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课堂合作探究
课堂学业达标
6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
素养目标 思维导图
1.经历用向量法解决某些简单平面几何问题、力学问题及其他实际问题的过.(数学建模) 2.体会向量是一种处理几何、物理等问题的工具.(数学抽象)
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(5)如何求夹角问题
提示:利用夹角公式:cos θ=
=.
问题2.(1)物理中常见的矢量力、速度、加速度、位移等是数量还是向量
提示:力、速度、加速度、位移在数学中用向量表示.
(2)物理中力、速度、加速度、位移的合成与分解,主要对应向量的哪些运算
提示:力、速度、加速度、位移的合成与分解在数学中对应的是向量加、减与数乘.
(3)物理中动量mv、物理中功,对应向量的哪些运算
提示:动量mv是向量的数乘运算,物理中功是力F与所产生的位移s的数量积.
【核心概念】
1.用向量法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系,用_____表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问
题转化为_____问题.
(2)通过_____运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.
(3)把_________“翻译”成几何关系.
2.用向量法解决平面几何中的常见问题
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0且b≠0),a与b的夹角为θ.
(1)求线段的长度或证明线段相等,可利用向量的_________、向量的___.
向量
向量
向量
运算结果
线性运算
模
(2)证明垂直或涉及垂直问题,常用向量垂直的等价条件:a⊥b ______ ___________.
(3)线段平行或涉及共线问题,常用向量平行(共线)的等价条件:a∥b _____
__________.
(4)求夹角问题,常利用向量的夹角公式:cos θ==.
3.向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等.
(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解.
(3)动量mv是向量的数乘运算.
(4)功是力F与所产生的位移s的数量积.
a·b=0
x1x2+y1y2=0
a=λb
x1y2-x2y1=0
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√
√
√
探究点二 平面向量在物理中的应用
【典例2】(1)一物体在力F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5).在这个过中三个力的合力所做的功等于 .
(2)如图所示,一条河的两岸平行,河的宽度d=500 m,一艘船从A点出发航行到河对岸,船航行速度的大小为|v1|=10 km/h,水流速度的大小为|v2|=4 km/h,设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°).
①当cos θ多大时,船能垂直到达对岸
②当船垂直到达对岸时,航行所需时间是否最短 为什么
【思维导引】(1) 求出合力、位移的坐标表示
→ 利用数量积求功
(2)①由题意,船的实际速度v=v1+v2且与v2垂直,即(v1+v2)·v2=0,根据数量积的定义即可求解;
②设船航行到对岸所需的时间为t h,则t==,比较θ=90°和sin θ=两种情况即可求解.
②设船航行到对岸所需的时间为t h,则t===(h),
所以当θ=90°时,船的航行时间最短为 h,
而当船垂直到达对岸时,由①知sin θ=,
所需时间t===(h),
>,
故当船垂直到达对岸时,航行所需时间不是最短.
【类题通法】
向量在物理中的应用
(1)求力向量、速度向量常用的法:一般是向量几何化,借助于向量求和的平行四边形法则求解.
(2)用向量法解决物理问题的步骤:
①表示:把物理问题中的相关量用向量表示;
②转化:转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决;
③还原:结果还原为物理问题.
【定向训练】
1.如图为某种礼物降落伞的示意图,其中有8根绳子和伞面连接,每根
绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1 kg,每根
绳子的拉力大小相同,则降落伞在匀速下落的过中每根绳子拉力的
大小(重力加速度g取9.8 m/s2)最接近( )
A.1.4 N B.1.5 N C.1.6 N D.1.8 N
【思维导引】设每根绳子上的拉力大小为T,根据平衡条件列式求解即可.
【解析】选A.设每根绳子上的拉力大小为T,则根据平衡条件可得,8T·cos 30°=mg,
解得T==≈1.4(N).所以降落伞在匀速下落的过中每根绳子拉力的大小约
为1.4 N.
