8.1平方根 第2课时 算术平方根与平方根关系、算术平方根的性质及应用 教学设计 数学新教材人教版七年级下册

8.1平方根（第2课时)（教学设计）
1.教学内容
本课时是人教新版七年级下册第八章《实数》8.1 平方根的第 2 课时，核心内容包括：1.进一步探究平方根的性质；2.利用平方根的性质解决简单计算与实际问题；3. 平方根与算术平方根的联系与区别。
2.内容解析
平方根是实数的基础内容，承接七年级上册有理数的运算，为后续立方根、实数的运算及二次根式的学习奠定基础。本课时在第一课时算术平方根的基础上，拓展到平方根的完整概念，是从 “非负平方根” 到 “正负平方根” 的认知延伸，帮助学生建立对 “开方运算” 的全面理解。
本课时通过对平方根性质的探究，培养学生的逻辑推理素养；通过符号表示与计算，提升数学抽象和运算能力；通过实际问题应用，强化数学建模意识。
本课时知识点抽象性较强，符号表示易混淆（如和），需结合具体实例和对比分析突破难点；性质的探究过程需体现 “观察 — 猜想 — 验证 — 归纳” 的思维路径。
基于以上分析，确定本节课教学重点是:平方根的性质（正数、0、负数的平方根情况）；平方根的符号表示与解决实际问题及简单计算；算术平方根与平方根的区别与联系。
教学目标
（1）掌握平方根的性质，明确正数有两个平方根、0 的平方根是 0、负数没有平方根；能正确区分算术平方根与平方根的符号表示，会用符号表示一个数的平方根；能根据平方根的性质进行简单的计算（如求一个数的平方根、根据平方根求原数）。（2）通过类比算术平方根的定义，探究平方根的概念与性质，体会 “从特殊到一般” 的探究方法；借助实例对比算术平方根与平方根的区别与联系，提升分析、归纳能力；通过典型例题和真题练习，巩固知识应用，培养规范解题的习惯。
（3）在探究过程中感受数学知识的连贯性与逻辑性，激发学习数学的兴趣；增强学好数学的自信心；培养严谨的数学思维和实事求是的科学态度。
2.目标解析
（1）平方根的性质是本课时的核心，要求学生不仅能记忆 “正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方根是 0，负数没有平方根”，还能结合具体数字（如 4、0、-2）说明理由；符号表示是重点技能，需让学生明确表示算术平方根（非负），表示平方根，能准确写出给定正数的平方根（如）；计算能力需达到 “给定一个非负数，能快速求出其平方根；给定一个数的平方根，能求出原数”（如已知是 121 的平方根，求的值）；实际问题应用需能将文字信息转化为数学问题，如 “一个正方形的面积是 25 平方米，求它的边长的平方根”。
（2）类比算术平方根的探究过程，引导学生自主提出 “如果一个数的平方等于，这个数除了算术平方根还有其他情况吗” 的问题，逐步推导平方根的性质；通过列表对比算术平方根与平方根的定义、符号、个数、取值范围等，帮助学生构建清晰的知识框架；例题教学中强调解题步骤的规范性，如求平方根时需先判断被开方数的正负，再根据性质求解。
（3）通过探究负数没有平方根的原因，让学生体会数学的严谨性；结合生活中与平方根相关的实例（如正方形场地的边长计算、折叠问题等），让学生感受数学与生活的联系；鼓励学生在练习中主动发现错误、纠正错误，培养勇于探索的精神。
学生在第一课时已学习算术平方根的定义、表示方法及非负性，能求出非负数的算术平方根；掌握了有理数的平方运算，知道任何有理数的平方都是非负数，这为探究平方根的性质奠定了基础。
七年级学生处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，对抽象的符号表示和性质推导容易产生困惑；注意力集中时间有限，需通过情境创设、实例分析、互动练习等方式保持学习兴趣；容易混淆相近概念（如算术平方根与平方根），需通过对比强化区分。
可能忽略被开方数的非负性，出现 “求 - 9 的平方根” 这类错误；符号使用不规范，如将 “4 的平方根” 写成（正确应为)；对 “平方根是互为相反数” 的理解不深刻，在解决 “已知一个数的平方根是2x+1和x-4，求这个数” 时容易出错。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解 “负数没有平方根” 的本质原因（平方运算的非负性）；
准确区分如和的含义，探究有多大。
创设情景，引入新课
回顾旧知：上节课我们学习了算术平方根，谁能说说 “4 的算术平方根是多少？”“0 的算术平方根是多少？”“-4 有算术平方根吗？”
（学生交流回答：；；-4 没有算术平方根）。
提出问题：小明家有一块面积为 25 平方米的正方形花园，他想知道 “这个正方形花园的边长是多少？”，我们可以用算术平方根求出边长为 5 米。但如果问题变成 “这个正方形花园的边长的平方等于 25，那么边长可能还有其他值吗？”“如果面积是 16 平方米、9 平方米，情况又会怎样？”
引出课题：继续学习 8.1平方根第2课时（板书课题）。
（设计意图：通过问题情景，引入新课.）
探究点1　平方根与算术平方根的定义与性质
追问1：平方根和算术平方根的定义是什么？你能举例说明吗？
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根。即如果，那么叫做a的平方根。
举例说明：因为，，所以 5 和 - 5 都是 25 的平方根；因为，所以 0 的平方根是 0；因为任何数的平方都不是负数，所以 - 25 没有平方根。
总结归纳：抽象定义：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）。
追问2：平方根有什么性质？① 正数有几个平方根？它们之间有什么关系？② 0 有几个平方根？是多少？
③ 负数有平方根吗？为什么？
正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是0；负数没有平方根。
追问3：平方根和算术平方根的符号如何表示？
正数a的两个平方根，一个是算术平方根，另一个是，合起来记作（读作 “正、负根号\(a\)”）。其中a叫做被开方数，且。
（设计意图：进一步明确平方根与算术平方根的定义,进一步探究平方根的性质及表示.）
探究点2　平方根与算术平方根的关系
思考类比:算术平方根与平方根的区别与联系：
学生思考讨论填写下表：
对比项目 算术平方根 平方根
定义 如果，则是a的算术平方根 如果，则是a的平方根
符号表示
个数 1 个 2 个（互为相反数）
取值范围 非负数（） 一正一负（正数的平方根）、0（0 的平方根）
联系 算术平方根是平方根中的非负部分；平方根包含算术平方根
（设计意图：类比平方根与算术平方根的区别与联系.）
探究点3　算术平方根值的性质
问题:求下列各数的算术平方根:
(l) 100; (2) (3) 0.0001.
