第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题
素养目标 思维导图
能够运用余弦定理、正弦定理等知识和法解决测量中的距离问题.(数学建模)
课前自主学习
问题.在实践中,我们经常会遇到测量距离等实际问题.具体测量时,如何处理“不能到达”的距离问题
提示:需要设计恰当的测量案.分析题已知条件,这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量案,而且是这种情境与条件限制下的恰当案.
【核心概念】
实际测量问题中的常用角
(1)仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上的角叫仰角,在水平线下的角叫俯角(如图(1)).
(2)位角
指从正北向顺时针转到目标向线的水平角,如B点的位角为α(如图(2)).
(3)向角
相对于某正向的水平角,如北偏东45°,南偏西30°(或西偏南60°)等(如图(3)).
(4)坡角与坡度
坡面与水平面所成的二面角叫坡角,坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度(tan α=)(如图(4)).
课堂合作探究
探究点一 测量一个可到达点与不可到达的点之间的距离
【典例1】如图,一智能扫地机器人在A处发现位于它正西向的B处和北偏东30°向上的C处分别有需要清扫的垃圾,红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4 m,于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2 m/s,忽机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间,10 s完成了清扫任务.
(1)求B,C两处垃圾之间的距离;(精确到0.1 m)
(2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值.
【思维导引】(1)设BC=x,则得到AB,AC,由余弦定理求得x,得到答案;
(2)由余弦定理求出夹角B的余弦值.
【解析】(1)由题意得AB+BC=0.2×10=2,
设BC=x,0
由题意得A=90°+30°=120°.
在△ABC中,由余弦定理得
cos A=
==-,
解得x=1.4或5.2(舍去),所以BC=1.4(m).
(2)由(1)知AB=2-1.4=0.6(m),AC=2.4-1.4=1(m),BC=1.4 m.
所以cos B===.
【类题通法】
求距离问题时应注意的两点
(1)定三角形:选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)依条件选定理:确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
【定向训练】
一艘轮船在江中向正东向航行,在点P处观测到灯塔A,B在一条直线上,并与航线成30°角.轮船沿航线前进1 000米到达C处,此时观测到灯塔A在北偏西45°向,灯塔B在北偏东15°向.则此时轮船到灯塔B的距离CB为 米.
【思维导引】在△PCB中,利用条件得到∠BPC=30°,∠PBC=45°,PC=1 000米,再利用正弦定理建立,即可求出结果.
【解析】在△PCB中,∠BPC=30°,∠PBC=180°-30°-105°=45°,PC=1 000米,
由正弦定理得=,即=,所以CB=500米.
答案:500
探究点二 测量都不可到达的两个点之间的距离
【典例2】(规范解答)
(15分)如图,某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A,B之间的距离,她在西江南岸找到一点C,从C点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点可以观察到点B,C.测量得到数据:∠ACD=90°,∠ADC=60°,∠ACB=15°,∠BCE=105°,∠CEB=45°,DC=CE=1.
(1)求△CDE的面积;
(2)求A,B之间的距离.
【思维导引】(1)可求得∠DCE=150°,再利用面积公式即可求出;
(2)先在Rt△ACD中求出|AC|,再在△BCE中利用正弦定理求出|BC|,再在△ABC中利用余弦定理即可求出|AB|.
【解析】(1)∠DCE=360°-90°-15°-105°=150°,
3分
所以S△CDE=×|CD|×|CE|×sin150°=×1×1×=; 6分
(2)连接AB(图),由题可得在Rt△ACD中,|AC|=|DC|·tan∠ADC=1×tan60°=,
8分
在△BCE中,∠CBE=180°-105°-45°=30°,
由正弦定理可得=,
即=,解得|BC|=, 10分
因为cos15°=cos(60°-45°)
=cos60°cos45°+sin60°sin45°=, 12分
则在△ABC中,由余弦定理可得|AB|2=()2+()2-2=2-, 14分
所以|AB|=. 15分
【类题通法】
解三角形的注意事项
(1)确定已知和所求:根据三角形已知的边长和角,明确要求的边长或角,灵活运用正弦定理或余弦定理计算.
(2)注意特殊情形:优先运用直角三角形中的边长和角,记住特殊角的三角函数值,能计算sin 75°=,sin 15°=等.
【定向训练】
马尔代夫群岛是世界上风景最优美的群岛之一.如图所示,为了测量A,B两座岛之间的距离,小船从初始位置C出发,已知A在C的北偏西45°的向上,B在C的北偏东15°的向上,现在船往东航行2百海里到达E处,此时测得B在E的北偏西30°的向上,船再到C处后,由C向西航行2百海里到达D处,测得A在D的北偏东22.5°的向上,则A,B两座岛之间的距离为 百海里.
【思维导引】根据题意,利用位角分别求得三角形中各个角的大小,在△BCE和△ADC中,应用正弦定理求得BC,AC的长,再在△ABC中,利用余弦定理,即可求解.
【解析】如图所示,设CF为正北向,由题意得∠ACF=45°,CD=2百海里,∠ADC=∠DAC=67.5°,∠ACB=60°,CE=2百海里,∠BCE=75°,∠CBE=45°,∠CEB=60°.在△BCE中,由正弦定理得=,可得BC==.在△ADC中,因为∠ADC=∠DAC=67.5°,所以DC=AC=2百海里.
在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 60°=24+6-2×2=18,
所以AB=3百海里,即A,B两座岛之间的距离为3百海里.
答案:3
探究点三 有关距离的综合问题
【典例3】(1)如图,位于某海域A处的甲船获悉,在其北偏东60°向C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15°且与甲船相距 n mile的B处的乙船,已知遇险渔船在乙船的正东向,那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为( )
A. n mile B.2 n mile
C.2 n mile D.3 n mile
【思维导引】由正弦定理即可求出BC的值.
【解析】选B.由题意知,AB= n mile,∠BAC=45°,∠BCA=30°,
由正弦定理得,=,
所以BC=sin∠BAC=sin 45°=2 n mile.
故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为2 n mile.
(2)在一段直的河岸同侧有A,B两个村庄,相距5 km,A,B两村距河岸的距离分别为3 km,6 km,现要在河边修一抽水站,需8.25万元(含设备购置费和人工费),管道铺设费为24.5元/米.现由政府拨款30万元.请你设计一个案并说明A,B两村是否还需自筹资金.(参考数据:≈8.06,≈9.85,≈3.28)
【思维导引】这类涉及选点问题通常会考虑建立坐标系,写出各点的坐标及点A关于x轴的对称点A',即可求得最小值及所需费用,再结合实际即可计算出是否需要自筹资金.
【解析】案的设计如下:
如图,建立平面直角坐标系,A(0,3).
由AB=5 km,BF=6 km,得B点坐标为(4,6).
点A关于x轴的对称点A'(0,-3),连接A'B交x轴于C.由平面几何知识可知,当抽水站建在点C处时,铺设的管道最短.
因为AC+BC=A'B,所以A'B==≈9.85(km),
所以铺设管道所需资金约为≈24.14(万元),
所以总费用为8.25+24.14=32.39(万元).
32.39-30=2.39(万元),
即A,B两村需自筹资金约2.39万元.
【类题通法】
距离相关问题的解题技巧
(1)数形结合:在航行等距离相关的问题中,通常是把位角(向角)与几何图形结合起来,求出几何图形的有关角.
(2)转化:几何图形的应用是解决实际问题的重要辅助手段,一是从图形的完整性面画出图形;二是把多边形向解三角形转化.
【定向训练】
某农户有一块三角形空地ABC,如图所示.该农户想要围出一块三角形区域ABD(点D在BC上)用来养一些家禽,经专业测量得到AB=3,cos B=.
(1)若cos∠ADC=-,求AD的长;
(2)若BD=2DC,=4,求△ADC的周长.
【思维导引】(1)在△ABD中应用正弦定理得出AD的长;
(2)由=2结合面积公式得出AC,再由余弦定理得出BC,AD,进而得出△ADC的周长.
【解析】(1)在△ABC中,cos B=,且B∈(0,π),所以sin B=.
因为cos∠ADC=-,∠ADC∈(0,π),
所以sin∠ADB=.
在△ABD中,由正弦定理可得=,
所以AD===4.
(2)因为BD=2DC,所以=2,
所以=2,
即=·=2,可得AC=6.
在△ABC中,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,所以BC2-2BC-63=0,
解得BC=9或BC=-7(舍去).
因为BD=2DC,所以BD=6,DC=3.
在△ABD中,由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosB=33,
所以△ADC的周长为3+6+.
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1.为测一河两岸相对两电线杆A,B间的距离,在距A点12米的C处(AC⊥AB)测得∠ACB=30°,则A,B间的距离应为 ( )
A.6米 B.4米 C.6米 D.12米
【解析】选B.在△ABC中,A=90°,∠ACB=30°,由tan 30°=,得AB=ACtan 30°=4(米).
2.某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召,大力开展“青山绿水”工,造福于民,拟对该地某湖泊进行治理,在治理前,需测量该湖泊的相关数据.如图所示,测得∠C=120°,BC=40米,AC=60米,则A,B间的直线距离约为 ( )
A.60米 B.130米 C.150米 D.300米
【解析】选B.由题设,在△ABC中,由余弦定理得,AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C=12 400+2 400,所以AB≈130米.