√
2.小娟、小明两个人共提一桶水匀速前进,已知水和水桶总重力为G,两人手臂上的拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ,下列结论中正确的是 ( )
A.θ越小越费力,θ越大越省力
B.始终有|F1|=|F2|=
C.当θ=时,|F1|=|G|
D.当θ=时,|F1|=|G|
√
【解析】选C.根据题意,由于F1+F2=G,又由|F1|=|F2|,
则以向量F1,F2为邻边的四边形为菱形,
则有|F1|=|F2|=,θ∈[0,π],
对于A,由于|G|不变,则θ越小越省力,θ越大越费力,A错误;
对于B,|F1|=|F2|=,B错误;
对于C,当θ=时,|F1|=|F2|==|G|,C正确;
对于D,当θ=时,|F1|=|F2|==|G|,D错误.
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√
2.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=0.6 km,一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1 km,水的流速为2 km/h,若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6 min,则客船在静水中的速度为 ( )
A.6 km/h B.8 km/h
C.2 km/h D.10 km/h
√
即|vy|===6 km/h,
因为|vx+v2|==8 km/h,而vx与v2同向,
即|vx+v2|=|vx|+|v2|,
所以|vx|=8-2=6 km/h,
所以|v1|==6 km/h.
4.平面上三个力F1,F2,F3作用于一点且处于平衡状态,|F1|=1 N,|F2|= N,F1与F2的夹角为45°,则F3的大小为 .
【解析】由题意得F3=-(F1+F2),所以|F3|=|-(F1+F2)|=
==(N).
答案: N
5.设P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点.
(1)试用向量证明:PQ∥AB;
(2)若AB=3CD,求PQ∶AB的值.6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
素养目标 思维导图
1.经历用向量法解决某些简单平面几何问题、力学问题及其他实际问题的过.(数学建模) 2.体会向量是一种处理几何、物理等问题的工具.(数学抽象)
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问题1.平面几何经常涉及距离(线段长度)和角度垂直等问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角,因此我们可以用向量的法解决某些几何问题.
a=(x1,y1),b=(x2,y2)
(1)如何用向量的法,求线段长度或证明线段相等
提示:用向量的模长公式:|a|==,例如,证明AB=CD,只要证明||=||或=.
(2)如何用向量的法,证明直线或线段平行
提示:用向量共线定理:a∥b a=λb x1·y2-x2·y1=0.
(3)如何用向量的法证明三点共线
提示:要证明A,B,C三点共线,只要证明存在实数λ,使得=λ或=λ或=λ,即利用向量共线定理先说明共线,而后说明有一个公共点即可.
(4)如何用向量的法,证明直线或线段垂直
提示:常用向量垂直的条件:a⊥b a·b=0 x1·x2+y1·y2=0.
例如证明AB⊥CD,只要证明·=0.
(5)如何求夹角问题
提示:利用夹角公式:cos θ=
=.
问题2.(1)物理中常见的矢量力、速度、加速度、位移等是数量还是向量
提示:力、速度、加速度、位移在数学中用向量表示.
(2)物理中力、速度、加速度、位移的合成与分解,主要对应向量的哪些运算
提示:力、速度、加速度、位移的合成与分解在数学中对应的是向量加、减与数乘.
(3)物理中动量mv、物理中功,对应向量的哪些运算
提示:动量mv是向量的数乘运算,物理中功是力F与所产生的位移s的数量积.
【核心概念】
1.用向量法解决平面几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题.
(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题.
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
2.用向量法解决平面几何中的常见问题
设a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0且b≠0),a与b的夹角为θ.
(1)求线段的长度或证明线段相等,可利用向量的线性运算、向量的模.
(2)证明垂直或涉及垂直问题,常用向量垂直的等价条件:a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0.
(3)线段平行或涉及共线问题,常用向量平行(共线)的等价条件:a∥b a=λb x1y2-x2y1=0.
(4)求夹角问题,常利用向量的夹角公式:cos θ==.
3.向量在物理中的应用
(1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、位移等.
(2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、位移的合成与分解.
(3)动量mv是向量的数乘运算.
(4)功是力F与所产生的位移s的数量积.
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探究点一 向量在平面几何中的应用
【典例1】(1)在△ABC中,·+=0,·=,则△ABC的形状为 ( )
A.等腰直角三角形
B.三边均不相等的三角形
C.等边三角形
D.等腰(非直角)三角形
(2)在边长为2的正形ABCD中,M是BC的中点,点E在线段AB上运动,则·的取值范围是 ( )
A.[2,8] B.[2,6]
C.[0,2] D.[0,4]
(3)已知四边形ABCD是边长为6的正形,E为AB的中点,点F在BC上,且BF∶FC=2∶1,AF与EC相交于点P,求四边形APCD的面积.
