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新人教版2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，这个论断的依据是（ ）
A．勾股定理的逆定理
B．勾股定理
C．直角三角形两锐角互余
D．以上都不对
【答案】B
【解析】解：∵，，，
∴根据勾股定理，三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，
∴判断该三角形不是直角三角形，依据是勾股定理．
2．下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题根据最简二次根式的定义判断各选项即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【解析】解：∵最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
对选项A：∵ = = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式．
对选项B：∵ = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式．
对选项C：∵的被开方数是3，不含分母，也不含能开得尽方的因数，∴是最简二次根式．
对选项D：∵ = = ，被开方数含能开得尽方的因数4，∴不是最简二次根式．
综上，答案选C．
3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】本题考查代数式有意义的条件，需要分别根据二次根式、分式、零指数幂的有意义要求列不等式求解．
【解析】代数式有意义，
，，
且，
则实数x的取值范围是且．
4．如图，在中，对角线相交于点，是的中点，若的周长为，，则的周长为（ ）
A．16 B．21 C．13 D．18
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质以及三角形中位线定理计算即可得出结果．
【解析】解：∵四边形为平行四边形，且周长为，
∴，，
∵点是的中点，
∴，为的中位线，
∴，
∴的周长．
5．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（ ）
A．30 B． C． D．
【答案】B
【分析】先估算的大小，得到的范围，从而求出整数部分和小数部分，再代入计算即可．
【解析】解：∵，
∴
∴
∴的整数部分，小数部分
∵，
∴．
6．如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解．
【解析】解：∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
7．实数在数轴上的位置如图所示，化简：（ ）
A．2a-3 B．1 C．-3 D．-1
【答案】A
【分析】根据题意可知，，再根据绝对值意义和二次根式的性质，进行化简即可．
【解析】因为，，
所以原式．
8．如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，由垂直平分线的性质可得，由勾股定理的逆定理可判断出．在直角中，利用勾股定理构造方程，并解出的值即可．
【解析】解：设，
∵，，，
∴，
∴是以为斜边的直角三角形，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
在直角中，，
∴，
解得，
∴．
9．如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的运用，掌握勾股定理是解题的关键．根据题意得到，由含30度角的直角三角形得到，由勾股定理得到，由即可求解．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A ．
10．如图，在菱形中，，，过菱形的顶点分别作对角线，的平行线，两两相交于点M，N，P，Q，则四边形的面积为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【分析】先证明四边形、、、是平行四边形，得到，，再证明四边形为矩形，根据勾股定理和直角三角形的性质求出，，得出，，最后求出矩形的面积即可．
【解析】解：连接，，与相交于点，如图所示：
，，
四边形、、、是平行四边形，
四边形是菱形
，，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形为矩形，
，，
，
，
，，
，
，，
四边形的面积为：．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．如图，在四边形中，延长，，则图中四边形的内角有___________，外角有___________．
【答案】 ，，， ，
【分析】根据多边形内角、外角的定义可得答案．
【解析】解：图中四边形的内角有，，，；外角有，．
12．若实数x，y满足，，则的值为________．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，再代入等式求出y的值，最后计算即可．
【解析】解：∵，
∴根据二次根式有意义可知，被开方数为非负数，即，解得：．
将代入，得，
即，
解得，
∴．
13．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为____________．
【答案】
【分析】连接，由勾股定理可得，再结合正方形面积公式求解．
【解析】解：如图，连接，
，
，
，，，
，，，
，
另一个正方形的面积为．
14．如图，四边形是平行四边形，平分，交边于E，若，，则DE的长度为________．
【答案】4
【分析】由平行四边形性质得 ，，，由角平分线得，进而得，根据等角对等边得，进而计算．
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：4 ．
15．如图，在正方形中，，对角线相交于点O，过点O作射线分别交边于点E、F，且，连接．给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④若的中点为K，则的最小值为2．上述结论中，所有正确的序号是________．
