8.2立方根 第1课时 立方根的概念 教学设计 数学新教材人教版七年级下册

8.2立方根（第1课时)（教学设计）
1.教学内容
人教新版七年级下册第八章实数 8.2 节 “立方根” 第 1 课时，核心内容包括：立方根的概念、立方根的性质、立方根的表示方法（符号 “”）、利用立方运算求非负数及负数的立方根。
2.内容解析
（1）立方根是实数章节的重要组成部分，是在学生学习平方根、算术平方根后，对 “方根” 概念的延伸，也是后续学习实数运算、函数等知识的基础。
（2）本节课以 “立方运算与开立方运算互为逆运算” 为核心线索，类比平方根的学习思路，引导学生从具体实例抽象出立方根的概念，再通过探究归纳性质，最终落实到运算应用。
（3）教材通过实际问题（如正方体体积求棱长）引入，注重 “从具体到抽象”“类比迁移” 的认知规律，同时突出立方根与平方根的区别，帮助学生构建完整的方根知识体系。
基于以上分析，确定本节课教学重点是:立方根的概念和性质；立方根的符号表示和求法。
教学目标
（1）理解立方根的定义，能准确表述立方根的概念；掌握立方根的性质，知道正数、0、负数的立方根的特点；会用符号表示一个数的立方根，能利用立方运算求一个数的立方根（包括整数、分数、小数的立方根）。
（2）通过类比平方根的学习过程，经历 “观察 - 猜想 - 验证 - 归纳” 的探究过程，培养类比推理能力和抽象概括能力；在解决实际问题和例题练习中，提升运算能力和逻辑思维能力。
（3）感受数学与生活的联系，体会数学的实用性，激发学习数学的兴趣；在类比学习和探究过程中，培养合作意识和探究精神，增强学习自信心。
2.目标解析
（1）“理解立方根的定义” 要求学生能结合具体实例（如正方体体积与棱长的关系）说明立方根的含义，能区分立方根与平方根的概念；“掌握立方根的性质” 需要学生通过计算具体数的立方根，归纳出 “正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0 的立方根是 0” 的结论，并能运用性质判断立方根的符号；“会用符号表示和求立方根” 要求学生熟练掌握立方根的符号 “” 的读写，能根据立方运算逆向求出一个数的立方根，熟练解决基础计算问题。
（2）类比平方根的学习流程（概念 - 性质 - 运算），让学生体会 “类比迁移” 的数学思想，学会用已有知识探索新知识；通过 “实际问题引入 - 抽象概念 - 探究性质 - 例题巩固 - 真题检验” 的环节，让学生经历完整的知识形成过程，培养自主探究和合作交流的能力。
（3）从实际问题（如制作正方体容器、计算立方体体积）切入，让学生感受到数学在生活中的应用价值，激发主动学习的动力；在探究过程中鼓励学生大胆猜想、积极验证，对学生的进步及时肯定，帮助学生建立学习数学的信心，培养勇于探索的精神。
（1）学生在七年级上册学习了有理数的乘方运算，下册前一节已经掌握了平方根、算术平方根的概念、性质和求法，具备了 “逆运算” 的思维基础（如已知平方求原数），这为类比学习立方根提供了良好的知识铺垫。
（2）七年级学生处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，对抽象概念的理解需要借助具体实例和直观形象的支撑；同时，学生好奇心强，喜欢通过探究、类比的方式学习新知识，但注意力集中时间有限，需要通过多样化的教学活动保持学习兴趣。
（3）容易混淆立方根与平方根的概念（如符号表示、性质差异），尤其是 “负数是否有立方根” 的问题，可能受 “负数没有平方根” 的思维定式影响；对立方根符号 “” 的读写和意义理解可能存在障碍，容易与平方根的符号 “” 混淆；计算立方根时，对较大数或分数的立方根求解可能不够熟练，需要强化逆向思维训练。
基于以上分析，确定本节课的教学难点是：理解立方根与平方根的区别与联系；求负数的立方根（突破 “负数没有平方根” 的思维定式）。
创设情景，引入新课
问题 1：现有一个正方体形状的礼品盒，体积为 27cm ，想要给它包装封面，需要先知道它的棱长，你能求出这个正方体的棱长吗？
问题 2：如果正方体的体积为 8cm 、1cm 、0cm 、-8cm ，它的棱长又分别是多少呢？
引导思考：设正方体的棱长为 x cm，根据正方体体积公式 V=x ，上述问题可转化为：已知 x 的值，求 x 的值，即 “已知一个数的立方，求这个数”。
引出课题：这就是我们今天要学习的 “立方根”，类比平方根的定义，我们来探究立方根的相关知识。
（设计意图：通过实际生活中的正方体棱长问题引入，让学生感受到数学与生活的联系，同时类比平方根的 “已知平方求原数”，自然过渡到 “已知立方求原数”，激发学生的探究欲望，为立方根概念的引入做好铺垫。）
探究点1　立方根的概念
思考：如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少？
因为，所以这个数可以是2、除2以外，任何一个数的立方都不等于8，因此、如果一个数的立方等于8，那么这个数是2.