【思维导引】(1)由数量积的运算律得到·的值,即可得到∠ACB的大小,再由数量积的定义求出∠CAB的大小,即可判断.
(2)建立平面直角坐标系,利用平面向量的坐标表示及数量积的坐标运算计算即可.
(3)先建系设点P坐标,再根据A,P,F和C,P,E分别共线求点P坐标,最后求四边形APCD的面积.
【解析】(1)选A.因为·+=0,即(+)·=0,即·=0,
所以⊥,即AC⊥BC,则∠ACB=,
又表示与同向的单位向量,表示与同向的单位向量,
所以·=1×1×cos ∠CAB=,又∠CAB∈(0,),所以∠CAB=,
所以△ABC是等腰直角三角形.
(2)选B.如图所示建立平面直角坐标系,
设E(x,0)(x∈[0,2]),显然M(2,1),C(2,2),
所以=(2-x,1),=(2-x,2) ·=(x-2)2+2,
由二次函数的单调性知当x∈[0,2]时,(x-2)2+2∈[2,6].
(3)以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,
所以A(0,0),B(6,0),C(6,6),D(0,6),F(6,4),E(3,0),设P(x,y),=(x,y),
=(6,4),=(x-3,y),=(3,6).
由点A,P,F和点C,P,E分别共线,得所以
所以S四边形APCD=S正形ABCD-S△AEP-S△CEB=36-×3×3-×3×6=.
【类题通法】
1.向量法证明平面几何中AB⊥CD的法
法一:①选择一组向量作基底;
②用基底表示和;
③证明·的值为0;
④给出几何结论AB⊥CD.
法二:先求,的坐标,=(x1,y1),=(x2,y2),再计算·的值为0,从而得到几何结论AB⊥CD.
2.用向量法证明平面几何中AB∥CD的法
法一:①选择一组向量作基底;
②用基底表示和;
③寻找实数λ,使=λ,即∥;
④给出几何结论AB∥CD.
法二:先求,的坐标,=(x1,y1),=(x2,y2).利用向量共线的坐标关系x1y2-x2y1=0得到∥,再给出几何结论AB∥CD.以上两种法,都是建立在A,B,C,D中任意三点都不共线的基础上,才有∥得到AB∥CD.
【定向训练】
四边形ABCD中,=,(+)·(-)=0,则这个四边形是( )
A.菱形 B.矩形
C.正形 D.等腰梯形
【解析】选A.由题意,=即|AD|=|BC|,且AD∥BC,故四边形ABCD为平行四边形,
又(+)·(-)=·=0,故AC⊥BD,即四边形ABCD为菱形.
探究点二 平面向量在物理中的应用
【典例2】(1)一物体在力F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5).在这个过中三个力的合力所做的功等于 .
(2)如图所示,一条河的两岸平行,河的宽度d=500 m,一艘船从A点出发航行到河对岸,船航行速度的大小为|v1|=10 km/h,水流速度的大小为|v2|=4 km/h,设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°).
①当cos θ多大时,船能垂直到达对岸
②当船垂直到达对岸时,航行所需时间是否最短 为什么
【思维导引】(1)求出合力、位移的坐标表示
→利用数量积求功
(2)①由题意,船的实际速度v=v1+v2且与v2垂直,即(v1+v2)·v2=0,根据数量积的定义即可求解;
②设船航行到对岸所需的时间为t h,则t==,比较θ=90°和sin θ=两种情况即可求解.
【解析】(1)因为F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1),所以合力F=F1+F2+F3=(8,-8),=(-1,4),则F·=-1×8-8×4=-40,
即三个力的合力所做的功为-40.
答案:-40
(2)①船垂直到达对岸,即船的实际速度v=v1+v2且与v2垂直,即(v1+v2)·v2=0,
所以v1·v2+=0,即|v1||v2|cos θ+=0,
所以40cos θ+16=0,解得cos θ=-;
②设船航行到对岸所需的时间为t h,则t===(h),
所以当θ=90°时,船的航行时间最短为 h,
而当船垂直到达对岸时,由①知sin θ=,
所需时间t===(h),
>,
故当船垂直到达对岸时,航行所需时间不是最短.
