=(1,0)+(-11,-10)=(-10,-10).
4.已知向量a=(1,1),b=(2,3),则2a+b= .
【解析】因为a=(1,1),b=(2,3),所以2a+b=(2,2)+(2,3)=(4,5).
答案:(4,5)
5.设O是坐标原点,=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A,B,C三点共线
【解析】因为=-=(4-k,-7),=-=(10-k,k-12),又A,B,C三点共线,所以由两向量平行的充要条件,得(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,解得k=-2或k=11.
即当k=-2或k=11时,A,B,C三点共线.
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6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
素养目标 思维导图
1.会用坐标表示平面向量的数乘运算.(数学运算) 2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.(直观想象) 3.会根据坐标表示的平面向量共线的条件解决问题.(数学运算)
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问题1.(1)已知a=(x,y),则3a的坐标是多少
提示:3a=a+a+a=(3x,3y).
(2)向量的线性运算顺序是否和实数的运算顺序类似
提示:类似.先算数乘,再算加减,有括号的先算括号里的.
问题2.已知下列几组向量:
①a=(0,3),b=(0,6).
②a=(2,3),b=(4,6).
③a=(-1,4),b=(3,-12).
④a=(,1),b=(-,-1).
(1)上面几组向量中,能用向量a表示b吗
提示:①②中b=2a,③中b=-3a,④中b=-a.
(2)以上几组向量中,a,b共线吗 a,b的坐标满足什么条件
提示:共线,向量a,b的横纵坐标成比例.
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则向量共线定理如何用a,b的坐标表示呢
提示:由于a=λb,故(x1,y1)=λ(x2,y2),
即当x2,y2≠0时,λ==,
即x1y2-x2y1=0.
【核心概念】
1.平面向量的数乘运算的坐标表示
项目 数学公式 文字语言表述
向量 数乘 若a=(x1,y1), 则λa=________ 实数与向量的积的坐标等于用这个实数
___原来向量的相应坐标
(λx1,λy1)
乘
x1y2-x2y1=0
b=λa
=λ
共线
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探究点一 向量线性运算的坐标表示
【典例1】(1)已知平面向量a=(1,1),b=(2,3),则向量2a-3b=( )
A.(-7,-4) B.(-3,-7)
C.(-4,-2) D.(-4,-7)
【思维导引】由向量的坐标线性运算即可求解.
【解析】选D.由题意a=(1,1),b=(2,3),
因为2×1-3×2=-4,2×1-3×3=-7,
所以2a-3b=(-4,-7).
√
(2)设向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾
相接能构成四边形,则向量d为 ( )
A.(2,6) B.(-2,6)
C.(2,-6) D.(-2,-6)
【思维导引】根据向量线性运算的坐标表示,结合题意求解即可.
【解析】选D.由题可知:4a+4b-2c+2a-2c+d=0,
即d=-6a-4b+4c=(-6,18)+(8,-16)+(-4,-8)=(-2,-6).
√
【类题通法】
向量数乘坐标运算的三个关注点
(1)准确记忆数乘向量的坐标表示,利用加法、减法、数乘运算法则进行;
(2)能与线性运算的几何意义结合解题;
(3)若是给出向量的坐标,则在解题过中要注意思想的运用及正确使用运算法则.
【定向训练】
1.已知向量a=(2,-3),b=(1,2),c=(9,4),若正实数m,n满足c=ma+nb,则+的值为( )
A. B. C. D.
【思维导引】利用向量线性运算的坐标表示求得m,n,从而得解.
【解析】选A.因为a=(2,-3),b=(1,2),c=(9,4),所以c=ma+nb=(2m+n,-3m+2n)=(9,4),
所以,解得,所以+=+=.
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【类题通法】
向量共线的判定法
提醒:向量共线的坐标表达式极易写错,如写成x1y1-x2y2=0或x1x2-y1y2=0都是不对的,因此要理解并记熟这一公式,可简记为:纵横交错积相减.
角度二 利用向量共线求参数
【典例4】已知平面内的三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(1,-1).
(1)若a=λb+μc(λ,μ∈R),求λ+μ的值;
(2)若向量a+kb与向量2b-c共线,求实数k的值.
【思维导引】(1)由条件列组求解λ,μ;
(2)由平面向量共线的坐标表示求解.
【解析】(1)因为λb=(-λ,2λ),μ c=(μ,-μ),所以λb+μ c=(-λ+μ,2λ-μ),
又a=λb+μ c,所以解得所以λ+μ=13;
(2)因为a+kb=(3-k,2+2k),2b-c=(-3,5),又a+kb与2b-c共线,所以5×(3-k)=-3×(2+2k),
解得k=-21.
【类题通法】
利用向量平行的条件处理求值问题的思路
(1)利用共线向量定理a=λb(b≠0)列组求解.
(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.
【定向训练】
1.已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,),若a-2b与c共线,则k=( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【思维导引】根据向量的坐标运算求得a-2b的坐标,利用向量共线的坐标表示列出
,求得答案.
【解析】选D.由题意向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,),则a-2b=(,3),
由于a-2b与c共线,则-3k=0,所以k=1.
√
【类题通法】
解决综合应用问题的三步骤
(1)依据图形建立坐标系.
(2)确定点的坐标.
(3)利用坐标运算解决问题.
【定向训练】
1.设向量a,b满足a=(a,1),b=(2-b,1)(a,b>0),且a∥b,则+的最小值为( )
A. B.2 C.4 D.1
【解析】选B.因为a=(a,1),b=(2-b,1)且a∥b,所以1×a=1×(2-b),即a+b=2,
因为a>0,b>0,所以+=(+)(a+b)=(2++)≥(2+2)=2,当且仅当=,即
a=b=1时取等号.
√
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1.若向量a=(,1),b=(0,-2),则与a+2b共线的向量可以是( )
A.(,-1) B.(-1,-)
C.(-,-1) D.(-1,)
【解析】选D.因为a+2b=(,-3)=-(-1,),所以向量a+2b与(-1,)是共线向量.
√
2.已知向量a=(cos α,-2),b=(sin α,1),且a∥b,则2sin αcos α等于 ( )
A.3 B.-3 C.- D.
【解析】选C.因为a∥b,所以cos α×1-(-2)sin α=0,即cos α=-2sin α,tan α=-,
所以2sin αcos α==
==-.
√
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4.已知向量a=(1,1),b=(2,3),则2a+b= .
【解析】因为a=(1,1),b=(2,3),所以2a+b=(2,2)+(2,3)=(4,5).
答案:(4,5)