3.一只船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75°距灯塔64海里的M处,下午2时到达这座灯塔东南向的N处,则这只船航行的速度是(单位:海里/时) ( )
A.32 B.8 C.32 D.8
【解析】选B.由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°.
在△PMN中,由正弦定理得,MN=64×=
32(海里).
又由M到N所用时间为14-10=4(时),
所以船的航行速度v=8(海里/时).
4.已知A船在灯塔C北偏东80°向上,且A到C的距离为2 km,B船在灯塔C北偏西40°向上,A,B两船的距离为3 km,则B到C的距离为 km.
【思维导引】根据题中边角关系,再利用余弦定理求解即可.
【解析】由条件知,∠ACB=80°+40°=120°,设BC=x km,则由余弦定理知9=x2+4-4xcos 120°,因为x>0,所以x=-1.
答案:(-1)
5.如图,小刚同学从楼顶A处看楼下公园的湖边D处的俯角为65°,看另一边B处的俯角为25°,楼高AC为25米,则楼下公园的湖宽BD约为 米.(结果精确到1米,参考数据:sin 25°≈0.42,tan 25°≈0.47,sin 65°≈0.91,tan 65°≈2.14)
【解析】由题意,得∠ADC=65°,∠ABC=25°.在Rt△ADC中,AC=25米,所以tan 65°=,所以CD=≈≈11.68(米),在Rt△ACB中,tan 25°=≈0.47,则BC≈53.19米,所以BD=BC-CD≈42(米),所以湖宽BD约为42米.
答案:42
课时巩固请使用 课时素养检测 十三(共21张PPT)
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第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题
素养目标 思维导图
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和法解决高度测量、角度测量的问题.(数学建模)
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探究点一 计算高度
【典例1】 滕王阁,江南三大名楼之一,位于江西省南昌市,滕王阁分为上部主体建筑和下部象征古城墙的高台座,始建于唐朝永徽四年,因唐太宗李世民之弟滕王李元婴始建而得名,因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而流芳后世.如图,为了测量滕王阁的高度,选取了与该阁底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=23°,∠CDB=30°,CD=111.2 m,在C点测得滕王阁顶端A的仰角为45°,则滕王阁的高AB约为(参考数据:sin 53°≈0.8)( )
A.69.5 m B.68.8 m
C.70.2 m D.71.5 m
√
【思维导引】在△BCD中,利用正弦定理求出BC,再借助给定的仰角计算作答.
【解析】选A.在△BCD中,∠BCD=23°,∠CDB=30°,则∠CBD=180°-23°-30°=127°.
由正弦定理=,
得BC===≈69.5(m),由在C点测得滕王阁顶端A的仰角为45°,得AB=BC≈69.5 m,
所以滕王阁的高AB约为69.5 m.
【类题通法】
计算高度的注意事项
(1)区分角的概念:解决有关高度问题时,正确理解仰角、俯角是关键.
(2)空间向平面转化:在实际问题中,当研究空间与平面(地面)的问题时,通常画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,把空间问题转化为平面问题,明确三角形中的边长和角度,确定应用正弦定理或余弦定理计算.
【定向训练】 如图,在山脚A测得山顶P的仰角为30°,沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B,在B处测得山顶P的仰角为60°,则山高PQ= ( )
A.a米 B.米 C.a米 D.a米
【思维导引】设∠QAP=α=30°,∠QAB=β=15°,∠CBP=γ=60°,在△PAB中,∠PAB=α-β=15°,∠BPA=(-α)-(-γ)=γ-α=30°,
由正弦定理可求PB,根据PQ=PC+CQ=PB·sin γ+asin β可得结果.
√
【解析】选C.设∠QAP=α=30°,∠QAB=β=15°,
∠CBP=γ=60°.
在△PAB中,∠PAB=α-β=15°,
∠BPA=(-α)-(-γ)=γ-α=30°,
所以=,所以PB=a.
所以PQ=PC+CQ=PB·sin γ+asin β
=a×sin 60°+asin 15°=a(米).
探究点二 计算角度
【典例2】(规范解答)
(15分)一艘海轮从A出发,沿北偏东70°的向航行(-1)n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东10°的向航行2 n mile到达海岛C.
(1)求AC的长.
(2)如果下次航行直接从A出发到达C,应沿什么向航行多少海里
【思维导引】(1)根据题中示意图,确定好题目中给出的长度和角度;选用余弦定理求解AC的长度,完成计算.
(2)利用求出的AC的长度以及相关条件,选用正弦定理完成∠CAB的求解,进而得答案.
【解析】(1)由题意知,在△ABC中,∠ABC=180°-70°+10°=120°,AB=-1,BC=2,…………3分
根据余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC=+4+2(-1)=6,
………………………………………………………………………………………………6分
所以AC= n mile. …………………………………………………………………………7分
(2)根据正弦定理可得=,
即sin∠CAB=sin∠ABC===, ……………………………………………………10分
又BC所以应沿北偏东25°的向航行 n mile即可到达C处. …………………………………15分
【类题通法】
解决测量角度问题的注意事项
(1)确定角的范围:首先应明确“位角”或“向角”的含义,位角大小的范围是[0,2π),向角大小的范围是(0,].
(2)审题:分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步.
(3)转化:将实际问题转化为可用数学法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.
【定向训练】
(2025·唐山高一检测)如图所示,有一艘缉毒船正在A处巡逻,发现在北偏东75°向、距离为60海里的B处有毒贩正驾驶小船以每小时15(-1)海里的速度往北偏东15°的向逃跑,缉毒船立即驾船以每小时15海里的速度前往缉捕.
(1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕;
(2)试确定缉毒船的行驶向.
【解析】(1)设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕,
由题意可知∠ABC=180°-75°+15°=120°,AB=60,AC=15t,BC=15(-1)t,
由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos ∠ABC,
即=602+-2×60×15(-1)t×(-),
整理可得(t-2)[(+1)t+4]=0,解得t=2,
所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕.
(2)由(1)可知∠ABC=120°,AB=60,AC=30,BC=30(-1),
由正弦定理=,
可得sin ∠ACB===,且∠ACB为锐角,则∠ACB=45°,可得∠BAC=180°-120°-45°=15°,
所以缉毒船的行驶向为北偏东75°-15°=60°.
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1.某飞机在空中沿水平向飞行,飞行至A处,飞行员观察地面目标C,测得俯角为30°,继续飞行800(单位:米)至B处观察目标C,测得俯角为60°.已知A,B,C在同一个铅垂平面内,则该飞机飞行的高度为( )
A.400米 B.400米
C.800米 D.800米
【解析】选B.如图,过点C作CD⊥AB于点D,
因为∠A=30°,∠CBD=60°,
所以∠ACB=∠CBD-∠A=30°,
所以BC=AB=800米,在Rt△BDC中,CD=BCsin 60°=800×=400(米).
√
2.甲船在A处,乙船在甲船北偏东60°向的B处,甲船沿北偏东θ向匀速行驶,乙船沿正北向匀速行驶,且甲船的航速是乙船航速的倍,为使甲船与乙船能在某时刻相遇,则( )
A.15°<θ<30° B.θ=30°
C.30°<θ<45° D.θ=45°
【解析】选A.设甲船与乙船的相遇点为C,据题意,∠ABC=120°,AC=BC.
在△ABC中,由正弦定理,有=,则=,所以sinA==.
因为<<,A∈(0,),则√
3.启东中学天文台是启中校园的标志性建筑.小明同学为了估算学校天文台的高度,测得学校宿舍楼AB高为(15-5) m,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,天文台顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得天文台顶C的仰角为30°,假设AB,CD和点M在同一平面内,则小明估算学校天文台的高度为( )
A.20 m B.30 m
C.20 m D.30 m
√
【解析】选B.由题意AM=,sin15°=sin(45°-30°)=
sin45°cos30°-cos45°sin30°=-=,所以AM==10 m,
在△AMC中,∠AMC=180°-60°-15°=105°,∠CAM=30°+15°=45°,
所以∠ACM=180°-105°-45°=30°,
由=,得=,
CM==20 m,所以CD=CMsin60°=20=30 m.
4.某人在点C处测得某塔底B在南偏西80°向,塔顶A的仰角为45°,此人沿南偏东40°向前进10 m到D处,测得塔顶A的仰角为30°,则塔高为 .
【解析】由题意作出图形,如图所示,设塔高AB=h m,
在Rt△ABC中,∠ACB=45°,则BC=AB=h m.在Rt△ABD中,
∠ADB=30°,则BD=h m.
在△BCD中,∠BCD=80°+40°=120°,CD=10 m,
由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD,
即=h2+102-2h·10cos 120°,整理得h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5(舍去).
答案:10 m
5.如图,一船运载着物资由西向东航行,在A处测得某岛M的位角为α,前进5 km后到达B处,测得岛M的位角为β.已知该岛周围3 km内有暗礁,现该船继续东行.
(1)若α=2β=60°,该船有无触礁危险
(2)当α与β满足什么条件时,该船没有触礁的危险
【解析】(1)在△ABM中可知,AB=BM=5,从而MC=5sin 60°=>3,没有触礁危险.
(2)设CM=x,则BM=,∠AMB=α-β,
在△ABM中,由正弦定理得=,
即=,解得x=,所以当>3时没有触礁危险.第2课时 正弦定理
素养目标 思维导图
1.通过对任意三角形的边长与角度关系的探索掌握正弦定理.(数学抽象) 2.能解决一些简单的三角形度量问题.(数学运算)
课前自主学习
问题1.在直角三角形中,边与角的关系:,,是否相等且为定值并说出理由.
