8.1平方根 第3课时 计算器求算术平方根、算术平方根的估算 教学设计 数学新教材人教版七年级下册

8.1平方根（第3课时)（教学设计）
1.教学内容
本课时是人教新版七年级下册第八章《实数》8.1 平方根的第 13课时，核心内容包括：核心内容为用计算器求一个正数的算术平方根、算术平方根的估算，以及算术平方根的实际应用，掌握算术平方根的近似值求法和估算技巧。
2.内容解析
本节课是平方根的后续课时，承接前两课时的算术平方根定义、非负数的算术平方根性质，是算术平方根知识从“精确值”到“近似值”的延伸，也是实数运算的基础铺垫。估算算术平方根的方法体现了“数形结合”和“夹逼法”的数学思想，用计算器求算术平方根则是数学工具的实际应用，同时本节课的实际问题解决，能让学生体会数学与生活的联系，为后续学习立方根、实数的大小比较奠定基础。
基于以上分析，确定本节课教学重点是: 用计算器求正数的算术平方根的近似值；算术平方根的估算方法。
教学目标
(1)会用计算器求正数的算术平方根的近似值，掌握算术平方根的估算方法，能运用算术平方根的知识解决简单的实际问题。
(2)通过估算算术平方根的过程，体会夹逼法的数学思想，培养数感和估算能力；通过实际问题解决，提升数学应用意识。
(3) 感受数学工具的实用性，体验数学与生活的密切联系，在探究和解题过程中培养主动思考、合作交流的学习习惯。
2.目标解析
(1)学生能熟练操作计算器求算术平方根，能对不带根号的算术平方根进行初步估算，这是本节课的基本要求，面向全体学生。
(2)理解夹逼法估算算术平方根的原理，能根据实际需求确定算术平方根近似值的精度，能将实际问题转化为算术平方根的数学问题，这是本节课的能力提升要求。
(3在估算和应用过程中，渗透数形结合、转化的数学思想，培养学生的数感和数学应用素养，为后续实数学习做好思维铺垫。
本节课的授课对象为七年级下册学生，学生已掌握算术平方根的定义，能求完全平方数的算术平方根，具备初步的数感和简单的有理数大小比较能力。但学生对“夹逼法”的数学思想接触较少，估算算术平方根的思维方式需要引导；同时，部分学生对计算器的使用不熟练，需重点讲解计算器求算术平方根的操作步骤；此外，七年级学生的数学应用意识较弱，将实际问题转化为数学问题的能力有待提升，需要通过具体例题逐步引导。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为夹逼法估算算术平方根的原理理解；算术平方根在实际问题中的灵活应用。
创设情景，引入新课
复习回顾：上一节课我们学习了已知一个正方形的面积是2平方米，求这个正方形的边长是多少米？能得出边长为米，我们探讨了有多大？
回忆一下怎样估算的？引入课题：用计算器求算术平方根，和算术平方根的估算.
（设计意图：通过复习，自然引入新课.）
探究点1　算术平方根的估算
回顾讨论：如何估算的近似值。
第一步：确定范围。因为, ， ，所以；即的整数部分是1。
第二步：细化精度。因为， ,，所以；
再计算1.41 =1.988 1, 1.42 =2.016 4, 1.41 <2<1.42 ，所以1.41<<1.42;
因为1.414 =1.999 396,1.415 =2.002 225,1.414 <2<1.415 ，所以1.414<<1.415;
，以此类推可不断提高精度。这种方法叫夹逼法。
总结归纳：夹逼法估算算术平方根的步骤：①找到与被开方数相邻的两个完全平方数；②确定算术平方根的整数范围；③逐步细化小数部分，缩小范围，得到近似值。
探究点2　 用计算器求算术平方根
首先要看清计算器的说明书，按说明书操作。
以人教版指定计算器为例进行操作：①按下键；②输入被开方数；③按下等号键，得到算术平方根的近似值。
示范操作：用计算器求，，的近似值（精确到0.001），学生跟随操作。
注意事项：①计算器显示的结果是近似值，可根据题目要求保留精度；②被开方数为小数时，直接输入即可，无需转化。
小组活动：每人任意写3个正数，用计算器求其算术平方根，互相检查操作是否正确。
（ 设计意图：通过自主探究、教师示范、小组活动，让学生掌握估算和计算器求算术平方根的方法，渗透夹逼法的数学思想，培养学生的动手操作能力和合作交流能力。 ）
探究点3　 用计算器探究算术平方根的值与被开方数的小数点位置的关系
探究
用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中，你发现了什么规律
┅ ┅
┅ ┅
表格中依次填0.25，0.791，2.5，7.91，25，79.1，250.
从计算结果总结规律：被开方数的小数点向左(或向右)移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向左(求向右)移动1位.
(2)用计算器计算(结果保留小数点后三位)，并利用你在(1)中发现的规律求出，，的近似值，你能根据的值求出的近似值吗
由上规律得，上面的值依次是0.1732，17.32,173.2.
根据的值，不能直接求出的近似值.
（ 设计意图：通过自主探究、教师示范、小组活动，让学生掌握用计算器探究算术平方根的值与被开方数的小数点位置的关系。）
典型例题
例１ 估算下列各数的算术平方根的近似值（精确到0.1）
（1）；(2) ；(3) .
【分析】找到相邻的完全平方数，用夹逼法缩小范围，确定近似值.
【详解】解：（1）；(2) ；(3) .
例2：用计算器求下列各式的值（精确到0.01）
；(2) ；(3) .
【分析】：注意负数的算术平方根不存在，本题是求算术平方根的相反数，先求算术平方根再添负号。
【详解】解： （1） ；(2) ；(3) .