【答案】①③
【分析】①根据正方形性质得 ，由此得，由此可依据“”判定，据此可对结论①进行判定；②由①得，在中由勾股定理得，则，再根据为斜边得，则，据此可对结论②进行判定；③由得，，则，再根据正方形的性质得，据此可对结论③进行判定；根据直角三角形斜边中线性质得到，设，利用勾股定理求出，结合完全平方式判断④，综上所述即可得出答案．
【解析】解：①∵四边形为正方形，对角线，相交于点O，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，故结论①正确；
②由①得：，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
在中，为斜边，
∵，
∴，
∴，故结论②不正确，
③由①得：，
∴，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为正方形面积的，故结论③正确；
④如图，
∵，的中点为K，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴当时，最小，最小值为，
∴的最小值为，故④错误；
综上所述：正确的结论是①③．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（8分）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了算术平方根、负整数指数幂、零指数幂、二次根式的混合运算以及平方差公式的应用，熟练掌握实数的运算法则和运算顺序是解答本题的关键．
（1）分别根据算术平方根的定义、负整数指数幂的运算法则、零指数幂的运算法则对各项进行化简，再进行加减运算；
（2）先根据二次根式的除法法则、平方差公式对各项进行化简，再合并同类二次根式．
【解析】（1）解：原式； （4分）
（2）解：原式． （8分）
17．（9分）如图，在矩形中，点是边上一点，，于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】（1）证明，得到，即可得出结论；
（2）设，则，根据勾股定理得出，即，求出，即可求出结果．
【解析】（1）证明：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴， （3分）
又∵，
∴，
∴； （5分）
（2）解：设，则，
在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴． （9分）
18．（9分）图（1）、图（2）、图（3）均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
(1)在图（1）中以线段为腰画一个等腰锐角三角形；
(2)在图（2）中以线段为腰画一个等腰钝角三角形；
(3)在图（3）中画一个等腰直角三角形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计，勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据等腰锐角三角形的定义作图即可．
（2）根据等腰钝角三角形的定义作图即可．
（3）根据等腰直角三角形的定义作图即可．
【解析】（1）解：如下图即为所求：
（3分）
（2）解：如下图即为所求：
（6分）
（3）解：如下图即为所求：
，，
则，
则为等腰直角三角形．（9分）
19．（9分）如图，在中，
(1)在线段上找一点，使它到、两点的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，，求线段的长．
【答案】(1)图见解析
(2)
【分析】（1）分别以点、点为圆心，大于为半径画弧，连接两个交点，得到线段的垂直平分线，找到这条垂直平分线与线段的交点，该交点即为点；
（2）连接，依题得，先利用勾股定理求出，设，则，利用勾股定理列出方程，求解即可．
【解析】（1）解：如图所示，点即为所求：
（3分）
（2）解：连接，
依题得，
中，，，，
，
设，则，（6分）
中，，
，
解得，
即． （9分）
20．（9分）如图，四边形，、、，连接，且．
(1)求的长；
(2)若，求的长．
【答案】(1)5
(2)
【分析】(1)根据，，，利用勾股定理求出；
(2)如图，过点作交延长线于，利用勾股定理得到是直角三角形，再证明得到，的长，最后，利用勾股定理求出的长即可．
【解析】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴； （4分）
（2）解：如图，过点作交延长线于．
∴，
由(1)知，又知，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴． （6分）
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴． （9分）
21．（10分）【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，点E、F分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？
（1）请直接判断：______（填“”或“”）；
在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题：
如图②，在正方形中，点E、F、G分别在边和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论．
【答案】（1）；（2），证明见解析
【分析】（1）证明即可得出结论；
（2）过点作，证明，由此可得．
【解析】（1）解：∵，
，
，
∵四边形是正方形，
，
，
， （3分）
在和中，
，
，
； （5分）
（2）解：，证明如下：
如图，过点作，交于点，交于点，
，
，
∵四边形是正方形，
，
，
∴四边形是平行四边形， （7分）
，
，
，
，
，
，
，
． （10分）
22．（10分）在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：
，
(1)请你帮助小明接着完成这道题；
(2)请你根据小明的思路，解决如下问题