提示:如图,直角三角形ABC中,C=90°,c=2R,R为△ABC外接圆的半径,显然有===2R(定值).
问题2.在锐角或钝角三角形中,边与角的关系:,,是否相等且为定值并说出理由.
提示:如图,设锐角三角形的外接圆的半径为R,直径为CD=2R,连接BD,∠A=∠D,∠CBD=90°,
所以==CD=2R,
同理=2R,=2R.
得===2R(定值),
同理,在钝角三角形中,上述等式仍然成立.
【核心概念】
1.正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即===2R.(R为三角形外接圆的半径)
2.正弦定理的变形公式
由正弦定理,可以得到如下推论(变形公式):
(1)边化角公式:a=2Rsin A;b=2Rsin B;c=2Rsin C.
(2)角化边公式:sin A=;sin B=;sin C=.
课堂合作探究
探究点一 利用正弦定理解三角形
【典例1】(1)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b=2,sin A=,则cos B= ( )
A. B.- C. D.±
(2)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tan B=1,a=,b=3.
①求sin A;②求cos(2A-B);③求c的长.
【思维导引】(1)根据题意,由正弦定理代入计算,即可得到结果.
(2)①由正弦定理及同角三角函数的基本关系求解;②由两角差的余弦及二倍角公式求解;③由正弦定理求解即可.
【解析】(1)选A.由正弦定理知,=,则sin B=.
因为b(2)①因为tan B=1,0②因为sin A=且a所以cos(2A-B)=cos 2Acos B+sin 2Asin B=+=.
③因为sin C=sin(π-B-A)=sin(+A)=
(cos A+sin A)==,
由正弦定理=,可得c===2+1.
【类题通法】
利用正弦定理解三角形的注意事项
(1)如果已知三角形的两角和一边解三角形,那么通常运用正弦定理计算.
(2)注意三角形中大边对大角,大角对大边的关系以及应用.
提醒:注意已知三角形两边和一边的对角解三角形,三角形可能有0个解或1个解或2个解.解决此类问题通常运用数形结合法.
【定向训练】
1.(多选)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件判断三角形的情况,则正确的是 ( )
A.b=19,A=45°,C=30°,有两解
B.a=,b=2,A=45°,有两解
C.a=3,b=2,A=45°,只有一解
D.a=7,b=7,A=75°,只有一解
【解析】选CD.对于A,因为A=45°,C=30°,则B=105°,由正弦定理==,
得a=,c=,显然有唯一结果,即只有一解,A错误;对于B,a=,b=2,A=45°,
由正弦定理得sin B===>1,无解,B错误;对于C,a=3,b=2,A=45°,有a>b,则B2.已知△ABC中,a=2,c=2,A=45°,解三角形.求B,C,b.
【解析】因为a=2,c=2,A=45°,
所以由正弦定理=,
得sin C==,
又0°当C=60°时,B=75°,sin 75°=,
b==+;
当C=120°时,B=15°,sin 15°=,
b==-.
探究点二 利用正弦定理判断三角形的形状
【典例2】(1)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin 2A+csin A=sin Asin B+bsin C,则该三角形的形状一定是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.锐角三角形
(2)(一题多解)
在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sin C,试判断△ABC的形状.
【思维导引】(1)根据正弦定理将条件sin 2A+csin A=sin Asin B+bsin C化简求解.
(2)法一:根据条件,判断三角形三边的关系,此时需要化角为边;法二:可以把角和边巧妙地结合起来,同时考虑边之间的关系,角之间的关系.
【解析】(1)选C.因为sin 2A+csin A=sin Asin B+bsin C,由正弦定理===2R(2R为△ABC外接圆的直径),
可得·sin A+·c=·sin A+b·,
所以a(sin A+c)=b(sin A+c).
又因为sin A+c>0,所以a=b.即△ABC为等腰三角形.
(2)法一:由正弦定理得=,
因为2cos Asin B=sin C,所以cos A==,
由余弦定理的推论得cos A=,
所以=,化简得b2+c2-a2=c2,所以a=b;又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以(a+b)2-c2=3ab,化简得4b2-c2=3b2,所以b=c,所以a=b=c,即△ABC是等边三角形.
法二:因为A+B+C=π,所以sinC=sin(A+B),
又2cos Asin B=sin C,
所以2cos Asin B=sin(A+B),
所以2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,
所以sin Acos B-cos Asin B=0,所以sin(A-B)=0,
因为A,B∈(0,π),所以A-B∈(-π,π),所以A=B,
又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,
所以(a+b)2-c2=3ab,即a2+b2-c2=ab,
由余弦定理的推论得cos C===,
又C∈(0,π),所以C=,又A=B,
所以△ABC是等边三角形.
【类题通法】
判断三角形形状的常用法及步骤
(1)法:化边为角或化角为边.
(2)步骤:第一步,将题目中的条件,利用正弦定理或余弦定理化边为角或化角为边.
第二步,根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系或三边的关系,进而确定三角形的形状.
【定向训练】
(一题多解)
已知△ABC中,acos B=bcos A,则该三角形的形状为 .
【解析】法一:因为acos B=bcos A,由正弦定理得,sin Acos B=sin Bcos A,
即sin Acos B-sin Bcos A=0,所以sin (A-B)=0,因为A,B是三角形的内角,所以A=B,所以△ABC为等腰三角形.
法二:因为acos B=bcos A,
所以a×=b×,
整理得:a2=b2,即a=b,
所以△ABC为等腰三角形.
答案:等腰三角形
探究点三 正弦、余弦定理的综合应用
【典例3】(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知bcos C=(2a-c)cos B.
①求角B的大小;
②设a=2,c=3.
(i)求b的值;
(ii)求sin (2A-B)的值.
(2)(一题多解)
已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin A-sin(B+π)=,且C=.
①求sin B的值;
②若b=4,且B>,求△ABC的面积.
【思维导引】(1)①由正弦定理进行边角互化,再运用正弦的和角公式求得cos B,根据角B的范围可求得答案;
②(i)运用余弦定理求得b;(ii)再运用正弦定理求得sin A,利用同角三角函数间的关系、二倍角公式以及两角差的正弦公式可求得答案.
(2)①由sin A=sin(B+C)得到,求出sin B的值;
②法一:求出cos B的值,利用正弦定理得到c的值,使用sin A=sin(B+C)得到sin A,利用三角形面积公式求出答案;
法二:求出cos B的值,利用正弦定理得到c的值,使用余弦定理得到a的值,利用三角形面积公式求出答案.
【解析】(1)①因为bcos C=(2a-c)cos B,
由正弦定理可得sin Bcos C=2sin Acos B-sin Ccos B,则sin (B+C)=2sin Acos B,
因为在△ABC中,A+B+C=π,
所以sin (B+C)=sin (π-A)=sin A,则有sin A=2sin Acos B,因为A,B∈(0,π),所以sin A≠0,cos B=,故B=;
②(i)由①知B=,在△ABC中,因为a=2,c=3,
由余弦定理可得:b2=a2+c2-2accos B=4+9-2×2×3×=7,解得b=.
(ii)在△ABC中,由正弦定理可得:=,
即=,所以sin A==,
因为a所以sin (2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=-=.
(2)①因为A+B+C=π,
所以由题意得sin(B+)-sin(B+π)=,
所以(sin B+cos B)-(-sin B+cos B)=,解得sin B=.
②法一:因为B>,由①可知cos B=-=-,
在△ABC中,由正弦定理得c==3,
因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,
所以sin A=,
所以△ABC的面积S=bcsin A=2-.
法二:因为B>,
由①可知cos B=-=-,
在△ABC中,由正弦定理,得c==3,
在△ABC中,由余弦定理,得cos C=,
所以=,解得a=2±,
因为B>,所以b>a,所以a=2-,
所以△ABC的面积S=absin C=2-.
【类题通法】
利用正、余弦定理解决三角形综合问题的常用思想法
(1)转化与化归思想:正弦定理和余弦定理从不同的面反映了三角形中的边角关系,揭示了三角形中元素间的内在联系,解题时一定要注意正弦、余弦定理的结合,可对边角相互转化.
(2)函数与思想:解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题,应注意根据具体情况引入未知数,运用函数与思想来解决问题.
【定向训练】
(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab.
(1)求B;
(2)若△ABC的面积为3+,求c.
【解析】(1)由余弦定理可得:cos C==,因为C∈(0,π),所以C=,所以cos B=sin C=,即cos B=,
因为B∈(0,π),所以B=.
(2)由(1)可得A=π-B-C=π,设△ABC外接圆的半径为R,
由正弦定理可得:===2R,所以b=R,c=R,
所以S△ABC=bcsin A=·R·R·=3+,解得 R=2,所以c=2.
课堂学业达标
1.在△ABC中,a=b,A=120°,则角B的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选A.由正弦定理=得=,sin B=,因为A=120°,得B=30°.
2.设△ABC的三边分别为a,b,c,若a2+b2=c2-ab,c=1,则△ABC的外接圆半径为 ( )
A. B. C. D.2
【解析】选A.因为a2+b2=c2-ab,可得:a2+b2-c2=-ab,所以cos C===-,
因为C∈(0,π),所以C=,
因为c=1,设△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理可得2R===,解得R=.