例3：小丽想用一块而积为400的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300的长方形纸片，使它的长与宽的比为3:2.但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说:“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片!
你同意小明的说法吗 小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗
【分析】：学生可能认为“一定能用一块面积大的纸片截出一块面积小的纸片”，根据长方形面积公式，建立方程求出长方形的长再进行比较。
【详解】解：解:设长方形纸片的长为cm,宽为 cm.
根据边长与面积的关系，得
由边长的实际意义，得.
因此长方形纸片的长为cm.
因为50>49，所以.
由上可知 ，即长方形纸片的长应该大于21cm.
因为，所以正方形纸片的边长只有20cm.这样，长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长.
答:不同意小明的说法，小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片.
课本课堂练习1、2、3.
答案：1.(1) 31;(2) 9.8;(3) 20.075.
2.(1) 2，3;(2) 5，6;(3) 1，2.
3.她的想法不可行(因为长方形画纸的宽小于圆形画纸的直径).
（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）
1.认真阅读下面的材料，再解答问题．
根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地．如果一个数的四次方等于，即，那么这个数叫作的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义．
(1)81的四次方根为_______；的五次方根为_______；
(2)若有意义，则的取值范围是______；若有意义，则的取值范围是_______；
(3)求的值：．
【详解】（1）解：∵，，
∴81的四次方根为，
∵，
∴的五次方根为，
故答案为：；；
（2）解：若有意义，则，
故的取值范围是；
若有意义，则的取值范围是任意实数，
故答案为：；任意实数；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴或.
（设计意图：强化平方根的认识与推广）
1．（2025滁州·阶段练习）观察下列等式：
等式1：；等式2：；等式3：
(1)猜想验证：根据观察所发现的特点，猜想第4个等式为 ，第10个等式为 ；
(2)归纳猜想：用含的式子表示第个等式所反映的运算规律为 ．
【详解】（1）解：根据题意可猜想第4个等式为，第10个等式为；
（2）解：第1个等式为，
第2个等式为，
第3个等式为，
第4个等式为，
……
以此类推可得第n个等式为．
2．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）为打造班级文化墙，生活委员准备从一块面积为0.64平方米的正方形硬纸板上，裁剪出一块面积为0.6平方米的长方形硬纸板（裁剪线与正方形的边平行），用于展示班级标语．
(1)正方形硬纸板的边长为_____米；
(2)若要求裁下的长方形硬纸板的长、宽之比为，请问是否能裁出满足要求的长方形硬纸板？并说明理由．
【详解】（1）解：正方形硬纸板的边长为（米），
故答案为：；
（2）解：不能裁出满足要求的长方形硬纸板．
理由如下：
长方形硬纸板的长、宽之比为，
设长方形硬纸板的长、宽分别为米，米，
，
解得（负值舍去），
，，
，
，
不能裁出满足要求的长方形硬纸板．
3.．（25-26上海·阶段练习）中国古代数学家很早就会利用数形结合思想来解决生活中的一些问题．
杨辉是我国南宋时期的数学家，一次他画了一张“弦图”，解决了如下问题：一块长方形田地的面积是864平方步，已知它的宽比长少12步，问长与宽是多少？（注：“步”是长度单位，“平方步”是面积单位.1步尺）
解：设宽为步，则长为步，得方程 ．
如图，杨辉将题目中所说长方形的田地安排成“弦图”中四个相同的长方形，并组成了一个大正方形，由题目条件可知小正方形面积是 平方步，大正方形面积是 平方步，于是矩形的长与宽的和是 步，得到宽（即的一个正数解）为 步．（在对应序号处填空，写在答题纸上）
请你仿造杨辉的“画图”方法，解方程（求出一个正数解即可）．（注意：画出示意图，所画图上要有必要数据标记）
【详解】解：设宽为步，则长为步，得方程．
如图，杨辉将题目中所说长方形的田地安排成“弦图”中四个相同的长方形，并组成了一个大正方形，
由题目条件得：小正方形的边长为：，面积为平方步，
大正方形的面积是平方步，
于是矩形的长与宽的和是步，
解得：步，
∴宽为24步．
故答案为：；144；3600；60；24；
∵，
∴，
∴，
如图所示：
∴，
矩形的面积为616，
∴，
∴，
解得：．
（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）
知识总结：(1)算术平方根的估算方法：夹逼法，找到相邻的两个完全平方数，确定范围，逐步细化.(2)用计算器求算术平方根的操作步骤：按键“”→输入被开方数→按等号键.(3)被开方数的小数点向左(或向右)移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向左(求向右)移动1位.(4)能运用算术平方根的知识解决正方形、圆形等实际几何问题.
方法总结:(1)估算的核心思想：夹逼法，将未知的算术平方根夹在两个已知的有理数之间，逐步缩小范围.(2)实际问题的解决方法：转化法，将实际问题转化为算术平方根的数学问题，先列式，再求近似值.(3)计算器的使用技巧：根据题目要求保留近似值的精度，注意符号问题（如求算术平方根的相反数）.
易错提醒:(1)估算时，容易找错相邻的完全平方数，导致范围确定错误，需熟记1~20的平方数.(3)用计算器求算术平方根时，容易误操作，忘记按“”键或输错被开方数，需细心操作. (3)解决实际问题时，容易忽略单位和精度要求，导致答案错误，需认真审题.
(设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ）
必做题：课本习题8.1第4、5、9、10题.
探究性作业：课本习题25.2第11题.
（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ）
主板书 8.1平方根（第3课时) 探究点1　算术平方根的估算 探究点2　 用计算器求算术平方根 探究点3　 用计算器探究算术平方根的值与被开方数的小数点位置的关系 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演