①________；
②化简．
【答案】(1)
(2)①
②
【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化．
（1）把代数式整理可得：原式，再把代入整理后的代数式计算求值；
（2）①把的分子、分母同时乘以，可得结果为；
②把算式中各部分分别进行分母有理化，可得：原式，再合并同类二次根式即可得到结果．
【解析】（1）解：，
； （4分）
（2）解：①解：
； （7分）
②解：．
. （10分）
23．（11分）综合与探究．
【问题背景】
（1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程．
【尝试应用】
（2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，求的长；
【深入思考】
（3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，证明：平分．
【答案】（1）见解析；（2）12；（3）见解析
【分析】（1）如图，过点作于点，根据得出结论；
（2）过点作于点，连接，先证明四边形是矩形，得出，求出，设，则，根据勾股定理求出结论；
（3）连接，过点作于点，作于点，证明即可证明结论．
【解析】解：（1）如图，过点E作于点F，
∴，，
∴； （3分）
（2）如图，过点D作于点G，连接，
∵，
∴四边形是矩形．
∴．
∵，，
∴，
∴．
∴． （5分）
∵四边形是矩形，
∴，，，
设，则，
∴．
∴．
∴．
∴，
∴，
∴； （7分）
（3）如图，连接，，过点A作于点M，作于点N，
由（1）知，
∴，即，
∵，
∴，
∴点A在的平分线上，即平分．（11分）中小学教育资源及组卷应用平台
新人教版2025-2026学年八年级下学期数学期中模拟卷
（测试范围：新教材人教版第19~21章 考试时间：120分钟 分值：120分）
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，这个论断的依据是（ ）
A．勾股定理的逆定理
B．勾股定理
C．直角三角形两锐角互余
D．以上都不对
2．下列根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
4．如图，在中，对角线相交于点，是的中点，若的周长为，，则的周长为（ ）
A．16 B．21 C．13 D．18
5．已知的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（ ）
A．30 B． C． D．
6．如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．实数在数轴上的位置如图所示，化简：（ ）
A．2a-3 B．1 C．-3 D．-1
8．如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，，垂足为，，则的长为（ ）
A． B． C．6 D．
10．如图，在菱形中，，，过菱形的顶点分别作对角线，的平行线，两两相交于点M，N，P，Q，则四边形的面积为（ ）
A． B．4 C． D．8
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11．如图，在四边形中，延长，，则图中四边形的内角有___________，外角有___________．
12．若实数x，y满足，，则的值为________．
13．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为____________．
14．如图，四边形是平行四边形，平分，交边于E，若，，则DE的长度为________．
15．如图，在正方形中，，对角线相交于点O，过点O作射线分别交边于点E、F，且，连接．给出下面四个结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④若的中点为K，则的最小值为2．上述结论中，所有正确的序号是________．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（8分）计算：
(1)；
(2)．
17．（9分）如图，在矩形中，点是边上一点，，于点．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
18．（9分）图（1）、图（2）、图（3）均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法．
(1)在图（1）中以线段为腰画一个等腰锐角三角形；
(2)在图（2）中以线段为腰画一个等腰钝角三角形；
(3)在图（3）中画一个等腰直角三角形．
19．（9分）如图，在中，
(1)在线段上找一点，使它到、两点的距离相等（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，，求线段的长．
20．（9分）如图，四边形，、、，连接，且．
(1)求的长；
(2)若，求的长．
21．（10分）【问题情境】小明在期末复习时，遇到了这样一个问题：如图①，在正方形中，点E、F分别在边上，且，垂足为．那么与相等吗？
（1）请直接判断：______（填“”或“”）；
在“问题情境”的基础上，小明继续探索以下问题：
如图②，在正方形中，点E、F、G分别在边和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论．
22．（10分）在数学课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：
，
(1)请你帮助小明接着完成这道题；
(2)请你根据小明的思路，解决如下问题
①________；
②化简．
23．（11分）综合与探究．
【问题背景】
（1）数学活动课上，老师提出了一个问题：如图1，点E为的边上一点，连接，，请探究的面积与面积的关系？“领航”学习小组在数学活动中发现：的面积等于面积的2倍．请你写出完整的解答过程．
【尝试应用】
（2）如图2，长方形中，点E为边上一点，点F为右侧一点，，若，，，求的长；
【深入思考】
（3）如图3，中，点E为边上一点，点F为边上一点，连接，交于点G，连接，若，证明：平分．