3.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
【解析】选B.在△ABC中,a=bsin A,由正弦定理,得=b=,则sin B=1,即角B为直角,故△ABC是直角三角形.
4.(2021·国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b= .
【解析】S△ABC=acsin B=ac=,所以ac=4.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=3ac-ac=2ac=8,所以b=2.
答案:2
5.在△ABC中,若A=45°,a=,则= .
【解析】因为A=45°,a=,
所以=====2.
答案:2
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课前自主学习
课堂合作探究
课堂学业达标
第2课时 正弦定理
素养目标 思维导图
1.通过对任意三角形的边长与角度关系的探索掌握正弦定理. (数学抽象) 2.能解决一些简单的三角形度量问题.(数学运算)
课前自主学习
问题1.在直角三角形中,边与角的关系:,,是否相等且为定值并说出理由.
提示:如图,直角三角形ABC中,C=90°,c=2R,R为△ABC外接圆的半径,显然有===2R(定值).
问题2.在锐角或钝角三角形中,边与角的关系:,,是否相等且为定值并说出理由.
提示:如图,设锐角三角形的外接圆的半径为R,直径为CD=2R,连接BD,∠A=∠D,∠CBD=90°,
所以==CD=2R,
同理=2R,=2R.
得===2R(定值),
同理,在钝角三角形中,上述等式仍然成立.
【核心概念】
1.正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即===2R.(R为三角形外接圆的半径)
2.正弦定理的变形公式
由正弦定理,可以得到如下推论(变形公式):
(1)边化角公式:a=2Rsin A;b=2Rsin B;c=2Rsin C.
(2)角化边公式:sin A=;sin B=;sin C=.
课堂合作探究
探究点一 利用正弦定理解三角形
【典例1】(1)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=3,b=2,sin A=,则cos B= ( )
A. B.- C. D.±
(2)已知△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tan B=1,a=,b=3.
①求sin A;②求cos(2A-B);③求c的长.
【思维导引】(1)根据题意,由正弦定理代入计算,即可得到结果.
(2)①由正弦定理及同角三角函数的基本关系求解;②由两角差的余弦及二倍角公式求解;③由正弦定理求解即可.
【解析】(1)选A.由正弦定理知,=,则sin B=.
因为b(2)①因为tan B=1,0②因为sin A=且a所以cos(2A-B)=cos 2Acos B+sin 2Asin B=+=.
③因为sin C=sin(π-B-A)=sin(+A)=
(cos A+sin A)==,
由正弦定理=,可得c===2+1.
【类题通法】
利用正弦定理解三角形的注意事项
(1)如果已知三角形的两角和一边解三角形,那么通常运用正弦定理计算.
(2)注意三角形中大边对大角,大角对大边的关系以及应用.
提醒:注意已知三角形两边和一边的对角解三角形,三角形可能有0个解或1个解或2个解.解决此类问题通常运用数形结合法.
【定向训练】
1.(多选)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,根据下列条件判断三角形的情况,则正确的是 ( )
A.b=19,A=45°,C=30°,有两解
B.a=,b=2,A=45°,有两解
C.a=3,b=2,A=45°,只有一解
D.a=7,b=7,A=75°,只有一解
√
√
【解析】选CD.对于A,因为A=45°,C=30°,则B=105°,由正弦定理==,
得a=,c=,显然有唯一结果,即只有一解,A错误;对于B,a=,b=2,A=45°,
由正弦定理得sin B===>1,无解,B错误;对于C,a=3,b=2,A=45°,有a>b,则B2.已知△ABC中,a=2,c=2,A=45°,解三角形.求B,C,b.
【解析】因为a=2,c=2,A=45°,
所以由正弦定理=,得sin C==,
又0°当C=60°时,B=75°,sin 75°=,b==+;
当C=120°时,B=15°,sin 15°=,b==-.
探究点二 利用正弦定理判断三角形的形状
【典例2】(1)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin 2A+csin A=sin Asin B+bsin C,则该三角形的形状一定是( )
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.锐角三角形
(2)(一题多解)
在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cos Asin B=sin C,试判断△ABC的形状.
【思维导引】(1)根据正弦定理将条件sin 2A+csin A=sin Asin B+bsin C化简求解.
(2)法一:根据条件,判断三角形三边的关系,此时需要化角为边;法二:可以把角和边巧妙地结合起来,同时考虑边之间的关系,角之间的关系.
【解析】(1)选C.因为sin 2A+csin A=sin Asin B+bsin C,由正弦定理===2R(2R为△ABC外接圆的直径),
可得·sin A+·c=·sin A+b·,
所以a(sin A+c)=b(sin A+c).
又因为sin A+c>0,所以a=b.即△ABC为等腰三角形.
(2)法一:由正弦定理得=,
因为2cos Asin B=sin C,所以cos A==,
由余弦定理的推论得cos A=,
所以=,化简得b2+c2-a2=c2,所以a=b;又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以(a+b)2-c2=3ab,化简得4b2-c2=3b2,所以b=c,所以a=b=c,即△ABC是等边三角形.
法二:因为A+B+C=π,所以sinC=sin(A+B),
又2cos Asin B=sin C,
所以2cos Asin B=sin(A+B),
所以2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B,
所以sin Acos B-cos Asin B=0,所以sin(A-B)=0,
因为A,B∈(0,π),所以A-B∈(-π,π),所以A=B,
又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,
所以(a+b)2-c2=3ab,即a2+b2-c2=ab,
由余弦定理的推论得cos C===,
又C∈(0,π),所以C=,又A=B,
所以△ABC是等边三角形.
【类题通法】
判断三角形形状的常用法及步骤
(1)法:化边为角或化角为边.
(2)步骤:第一步,将题目中的条件,利用正弦定理或余弦定理化边为角或化角为边.
第二步,根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系或三边的关系,进而确定三角形的形状.
【定向训练】
(一题多解)
已知△ABC中,acos B=bcos A,则该三角形的形状为 .
【解析】法一:因为acos B=bcos A,由正弦定理得,sin Acos B=sin Bcos A,
即sin Acos B-sin Bcos A=0,所以sin (A-B)=0,因为A,B是三角形的内角,所以A=B,所以△ABC为等腰三角形.
法二:因为acos B=bcos A,所以a×=b×,
整理得:a2=b2,即a=b,所以△ABC为等腰三角形.
答案:等腰三角形
探究点三 正弦、余弦定理的综合应用
【典例3】(1)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知bcos C=(2a-c)cos B.
①求角B的大小;
②设a=2,c=3.
(i)求b的值;
(ii)求sin (2A-B)的值.
(2)(一题多解)
已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sin A-sin(B+π)=,且C=.
①求sin B的值;
②若b=4,且B>,求△ABC的面积.
【思维导引】(1)①由正弦定理进行边角互化,再运用正弦的和角公式求得cos B,根据角B的范围可求得答案;
②(i)运用余弦定理求得b;(ii)再运用正弦定理求得sin A,利用同角三角函数间的关系、二倍角公式以及两角差的正弦公式可求得答案.
(2)①由sin A=sin(B+C)得到,求出sin B的值;
②法一:求出cos B的值,利用正弦定理得到c的值,使用sin A=sin(B+C)得到sin A,利用三角形面积公式求出答案;
法二:求出cos B的值,利用正弦定理得到c的值,使用余弦定理得到a的值,利用三角形面积公式求出答案.
【解析】(1)①因为bcos C=(2a-c)cos B,
由正弦定理可得sin Bcos C=2sin Acos B-sin Ccos B,则sin (B+C)=2sin Acos B,
因为在△ABC中,A+B+C=π,
所以sin (B+C)=sin (π-A)=sin A,则有sin A=2sin Acos B,因为A,B∈(0,π),所以sin A≠0,cos B=,故B=;
②(i)由①知B=,在△ABC中,因为a=2,c=3,
由余弦定理可得:b2=a2+c2-2accos B=4+9-2×2×3×=7,解得b=.
(ii)在△ABC中,由正弦定理可得:=,
即=,所以sin A==,
因为a所以sin (2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=-=.
(2)①因为A+B+C=π,
所以由题意得sin(B+)-sin(B+π)=,
所以(sin B+cos B)-(-sin B+cos B)=,解得sin B=.
②法一:因为B>,由①可知cos B=-=-,
在△ABC中,由正弦定理得c==3,
因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,
所以sin A=,所以△ABC的面积S=bcsin A=2-.
法二:因为B>,
由①可知cos B=-=-,
在△ABC中,由正弦定理,得c==3,
在△ABC中,由余弦定理,得cos C=,
所以=,解得a=2±,
因为B>,所以b>a,所以a=2-,
所以△ABC的面积S=absin C=2-.
【类题通法】
利用正、余弦定理解决三角形综合问题的常用思想法
(1)转化与化归思想:正弦定理和余弦定理从不同的面反映了三角形中的边角关系,揭示了三角形中元素间的内在联系,解题时一定要注意正弦、余弦定理的结合,可对边角相互转化.
(2)函数与思想:解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题,应注意根据具体情况引入未知数,运用函数与思想来解决问题.
【定向训练】
(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin C=cos B,a2+b2-c2=ab.
(1)求B;
(2)若△ABC的面积为3+,求c.
【解析】(1)由余弦定理可得:cos C==,因为C∈(0,π),所以C=,所以cos B=sin C=,即cos B=,
因为B∈(0,π),所以B=.