学生根据定义得出结论:
（1)因为10 =100、所以100的算术平方根是10，即;
(2）因为，所以的算术平方根是,即;
(3)因为0.01 =0.0001,所以0.0001的算术平方根是0.01,即.
观察上面的结论,你能得出被开方数与它的算术平方根有什么关系:被开方数越大，对应的算术平方根就越大，这个结论对所有正数都成立.
（设计意图：通过求算术平方根的值得到被开方数与它的算术平方根有什么关系,为进一步探究有多大做铺垫.）
探究点4　面积为2dm 的正方形边长是多少 它有多大
探究:怎样用两个面积为1dm 的小正方形拼成一个面积为2dm 的大正方形，这个大正方形的近长是多少
引导学生利用下面的方法探究面积为2dm 正方形连长:
如图81-2，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形排在一起，就得到一个面积为2dm”的大正方形
设大正方形的边长为：，则
由边长的实际意义可知，所以大正方形的边长是dm.
探究：有多大呢？
因为, ， ，所以；
因为， ,，所以；
因为， ,，所以；1.41 =1.988 1, 1.42 =2.016 4, 1.41 <2<1.42 ，所以1.41<<1.42;
因为1.414 =1.999 396,1.415 =2.002 225,1.414 <2<1.415 ，所以1.414<<1.415;
......
如此进行下去，可以得到的更精确的估计范围，事实上，=1.414213 562373...，它是一个无限不循环小数。
实际上，很多正有理数的算术平方根（例如3，5，6等）都是无限不循环小数.
归纳:无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数。我们前面学习的圆周率就是一个无限不循环小数.
(设计意图:进一步强化算术平方根的应用,同时为下一节课继续学习做铺垫)
典型例题
例1：已知一个数的平方根是2x-3和x+6，求这个数
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数，可得2x-3与x+6的和为 0。
【详解】解：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以(2x-3)+(x+6)=0
解得： x = -1
则2x - 3=-2-6 = -5，x + 6 = -1 + 6 = 5,
因为，所以这个数是 25.
例2.已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的值。
【分析】因为，所以的整数部分a=2，小数部分；可以求出的值。
【详解】因为，所以，所以的整数部分a=2，所以小数部分；
所以
课本课堂练习1、2、3.；
参考答案：1. (1)0.3;(2);(3)5. 2.（1）6；（2）；（3）. 3.
（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）
1.已知．
(1)已知x的算术平方根为3，求a的值；
(2)如果x，y都是同一个数的平方根，求这个数．
【详解】（1）解：∵的算术平方根为3，
∴，解得；
（2）①当时，即，解得，
∴，，
∴这个数为；
②当时，即，解得，
∴，，
∴这个数为，
综上所述，这个数为1或25．
（设计意图：强化平方根和算术平方根的运用）
1．(2025.岳西质检)若一个正数m的两个平方根分别是和，求a和m的值．
【详解】解：根据题意可得：，
解得：，
2.(2025.安庆校考)求式子中的值：
【详解】
3．(2025.揭阳质检)数学老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：…，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：“它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分”．张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：
(1)的小数部分是a，的整数部分是b，求的值．
(2)已知，其中x是一个整数，，求的值．
【详解】（1）解：∵，，
∴，．
∴，．
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵x是一个整数，，
∴，，
∴．
∴原式．
（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）
知识总结：(1)平方根的定义：若，则是的平方根；(2)平方根的性质：正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方根是 0，负数没有平方根；符号表示：正数a的平方根为，算术平方根为；(3)很多正有理数的算术平方根（例如3，5，6等）都是无限不循环小数,无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数,(4)算术平方根与平方根的联系：算术平方根是平方根的非负部分。
方法总结：(1)求一个数的平方根时，先判断被开方数是否为非负数，再根据平方运算逆推；(2)解决与平方根相关的含字母问题时，利用 “正数的两个平方根互为相反数” 或 “被开方数非负” 建立方程；(3)区分算术平方根与平方根时，可通过符号、个数、取值范围对比记忆。
易错提醒：(1)忽略被开方数的非负性，如求-4的平方根（错误，负数无平方根）；(2)混淆算术平方根与平方根，如错误认为)（表示算术平方根，等于 5）；(3)解决 “已知平方根求原数” 时，忘记平方（如已知平方根是 3，原数是，而非 3）。
(设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ）
必做题：课本习题8.1第3,7,8题.
探究性作业：课本习题25.2第9题.
（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ）
主板书 8.1平方根（第2课时) 探究点1　平方根与算术平方根的定义与性质 探究点2　平方根与算术平方根的关系 探究点3　算术平方根值的性质 探究点4　面积为2dm 的正方形边长是多少 它有多大 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演