抽象定义：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数就叫做的立方根（也叫做三次方根）。
符号表示：一个数的立方根记作 “”，读作 “三次根号”，其中是被开方数，3 是根指数（根指数 3 不能省略，与平方根的根指数 2 省略不同）。
正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．根据这种互逆关系、可以求一个数的立方根.
探究点2. 立方根的性质
小组探究：计算下列各数的立方根，观察结果的特点，归纳立方根的性质。
1.计算： ， ， .
2.计算： ， ， .
3.计算： .
归纳性质：正数有一个正的立方根；负数有一个负的立方根；0 的立方根是 0。
探究点3. 对比辨析
思考讨论:填写表格，区分立方根与平方根的性质差异。
项目 平方根 立方根
正数的根 有两个，互为相反数 有一个，是正数
负数的根 没有平方根 有一个，是负数
0 的根 0 的平方根是 0 0 的立方根是 0
根指数 根指数 2 可省略 根指数 3 不能省略
(设计意图：通过抽象定义、符号表示、即时练习、小组探究、对比辨析等环节，让学生逐步理解立方根的概念和性质，同时通过与平方根的对比，突破 “负数没有立方根” 的思维障碍，强化对两个概念的区分。)
典型例题
例1：求下列各数的立方根
(1); (2) 343; (3）－64; (4）.
【分析】根据立方根的定义，找到一个数，使得 等于被开方数，即可求出立方根。
【详解】解：(1)的立方根是－2，即;
(2)因为，所以343的立方根是7，即;
(3)因为，所以-64的立方根是-4，即;
（4） 因为.所以的立方根是.
总结方法：求一个数的立方根，关键是找到一个数，使其立方等于被开方数，可利用立方运算逆向求解；对于分数、小数的立方根，可转化为整数的立方根进行计算（如小数化分数、分数分子分母分别开立方）。
例 2：求下列各式的值
（1）； （2）；（3）；（4）.
【分析】先化简被开方数（若需要），再根据立方根的定义计算（先计算被开方数的减法，再求立方根）。
【详解】解：（1）； （2）；（3）；（4）.
(设计意图：通过基础例题和变式例题，让学生熟练掌握立方根的求法，覆盖整数、分数、小数、负数等不同类型，同时强化符号的处理和被开方数的化简，提升运算准确性。)
课本课堂练习1、2、3.；
参考答案：1.1. (1)正确;(2)错误;(3)正确;(4)错误. 2. (1) -1; (2) 0.2;(3). 3. 6 cm.
（设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略）
1．若，求的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴或2，，
当时，；
当时，．
（设计意图：强化平方根的运用）
1．（2025 眉山）﹣27的立方根是 　　 ．
【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，
∴3
故答案为：﹣3．
2．（2025 江西）化简：　 　 ．
【解答】解：根据开立方定义：x3＝a，则x叫a的立方根，记作，可得：
，
故答案为：2．
3．（2025 柳州校考）已知的平方根是，的立方根是3．
(1)求、的值；
(2)求的算术平方根．
【详解】（1）解：的平方根是，
，
，
的立方根是3，
，
．
（2）解：由（1）可知，，
的算术平方根是9．
（设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力）
知识总结：（1）立方根的定义：若，则叫做 的立方根，记作；（2）立方根的性质：正数有一个正立方根，负数有一个负立方根，0 的立方根是 0；（3）立方根的求法：利用立方运算逆向求解，符号与被开方数一致。
方法总结：(1)类比法：类比平方根的学习思路探究立方根的知识，是数学中重要的学习方法；(2)逆向思维法：求立方根时，逆向运用立方运算，找到满足条件的数；(3)对比法：通过对比立方根与平方根的性质，加深对两个概念的理解，避免混淆。
易错提醒:(1)混淆立方根与平方根的符号：立方根的根指数 3 不能省略，平方根的根指数 2 可省略；
(2)错误认为 “负数没有立方根”：负数有一个负的立方根，与平方根不同；(3)计算分数、小数的立方根时，忽略分子分母或小数的转化，导致计算错误；(3)符号处理错误：如 与相等（因为），但平方根中与意义不同（只有 a≤0 时才有意义）。
(设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ）
必做题：课本习题8.2第1,4,5题.
探究性作业：课本习题8.2第6题.
（设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ）
主板书 8.2立方根（第1课时) 探究点1　立方根的概念 探究点2. 立方根的性质 探究点3. 对比辨析 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演