(2)由(1)可得A=π-B-C=π,设△ABC外接圆的半径为R,
由正弦定理可得:===2R,所以b=R,c=R,
所以S△ABC=bcsin A=·R·R·=3+,解得 R=2,所以c=2.
课堂学业达标
1.在△ABC中,a=b,A=120°,则角B的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选A.由正弦定理=得=,sin B=,因为A=120°,得B=30°.
√
2.设△ABC的三边分别为a,b,c,若a2+b2=c2-ab,c=1,则△ABC的外接圆半径为 ( )
A. B. C. D.2
【解析】选A.因为a2+b2=c2-ab,可得:a2+b2-c2=-ab,所以cos C===-,
因为C∈(0,π),所以C=,
因为c=1,设△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理可得2R===,解得R=.
√
3.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
【解析】选B.在△ABC中,a=bsin A,由正弦定理,得=b=,则sin B=1,即角B为直角,故△ABC是直角三角形.
√
4.(2021·国乙卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,B=60°,a2+c2=3ac,则b= .
【解析】S△ABC=acsin B=ac=,所以ac=4.由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B=3ac-ac=2ac=8,所以b=2.
答案:2
5.在△ABC中,若A=45°,a=,则= .
【解析】因为A=45°,a=,所以=====2.
答案:2(共27张PPT)
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课堂合作探究
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6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
素养目标 思维导图
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索掌握余弦定理.(数学抽象) 2.能解决一些简单的三角形度量问题.(数学运算)
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问题1.(1)在Rt △ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果C=90°,那么a,b,c的关系是 .
(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果c2=a2+b2,那么角C的度数为 .
提示:(1)c2=a2+b2 (2)90°
问题2.如图:
(1)如何用向量a,b表示c
提示:c=a-b.
(2)若已知|a|,|b|及cos C,如何表示|c|
提示:对式子c=a-b两边平得c2=a2+b2-2a·b,那么|c|2=|a|2+|b|2-2|a||b|cos C.
【核心概念】
1.余弦定理
三角形中任何一边的平等于其他两边平的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即a2=______________;
b2=______________;(第一种形式)
c2=______________.
b2+c2-2bccos A
a2+c2-2accos B
a2+b2-2abcosC
由余弦定理,可以得到如下推论(变形公式):
cos A=;
cos B=;(第二种形式)
cos C=.
2.解三角形
一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的______.已知三角形的
几个______求其他______的过叫做解三角形.
元素
元素
元素
课堂合作探究
探究点一 利用余弦定理计算边长
【典例1】(1)已知在△ABC中,A=,且c=2b=6,则角A所对边a的长度为 ( )
A.3 B.3 C.3 D.3
(2)(规范解答)
(13分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos Asin(B-)=cos C.
①求角A的大小;
②若a=2,求△ABC的周长的取值范围.
【思维导引】(1)由余弦定理求解.
(2)①根据两角差的正弦公式、两角和的余弦公式,结合同角的三角函数关系式进行求解即可;
②根据余弦定理,结合基本不等式、三角形两边之和大于第三边进行求解即可.
【解析】(1)选C.由余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccos A=32+62-2×3×6×=27,
所以a=3.
(2)①因为2cos Asin(B-)=cos C,
所以2cos A(sin Bcos -cosBsin)=-cos(A+B),………………………………………2分
所以cos Asin B-cos Acos B=-cos Acos B+sin Asin B,cos Asin B=sin Asin B,
因为B∈(0,π),
所以sin B≠0, ………………………………………4分
所以cos A=sin A,因此有tan A=. ………………………………………5分
又因为A∈(0,π),所以A=. ………………………………………6分
②由a=2,A=及余弦定理,
得4=c2+b2-2bccos A=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-(b+c)2=………………………,9分
所以b+c≤4,当且仅当b=c=2时取等号. ………………………………………10分
又因为b+c>a=2,所以4故△ABC的周长的取值范围为(4,6].1………………………………………3分
【类题通法】
利用余弦定理解三角形的注意事项
(1)如果已知三角形的两边和夹角(即SAS)解三角形,那么通常运用余弦定理计算.
(2)注意三角形内角和定理(即A+B+C=π)在解三角形中的应用.
【定向训练】
1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=,bc=3,且b+c=a,则a= ( )
A.2 B.3 C.2 D.3
【解析】选A.因为A=,bc=3,且b+c=a,由余弦定理知,
cos A=====-1=-,解得a=2.
√
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=,若点M是BC的中点,AM=AC,则= .
【解析】在△ABM中,因为BM=a,B=,由余弦定理可得
AM2=AB2+BM2-2AB·BMcos B=c2+a2-ac,在△ABC中,
由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=c2+a2-ac,
因为AM=AC,即AC2=4AM2,可得c2+a2-ac=4(c2+a2-ac)=4c2+a2-2ac,解得=3.
答案:3
探究点二 利用余弦定理求角
【典例2】(1)边长为10,14,16的三角形中最大角与最小角的和为 .
(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2bcosA=2c-a.则角B= .
【思维导引】(1)利用余弦定理求得最大角与最小角的和的补角即可.
(2)首先利用余弦定理将角转化为边,之后化简再利用余弦定理可得cosB的值,再根据角B的范围可得角B的值.
【解析】(1)设边长为10,14,16的边分别为a,b,c,由余弦定理得:cos B===,因为B∈(0,π),所以B=,则A+C=,故三角形中最大角与最小角的和为.
答案:
(2)因为2bcosA=2c-a,所以2b×=2c-a,即a2+c2-b2=ac,
由余弦定理可得cosB==,
因为0答案:
【类题通法】
由余弦定理求角的法技巧
(1)如果已知三角形的三边(即SSS)解三角形,那么通常运用余弦定理的变形公式计算内角的余弦值,再求解.
(2)由余弦定理的变形公式cos C=,容易得到下列常用的结论:
C=90° c2=a2+b2,C<90° c290° c2>a2+b2.
【定向训练】
1.△ABC的三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若a2+b2-c2=ab,则角C的大小为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.依题意由余弦定理得,cos C===,又C∈(0,π),所以C=.
√
2.在△ABC中,已知a=7,b=8,cos C=,则最大角的余弦值是 .
【解析】由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=9,
所以c=3,所以最大边为b,最大角为B,
所以cos B==-.
答案:-
探究点三 由余弦定理判断三角形的形状
【典例3】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos 2(-A)+cos A-=0.
(1)求cos A;
(2)若c-a=,证明:△ABC是直角三角形.
【思维导引】(1)先应用诱导公式化简,再解一元二次即可求值;
(2)由余弦定理结合已知条件得出a,b,c之间的数量关系,即可证明.
【解析】(1)cos 2(-A)+cos A-=0,
可得sin 2A+cos A-=0,即cos 2A-cos A+=0,所以=0,解得cos A=.
(2)由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc,
因为c-a=,所以a=c-,
代入上式可得c2-bc+b2=b2+c2-bc,
化简得c=b.a=c-=b,则c2=a2+b2,故△ABC是直角三角形.
【类题通法】
由余弦定理判断三角形形状的法技巧
(1)由三角形三边的关系式判断三角形的形状:通常利用余弦定理的变形公式计算内角的余弦值,再确定角的大小或取值范围.
(2)结合三角形的边长和角,判断三角形的形状:注意区分等腰三角形和等边三角形、等腰直角三角形与等腰或直角三角形等概念的异同.
【定向训练】
三条线段的长分别为6,7,9,则用这三条线段( )
A.能组成锐角三角形 B.能组成直角三角形
C.能组成钝角三角形 D.不能组成三角形
【思维导引】首先根据三角形任意两边之和大于第三边可判断能构成三角形;再根据大边对大角,计算最长边对应的余弦值即可判断三角形的形状,从而得到答案.
【解析】选A.根据三角形任意两边之和大于第三边可判断能构成三角形.不妨设△ABC的三边分别为a=6,b=7,c=9,
因为c>b>a,所以角C为△ABC最大的角.
因为cos C=>0,0所以C为锐角,故三角形为锐角三角形.
√
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1.在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,若a=3,b=,B=60°,则c= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选C.由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos B=9+c2-3c=13,即c2-3c-4=0,
解得c=-1(舍)或c=4,所以c=4.
2.(2021·国甲卷)在△ABC中,已知∠B=120°,AC=,AB=2,则BC= ( )
A.1 B. C. D.3
【解析】选D.设BC=x,在△ABC中,由余弦定理知:19=22+x2-2·2xcos120°,解得x=3.
√
√
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=120°,若b(1-cosA)=a(1-cosB),则A= ( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
【解析】选D.结合余弦定理得
b(1-)=a(1-),
即2bc-b2-c2+a2=2ac-a2-c2+b2,即a2-b2=c(a-b),即(a+b-c)(a-b)=0,
因为三角形中,两边之和大于第三边,所以a-b=0,即a=b,△ABC是等腰三角形,结合C=120°,得到A=30°.
√
4.在△ABC中,BC=1,CD⊥BC,且点D为AB的中点,AD=2,则AC= ( )
A. B. C.3 D.3
【解析】选A.因为点D为AB的中点,且AD=2,所以BD=2,
在△DBC中,BC=1,CD⊥BC,所以∠DBC=,
在△ABC中,BC=1,AB=4,∠ABC=,
由余弦定理得:AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=42+12-2×4×1×=13,所以AC=.