【类题通法】
向量在物理中的应用
(1)求力向量、速度向量常用的法:一般是向量几何化,借助于向量求和的平行四边形法则求解.
(2)用向量法解决物理问题的步骤:
①表示:把物理问题中的相关量用向量表示;
②转化:转化为向量问题的模型,通过向量运算使问题解决;
③还原:结果还原为物理问题.
【定向训练】
1.如图为某种礼物降落伞的示意图,其中有8根绳子和伞面连接,每根绳子和水平面的法向量的夹角均为30°.已知礼物的质量为1 kg,每根绳子的拉力大小相同,则降落伞在匀速下落的过中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取9.8 m/s2)最接近( )
A.1.4 N B.1.5 N
C.1.6 N D.1.8 N
【思维导引】设每根绳子上的拉力大小为T,根据平衡条件列式求解即可.
【解析】选A.设每根绳子上的拉力大小为T,则根据平衡条件可得,8T·cos 30°=mg,
解得T==≈1.4(N).所以降落伞在匀速下落的过中每根绳子拉力的大小约为1.4 N.
2.小娟、小明两个人共提一桶水匀速前进,已知水和水桶总重力为G,两人手臂上的拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ,下列结论中正确的是 ( )
A.θ越小越费力,θ越大越省力
B.始终有|F1|=|F2|=
C.当θ=时,|F1|=|G|
D.当θ=时,|F1|=|G|
【解析】选C.根据题意,由于F1+F2=G,又由|F1|=|F2|,
则以向量F1,F2为邻边的四边形为菱形,
则有|F1|=|F2|=,θ∈[0,π],
对于A,由于|G|不变,则θ越小越省力,θ越大越费力,A错误;
对于B,|F1|=|F2|=,B错误;
对于C,当θ=时,|F1|=|F2|==|G|,C正确;
对于D,当θ=时,|F1|=|F2|==|G|,D错误.
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1.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以A,B,C,D为顶点的四边形是 ( )
A.梯形
B.邻边不相等的平行四边形
C.菱形
D.两组对边均不平行的四边形
【解析】选B.因为=(8,0),=(8,0),所以=,因为=(4,-3),所以||=5,而||=8,故为邻边不相等的平行四边形.
2.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=0.6 km,一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB=1 km,水的流速为2 km/h,若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6 min,则客船在静水中的速度为 ( )
A.6 km/h B.8 km/h
C.2 km/h D.10 km/h
【解析】选A.设客船在静水中的速度大小为v1 km/h,水流速度为v2 km/h,则|v2|=2 km/h,
则船实际航行的速度v=v1+v2,t==0.1 h,
由题意得|v|==10 km/h.
把船在静水中的速度正交分解为v1=vx+vy,
即|vy|===6 km/h,
因为|vx+v2|==8 km/h,而vx与v2同向,
即|vx+v2|=|vx|+|v2|,
所以|vx|=8-2=6 km/h,
所以|v1|==6 km/h.
3.坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处,其所用时间为 .
【解析】设所用时间为t,则=tv,
即(3,6)=t(1,2),所以t=3.
答案:3
4.平面上三个力F1,F2,F3作用于一点且处于平衡状态,|F1|=1 N,|F2|= N,F1与F2的夹角为45°,则F3的大小为 .
【解析】由题意得F3=-(F1+F2),所以|F3|=|-(F1+F2)|=
==(N).
答案: N
5.设P,Q分别是梯形ABCD的对角线AC与BD的中点.
(1)试用向量证明:PQ∥AB;
(2)若AB=3CD,求PQ∶AB的值.
【解析】(1)因为Q为BD中点,所以+=
2,又P为AC中点,所以=2;
所以2=2-2=(+)-=++=+,
又向量与共线,设向量=λ,则2=(1+λ),所以=①,
又梯形ABCD中,||≠||,所以λ≠-1,所以∥,即PQ∥AB;
(2)因为向量与反向,且||=3||;
所以=-3,即λ=-代入①式,得==,所以PQ∶AB=.
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