√
5.在△ABC中,A=60°,最大边和最小边是x2-9x+6=0的两个正实数根,则边BC= .
【解析】因为A=60°,所以最大边和最小边所夹的角为A,AB,AC为x2-9x+6=0的两个正实数根,
则AB+AC=9,AB×AC=6,
所以BC2=AB2+AC2-2×AB×AC×cos A
=(AB+AC)2-2×AC×AB×(1+cos A)
=92-2×6×=63.所以BC=3.
答案:3(共32张PPT)
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第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例——距离问题
素养目标 思维导图
能够运用余弦定理、正弦定理等知识和法解决测量中的距离问题.(数学建模)
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问题.在实践中,我们经常会遇到测量距离等实际问题.具体测量时,如何处理“不能到达”的距离问题
提示:需要设计恰当的测量案.分析题已知条件,这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情境和条件限制下的一个测量案,而且是这种情境与条件限制下的恰当案.
【核心概念】
实际测量问题中的常用角
(1)仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上的角叫______,在水平线下的角叫
______(如图(1)).
(2)位角
指从正北向____时针转到目标向线的
水平角,如B点的位角为α(如图(2)).
仰角
俯角
顺
(3)向角
相对于某正向的水平角,如北偏东45°,南偏西30°(或西偏南60°)等(如图(3)).
(4)坡角与坡度
坡面与________所成的二面角叫坡角,坡面的铅直高度与__________之比叫坡度
(tan α=)(如图(4)).
水平面
水平宽度
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探究点一 测量一个可到达点与不可到达的点之间的距离
【典例1】如图,一智能扫地机器人在A处发现位于它正西向的B处和北偏东30°向上的C处分别有需要清扫的垃圾,红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4 m,于是选择沿A→B→C路线清扫.已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2 m/s,忽机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间,10 s完成了清扫任务.
(1)求B,C两处垃圾之间的距离;(精确到0.1 m)
(2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值.
【思维导引】(1)设BC=x,则得到AB,AC,由余弦定理求得x,得到答案;
(2)由余弦定理求出夹角B的余弦值.
【解析】(1)由题意得AB+BC=0.2×10=2,
设BC=x,0由题意得A=90°+30°=120°.
在△ABC中,由余弦定理得cos A===-,
解得x=1.4或5.2(舍去),所以BC=1.4(m).
(2)由(1)知AB=2-1.4=0.6(m),AC=2.4-1.4=1(m),BC=1.4 m.
所以cos B===.
【类题通法】
求距离问题时应注意的两点
(1)定三角形:选定或确定所求量所在的三角形.若其他量已知,则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)依条件选定理:确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
【定向训练】
一艘轮船在江中向正东向航行,在点P处观测到灯塔A,B在一条直线上,并与航线成30°角.轮船沿航线前进1 000米到达C处,此时观测到灯塔A在北偏西45°向,灯塔B在北偏东15°向.则此时轮船到灯塔B的距离CB为 米.
【思维导引】在△PCB中,利用条件得到∠BPC=30°,∠PBC=45°,PC=1 000米,再利用正弦定理建立,即可求出结果.
【解析】在△PCB中,∠BPC=30°,∠PBC=180°-30°-105°=45°,PC=1 000米,
由正弦定理得=,即=,所以CB=500米.
答案:500
探究点二 测量都不可到达的两个点之间的距离
【典例2】(规范解答)
(15分)如图,某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A,B之间的距离,她在西江南岸找到一点C,从C点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E点可以观察到点B,C.测量得到数据:∠ACD=90°,∠ADC=60°,
∠ACB=15°,∠BCE=105°,∠CEB=45°,DC=CE=1.
(1)求△CDE的面积;
(2)求A,B之间的距离.
【思维导引】(1)可求得∠DCE=150°,再利用面积公式即可求出;
(2)先在Rt△ACD中求出|AC|,再在△BCE中利用正弦定理求出|BC|,再在△ABC中利用余弦定理即可求出|AB|.
【解析】(1)∠DCE=360°-90°-15°-105°=150°,………………………………3分
所以S△CDE=×|CD|×|CE|×sin150°=×1×1×=; ………………………………6分
(2)连接AB(图),由题可得在Rt△ACD中,|AC|=|DC|·tan∠ADC=1×tan60°=,
……………………………………………………………………………………8分
在△BCE中,∠CBE=180°-105°-45°=30°,
由正弦定理可得=,
即=,解得|BC|=, ………………………………10分
因为cos15°=cos(60°-45°)
=cos60°cos45°+sin60°sin45°=, ………………………………12分
则在△ABC中,由余弦定理可得|AB|2=()2+()2-2=2-, …14分
所以|AB|=. ……………………………………………………15分
【类题通法】
解三角形的注意事项
(1)确定已知和所求:根据三角形已知的边长和角,明确要求的边长或角,灵活运用正弦定理或余弦定理计算.
(2)注意特殊情形:优先运用直角三角形中的边长和角,记住特殊角的三角函数值,能计算sin 75°=,sin 15°=等.
【定向训练】
马尔代夫群岛是世界上风景最优美的群岛之一.如图所示,为了测量A,B两座岛之间的距离,小船从初始位置C出发,已知A在C的北偏西45°的向上,B在C的北偏东15°的向上,现在船往东航行2百海里到达E处,此时测得B在E的北偏西30°的向上,船再到C处后,由C向西航行2百海里到达D处,测得A在D的北偏东22.5°的向上,则A,B两座岛之间的距离为 百海里.
【思维导引】根据题意,利用位角分别求得三角形中各个角的大小,在△BCE和△ADC中,应用正弦定理求得BC,AC的长,再在△ABC中,利用余弦定理,即可求解.
【解析】如图所示,设CF为正北向,
由题意得∠ACF=45°,CD=2百海里,∠ADC=∠DAC=67.5°,
∠ACB=60°,CE=2百海里,∠BCE=75°,∠CBE=45°,∠CEB=60°.在△BCE中,由正弦定理得=,可得BC==.在△ADC中,因为∠ADC=∠DAC=67.5°,所以DC=AC=2百海里.
在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 60°=24+6-2×2=18,
所以AB=3百海里,即A,B两座岛之间的距离为3百海里.
答案:3
探究点三 有关距离的综合问题
【典例3】(1)如图,位于某海域A处的甲船获悉,在其北偏东60°向C处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东15°且与甲船相距 n mile的B处的乙船,已知遇险渔船在乙船的正东向,那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为( )
A. n mile B.2 n mile
C.2 n mile D.3 n mile
【思维导引】由正弦定理即可求出BC的值.
√
【解析】选B.由题意知,AB= n mile,∠BAC=45°,∠BCA=30°,
由正弦定理得,=,
所以BC=sin∠BAC=sin 45°=2 n mile.
故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为2 n mile.
(2)在一段直的河岸同侧有A,B两个村庄,相距5 km,A,B两村距河岸的距离分别为
3 km,6 km,现要在河边修一抽水站,需8.25万元(含设备购置费和人工费),管道铺设费为24.5元/米.现由政府拨款30万元.请你设计一个案并说明A,B两村是否还需自筹资金.(参考数据:≈8.06,≈9.85,≈3.28)
【思维导引】这类涉及选点问题通常会考虑建立坐标系,写出各点的坐标及点A关于x轴的对称点A',即可求得最小值及所需费用,再结合实际即可计算出是否需要自筹资金.
【解析】案的设计如下:如图,建立平面直角坐标系,A(0,3).
由AB=5 km,BF=6 km,得B点坐标为(4,6).
点A关于x轴的对称点A'(0,-3),连接A'B交x轴于C.
由平面几何知识可知,当抽水站建在点C处时,铺设的管道最短.
因为AC+BC=A'B,所以A'B==≈9.85(km),
所以铺设管道所需资金约为≈24.14(万元),
所以总费用为8.25+24.14=32.39(万元).
32.39-30=2.39(万元),即A,B两村需自筹资金约2.39万元.
【类题通法】
距离相关问题的解题技巧
(1)数形结合:在航行等距离相关的问题中,通常是把位角(向角)与几何图形结合起来,求出几何图形的有关角.
(2)转化:几何图形的应用是解决实际问题的重要辅助手段,一是从图形的完整性面画出图形;二是把多边形向解三角形转化.
【定向训练】
某农户有一块三角形空地ABC,如图所示.该农户想要围出一块三角形区域ABD(点D在BC上)用来养一些家禽,经专业测量得到AB=3,cos B=.
(1)若cos∠ADC=-,求AD的长;
(2)若BD=2DC,=4,求△ADC的周长.
【思维导引】(1)在△ABD中应用正弦定理得出AD的长;
(2)由=2结合面积公式得出AC,再由余弦定理得出BC,AD,进而得出△ADC的周长.
【解析】(1)在△ABC中,cos B=,且B∈(0,π),所以sin B=.
因为cos∠ADC=-,∠ADC∈(0,π),
所以sin∠ADB=.
在△ABD中,由正弦定理可得=,
所以AD===4.
(2)因为BD=2DC,所以=2,所以=2,
即=·=2,可得AC=6.
在△ABC中,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,所以BC2-2BC-63=0,
解得BC=9或BC=-7(舍去).
因为BD=2DC,所以BD=6,DC=3.
在△ABD中,由余弦定理可得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cosB=33,
所以△ADC的周长为3+6+.
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1.为测一河两岸相对两电线杆A,B间的距离,在距A点12米的C处(AC⊥AB)测得∠ACB=30°,则A,B间的距离应为 ( )
A.6米 B.4米 C.6米 D.12米
【解析】选B.在△ABC中,A=90°,∠ACB=30°,由tan 30°=,
得AB=ACtan 30°=4(米).
√
2.某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召,大力开展“青山绿水”工,造福于民,拟对该地某湖泊进行治理,在治理前,需测量该湖泊的相关数据.如图所示,测得∠C=120°,BC=40米,AC=60米,则A,B间的直线距离约为 ( )
A.60米 B.130米
C.150米 D.300米
【解析】选B.由题设,在△ABC中,由余弦定理得,
AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C=
12 400+2 400,所以AB≈130米.
√
3.一只船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75°距灯塔64海里的M处,下午2时到达这座灯塔东南向的N处,则这只船航行的速度是(单位:海里/时) ( )
A.32 B.8 C.32 D.8
【解析】选B.由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°.
在△PMN中,由正弦定理得,MN=64×=32(海里).
又由M到N所用时间为14-10=4(时),所以船的航行速度v=8(海里/时).
√
4. 已知A船在灯塔C北偏东80°向上,且A到C的距离为2 km,B船在灯塔C北偏西40°向上,A,B两船的距离为3 km,则B到C的距离为 km.
【思维导引】根据题中边角关系,再利用余弦定理求解即可.
【解析】由条件知,∠ACB=80°+40°=120°,设BC=x km,则由余弦定理知9=x2+4-4xcos 120°,因为x>0,所以x=-1.
答案:(-1)
5.如图,小刚同学从楼顶A处看楼下公园的湖边D处的俯角为
65°,看另一边B处的俯角为25°,楼高AC为25米,则楼下公园
的湖宽BD约为 米.(结果精确到1米,参考数据:
sin 25°≈0.42,tan 25°≈0.47,sin 65°≈0.91,tan 65°≈2.14)
【解析】由题意,得∠ADC=65°,∠ABC=25°.在Rt△ADC中,AC=25米,所以
tan 65°=,所以CD=≈≈11.68(米),在Rt△ACB中,tan 25°=≈0.47,则BC≈53.19米,所以BD=BC-CD≈42(米),所以湖宽BD约为42米.
答案:42第4课时 余弦定理、正弦定理应用举例——高度、角度问题
素养目标 思维导图
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和法解决高度测量、角度测量的问题.(数学建模)
课堂合作探究
探究点一 计算高度
【典例1】滕王阁,江南三大名楼之一,位于江西省南昌市,滕王阁分为上部主体建筑和下部象征古城墙的高台座,始建于唐朝永徽四年,因唐太宗李世民之弟滕王李元婴始建而得名,因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而流芳后世.如图,为了测量滕王阁的高度,选取了与该阁底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得∠BCD=23°,∠CDB=30°,CD=111.2 m,在C点测得滕王阁顶端A的仰角为45°,则滕王阁的高AB约为(参考数据:sin 53°≈0.8)( )
A.69.5 m B.68.8 m
C.70.2 m D.71.5 m
【思维导引】在△BCD中,利用正弦定理求出BC,再借助给定的仰角计算作答.
【解析】选A.在△BCD中,∠BCD=23°,∠CDB=30°,则∠CBD=180°-23°-30°=127°.
由正弦定理=,
得BC===≈69.5(m),由在C点测得滕王阁顶端A的仰角为45°,得AB=BC≈69.5 m,
所以滕王阁的高AB约为69.5 m.
【类题通法】
计算高度的注意事项
(1)区分角的概念:解决有关高度问题时,正确理解仰角、俯角是关键.
(2)空间向平面转化:在实际问题中,当研究空间与平面(地面)的问题时,通常画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,把空间问题转化为平面问题,明确三角形中的边长和角度,确定应用正弦定理或余弦定理计算.
【定向训练】如图,在山脚A测得山顶P的仰角为30°,沿倾斜角为15°的斜坡向上走a米到B,在B处测得山顶P的仰角为60°,则山高PQ= ( )
A.a米 B.米 C.a米 D.a米
【思维导引】设∠QAP=α=30°,∠QAB=β=15°,∠CBP=γ=60°,在△PAB中,∠PAB=α-β=15°,∠BPA=(-α)-(-γ)=γ-α=30°,
由正弦定理可求PB,根据PQ=PC+CQ=PB·sin γ+asin β可得结果.
【解析】选C.设∠QAP=α=30°,∠QAB=β=15°,
∠CBP=γ=60°.
在△PAB中,∠PAB=α-β=15°,
∠BPA=(-α)-(-γ)=γ-α=30°,
所以=,所以PB=a.
所以PQ=PC+CQ=PB·sin γ+asin β
=a×sin 60°+asin 15°=a(米).
探究点二 计算角度
【典例2】(规范解答)
(15分)一艘海轮从A出发,沿北偏东70°的向航行(-1)n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东10°的向航行2 n mile到达海岛C.
(1)求AC的长.
(2)如果下次航行直接从A出发到达C,应沿什么向航行多少海里
【思维导引】(1)根据题中示意图,确定好题目中给出的长度和角度;选用余弦定理求解AC的长度,完成计算.
(2)利用求出的AC的长度以及相关条件,选用正弦定理完成∠CAB的求解,进而得答案.
【解析】(1)由题意知,在△ABC中,∠ABC=180°-70°+10°=120°,AB=-1,BC=2, 3分
根据余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB×BC×cos∠ABC=+4+2(-1)=6,
6分
所以AC= n mile. 7分
(2)根据正弦定理可得=,
即sin∠CAB=sin∠ABC===, 10分
又BC所以应沿北偏东25°的向航行 n mile即可到达C处. 15分
【类题通法】
解决测量角度问题的注意事项
(1)确定角的范围:首先应明确“位角”或“向角”的含义,位角大小的范围是[0,2π),向角大小的范围是(0,].
(2)审题:分析题意,分清已知与所求,再根据题意画出正确的示意图,这是最关键、最重要的一步.
(3)转化:将实际问题转化为可用数学法解决的问题后,注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.
【定向训练】
(2025·唐山高一检测)如图所示,有一艘缉毒船正在A处巡逻,发现在北偏东75°向、距离为60海里的B处有毒贩正驾驶小船以每小时15(-1)海里的速度往北偏东15°的向逃跑,缉毒船立即驾船以每小时15海里的速度前往缉捕.
(1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕;
(2)试确定缉毒船的行驶向.
【解析】(1)设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕,
由题意可知∠ABC=180°-75°+15°=120°,AB=60,AC=15t,BC=15(-1)t,
由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos ∠ABC,
即=602+-2×60×15(-1)t×(-),
整理可得(t-2)[(+1)t+4]=0,解得t=2,
所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕.
(2)由(1)可知∠ABC=120°,AB=60,AC=30,BC=30(-1),
由正弦定理=,
可得sin ∠ACB===,且∠ACB为锐角,则∠ACB=45°,可得∠BAC=180°-120°-45°=15°,
所以缉毒船的行驶向为北偏东75°-15°=60°.
课堂学业达标
1.某飞机在空中沿水平向飞行,飞行至A处,飞行员观察地面目标C,测得俯角为30°,继续飞行800(单位:米)至B处观察目标C,测得俯角为60°.已知A,B,C在同一个铅垂平面内,则该飞机飞行的高度为( )
A.400米 B.400米
C.800米 D.800米
【解析】选B.如图,过点C作CD⊥AB于点D,
因为∠A=30°,∠CBD=60°,
所以∠ACB=∠CBD-∠A=30°,
所以BC=AB=800米,在Rt△BDC中,CD=BCsin 60°=800×=400(米).
2.甲船在A处,乙船在甲船北偏东60°向的B处,甲船沿北偏东θ向匀速行驶,乙船沿正北向匀速行驶,且甲船的航速是乙船航速的倍,为使甲船与乙船能在某时刻相遇,则( )
A.15°<θ<30° B.θ=30°
C.30°<θ<45° D.θ=45°
【解析】选A.设甲船与乙船的相遇点为C,据题意,∠ABC=120°,AC=BC.
在△ABC中,由正弦定理,有=,则=,所以sinA==.
因为<<,A∈(0,),则所以θ=-A∈(,).
3.启东中学天文台是启中校园的标志性建筑.小明同学为了估算学校天文台的高度,测得学校宿舍楼AB高为(15-5) m,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,天文台顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得天文台顶C的仰角为30°,假设AB,CD和点M在同一平面内,则小明估算学校天文台的高度为( )
A.20 m B.30 m
C.20 m D.30 m
【解析】选B.由题意AM=,sin15°=sin(45°-30°)=sin45°cos30°-cos45°sin30°=-=,所以AM==10 m,
在△AMC中,∠AMC=180°-60°-15°=105°,∠CAM=30°+15°=45°,
所以∠ACM=180°-105°-45°=30°,
由=,得=,
CM==20 m,
所以CD=CMsin60°=20=30 m.
4.某人在点C处测得某塔底B在南偏西80°向,塔顶A的仰角为45°,此人沿南偏东40°向前进10 m到D处,测得塔顶A的仰角为30°,则塔高为 .
【解析】由题意作出图形,如图所示,设塔高AB=h m,
在Rt△ABC中,∠ACB=45°,则BC=AB=h m.在Rt△ABD中,∠ADB=30°,则BD=h m.
在△BCD中,∠BCD=80°+40°=120°,CD=10 m,
由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD,
即=h2+102-2h·10cos 120°,
整理得h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5(舍去).
答案:10 m
5.如图,一船运载着物资由西向东航行,在A处测得某岛M的位角为α,前进5 km后到达B处,测得岛M的位角为β.已知该岛周围3 km内有暗礁,现该船继续东行.
(1)若α=2β=60°,该船有无触礁危险
(2)当α与β满足什么条件时,该船没有触礁的危险
【解析】(1)在△ABM中可知,AB=BM=5,从而MC=5sin 60°=>3,没有触礁危险.
(2)设CM=x,则BM=,∠AMB=α-β,
在△ABM中,由正弦定理得
=,
即=,解得x=,
所以当>3时没有触礁危险.
课时巩固请使用 课时素养检测 十四6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
素养目标 思维导图
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索掌握余弦定理.(数学抽象) 2.能解决一些简单的三角形度量问题.(数学运算)
课前自主学习
问题1.(1)在Rt △ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果C=90°,那么a,b,c的关系是 .
(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,如果c2=a2+b2,那么角C的度数为 .
提示:(1)c2=a2+b2 (2)90°
问题2.如图:
(1)如何用向量a,b表示c
提示:c=a-b.
(2)若已知|a|,|b|及cos C,如何表示|c|
提示:对式子c=a-b两边平得c2=a2+b2-2a·b,那么|c|2=|a|2+|b|2-2|a||b|cos C.
【核心概念】
1.余弦定理
三角形中任何一边的平等于其他两边平的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.即a2=b2+c2-2bccos A;
b2=a2+c2-2accos B;(第一种形式)
c2=a2+b2-2abcosC.
由余弦定理,可以得到如下推论(变形公式):
cos A=;
cos B=;(第二种形式)
cos C=.
2.解三角形
一般地,三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过叫做解三角形.
课堂合作探究
探究点一 利用余弦定理计算边长
【典例1】(1)已知在△ABC中,A=,且c=2b=6,则角A所对边a的长度为 ( )
A.3 B.3 C.3 D.3
(2)(规范解答)
(13分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cos Asin(B-)=cos C.
①求角A的大小;
②若a=2,求△ABC的周长的取值范围.
【思维导引】(1)由余弦定理求解.
(2)①根据两角差的正弦公式、两角和的余弦公式,结合同角的三角函数关系式进行求解即可;
②根据余弦定理,结合基本不等式、三角形两边之和大于第三边进行求解即可.
【解析】(1)选C.由余弦定理可得:a2=b2+c2-2bccos A=32+62-2×3×6×=27,
所以a=3.
(2)①因为2cos Asin(B-)=cos C,
所以2cos A(sin Bcos -cosBsin)=-cos(A+B),
2分
所以cos Asin B-cos Acos B=-cos Acos B+sin Asin B,cos Asin B=sin Asin B,
因为B∈(0,π),
所以sin B≠0, 4分
所以cos A=sin A,因此有tan A=. 5分
又因为A∈(0,π),所以A=. 6分
②由a=2,A=及余弦定理,
得4=c2+b2-2bccos A=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-(b+c)2=, 9分
所以b+c≤4,当且仅当b=c=2时取等号.
10分
又因为b+c>a=2,所以412分
故△ABC的周长的取值范围为(4,6]. 13分
【类题通法】
利用余弦定理解三角形的注意事项
(1)如果已知三角形的两边和夹角(即SAS)解三角形,那么通常运用余弦定理计算.
(2)注意三角形内角和定理(即A+B+C=π)在解三角形中的应用.
【定向训练】
1.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A=,bc=3,且b+c=a,则a= ( )
A.2 B.3 C.2 D.3
【解析】选A.因为A=,bc=3,且b+c=a,由余弦定理知,
cos A=====-1=-,解得a=2.
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=,若点M是BC的中点,AM=AC,则= .
【解析】在△ABM中,因为BM=a,B=,由余弦定理可得AM2=AB2+BM2-2AB·BMcos B=c2+a2-ac,在△ABC中,由余弦定理可得
AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=c2+a2-ac,
因为AM=AC,即AC2=4AM2,可得c2+a2-ac=4(c2+a2-ac)=4c2+a2-2ac,解得=3.
答案:3
探究点二 利用余弦定理求角
【典例2】(1)边长为10,14,16的三角形中最大角与最小角的和为 .
(2)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2bcosA=2c-a.则角B= .
【思维导引】(1)利用余弦定理求得最大角与最小角的和的补角即可.
(2)首先利用余弦定理将角转化为边,之后化简再利用余弦定理可得cosB的值,再根据角B的范围可得角B的值.
【解析】(1)设边长为10,14,16的边分别为a,b,c,由余弦定理得:cos B===,因为B∈(0,π),所以B=,则A+C=,故三角形中最大角与最小角的和为.
答案:
(2)因为2bcosA=2c-a,所以2b×=2c-a,即a2+c2-b2=ac,
由余弦定理可得cosB==,
因为0答案:
【类题通法】
由余弦定理求角的法技巧
(1)如果已知三角形的三边(即SSS)解三角形,那么通常运用余弦定理的变形公式计算内角的余弦值,再求解.
(2)由余弦定理的变形公式cos C=,容易得到下列常用的结论:
C=90° c2=a2+b2,C<90° c290° c2>a2+b2.
【定向训练】
1.△ABC的三个内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若a2+b2-c2=ab,则角C的大小为 ( )
A. B. C. D.
【解析】选A.依题意由余弦定理得,cos C===,又C∈(0,π),所以C=.
2.在△ABC中,已知a=7,b=8,cos C=,则最大角的余弦值是 .
【解析】由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=9,
所以c=3,所以最大边为b,最大角为B,
所以cos B==-.
答案:-
探究点三 由余弦定理判断三角形的形状
【典例3】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos 2(-A)+cos A-=0.
(1)求cos A;
(2)若c-a=,证明:△ABC是直角三角形.
【思维导引】(1)先应用诱导公式化简,再解一元二次即可求值;
(2)由余弦定理结合已知条件得出a,b,c之间的数量关系,即可证明.
【解析】(1)cos 2(-A)+cos A-=0,
可得sin 2A+cos A-=0,即cos 2A-cos A+=0,所以=0,解得cos A=.
(2)由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc,
因为c-a=,所以a=c-,
代入上式可得c2-bc+b2=b2+c2-bc,
化简得c=b.a=c-=b,则c2=a2+b2,故△ABC是直角三角形.
【类题通法】
由余弦定理判断三角形形状的法技巧
(1)由三角形三边的关系式判断三角形的形状:通常利用余弦定理的变形公式计算内角的余弦值,再确定角的大小或取值范围.
(2)结合三角形的边长和角,判断三角形的形状:注意区分等腰三角形和等边三角形、等腰直角三角形与等腰或直角三角形等概念的异同.
【定向训练】
三条线段的长分别为6,7,9,则用这三条线段( )
A.能组成锐角三角形 B.能组成直角三角形
C.能组成钝角三角形 D.不能组成三角形
【思维导引】首先根据三角形任意两边之和大于第三边可判断能构成三角形;再根据大边对大角,计算最长边对应的余弦值即可判断三角形的形状,从而得到答案.
【解析】选A.根据三角形任意两边之和大于第三边可判断能构成三角形.不妨设△ABC的三边分别为a=6,b=7,c=9,
因为c>b>a,所以角C为△ABC最大的角.
因为cos C=>0,0所以C为锐角,故三角形为锐角三角形.
课堂学业达标
1.在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,若a=3,b=,B=60°,则c= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选C.由余弦定理得:b2=a2+c2-2accos B=9+c2-3c=13,即c2-3c-4=0,
解得c=-1(舍)或c=4,所以c=4.
2.(2021·国甲卷)在△ABC中,已知∠B=120°,AC=,AB=2,则BC= ( )
A.1 B. C. D.3
【解析】选D.设BC=x,在△ABC中,由余弦定理知:19=22+x2-2·2xcos120°,解得x=3.
3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=120°,若b(1-cosA)=a(1-cosB),则A= ( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
【解析】选D.结合余弦定理得
b(1-)=a(1-),
即2bc-b2-c2+a2=2ac-a2-c2+b2,即a2-b2=c(a-b),即(a+b-c)(a-b)=0,
因为三角形中,两边之和大于第三边,所以a-b=0,即a=b,△ABC是等腰三角形,结合C=120°,得到A=30°.
4.在△ABC中,BC=1,CD⊥BC,且点D为AB的中点,AD=2,则AC= ( )
A. B. C.3 D.3
【解析】选A.因为点D为AB的中点,且AD=2,所以BD=2,
在△DBC中,BC=1,CD⊥BC,所以∠DBC=,
在△ABC中,BC=1,AB=4,∠ABC=,
由余弦定理得:AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=42+12-2×4×1×=13,所以AC=.
5.在△ABC中,A=60°,最大边和最小边是x2-9x+6=0的两个正实数根,则边BC= .
【解析】因为A=60°,所以最大边和最小边所夹的角为A,AB,AC为x2-9x+6=0的两个正实数根,
则AB+AC=9,AB×AC=6,
所以BC2=AB2+AC2-2×AB×AC×cos A
=(AB+AC)2-2×AC×AB×(1+cos A)
=92-2×6×=63.所以BC=3.
答案:3
课时巩固请使用 课时素养检测 十一
